1、立體幾何中折疊與展開問題2【知識(shí)與方法】折疊與展開問題是立體幾何的兩個(gè)重要問題，這兩種方式的轉(zhuǎn)變正是空間幾何與平面幾何問題轉(zhuǎn)化的集中表達(dá)。處理這類題型的關(guān)鍵是抓住兩圖的特征關(guān)系。折疊問題是立體幾何的一類典型問題是實(shí)踐能力與創(chuàng)新能力考查的好素材。解答折疊問題的關(guān)鍵在于畫好折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清折疊前后哪些發(fā)生了變化，哪些沒有發(fā)生變化。這些未變化的條件都是我們分析問題和解決問題的依據(jù)。而外表展開問題是折疊問題的逆向思維、逆過程，一般地，涉及到多面體外表的問題，解題時(shí)不妨將它展開成平面圖形試一試。【認(rèn)知訓(xùn)練】 ABC的BC邊上的高線為 AD , BD=a , CD=b，將 ABC沿AD

2、折成大小為B的二面角aB-AD-C，假設(shè)COS ,那么三棱錐 A-BCD的側(cè)面三角形 ABC是bA、銳角三角形B、鈍角三角形C、直角三角形D、形狀與a、b的值有關(guān)的三角形點(diǎn)M到AB的距離為上22F:CD m1三棱錐C- DNE勺體積是E NMBAB與EF所成角是一M2其中正確命題的序號(hào)是 2.如圖為棱長是1的正方體的外表展開圖，在原正方體中，給出以下三個(gè)命題:3?將下面的平面圖形每個(gè)點(diǎn)都是正三角形的頂點(diǎn)或邊的中點(diǎn)沿虛線折成一個(gè)正四面體A .B .C.D .4. 正方形ABCD中，M為AD的中點(diǎn)，N為AB中點(diǎn)，沿CM CN分別將三角形CDMAA CBN折起，使CB與CD重合，設(shè)B點(diǎn)與D點(diǎn)重合于P

3、,設(shè)T為PM的中點(diǎn)，那么異面直線 CT與PN所成的角為()A,30° B,45 0 C,60 0D,90第11題圖5. ( 06山東卷)如圖，在等腰梯形 ABCD中，AB=2DC= 2, / DAB =60° ,E為AB的中點(diǎn)，將 ADE與厶BEC分別沿 ED、EC向上折起，使 A、B重合于點(diǎn)P,貝U P-DCE三棱錐的 外 接球的體積為4、. 3(A)27<6(B) 2.6(C) 8,66. 在直三棱ACB = 90 , AC =-6, BC = CC i=,2 ,P 是 BCi 上動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值是 7.用一張正方形的包裝紙把一個(gè)棱長為a的立方體完全包住需包裝紙

4、的最小面積為2 2 2 2A. 9a B . 8a C. 7a D.6a【能力訓(xùn)練】例1.點(diǎn)O是邊長為4的正方形ABCD的中心，點(diǎn)E , F分別是AD , BC的中點(diǎn)？沿 對(duì)角線 AC把正方形ABCD折成直二面角 D AC B ?(I)求EOF的大小；(n)求二面角E OF A的大小.例2.如圖，在正三棱柱 ABC-A 1B1C1中，AB=3 , AA 1=4,M為AA 1的中點(diǎn),P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱 CC1到M點(diǎn)的最短路線長為C129，設(shè)這條最短路線與 C1C的交點(diǎn)為N。求1) 該三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長2) PC和NC的長；AiB3) 平面NMP和平面ABC所成二面角

5、(銳角)的大小(用 反三角函數(shù)表示)例3. ABC的邊長為3, D E分別是邊BC上的三等分點(diǎn)，沿AD AE把厶ABC折成A DEF,使B、C兩點(diǎn)重合于點(diǎn) F,且G是DE的中點(diǎn)(1)求證：DEL平面AGF(2) 求二面角 A DE- F 的大小；例4 江蘇卷在正三角形 ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足 AE:EB =CF:FA = CP:PB = 1:2 如圖1 。將厶 AEF沿EF折起到 A,EF的位置，使二面角 Ai EFB成直二面角，連結(jié) AiB、AiP 如圖2I求證：AiE丄平面BEP；n求直線AiE與平面AiBP所成角的大小川求二面角 B AiP F的大小用反

6、三角函數(shù)表圖1圖2例5.遼寧卷正方形ABCD.E、 F分別是 AB、CD的中點(diǎn)，將ADE沿DE折起,如下圖，記二面角 A DE C的大小為 °.I證明BF /平面ADEII假設(shè)八ACD為正三角形，試判斷點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上,證明你的結(jié)論，并求角的余弦值？【達(dá)成測試】AI.C長方形中，AB=2、，3BC,把它折成正三棱柱的側(cè)面，使AD與BC重合，長方形的對(duì)角線AC與折痕線EF、GH分另F交于M N,那么截面MNA與棱柱的底面CDFH所成的角等于A. 30 0B. 45 °C . 60°D. 90 °2.D如圖9 99是一個(gè)無蓋的正方

7、體盒子展開后的平面圖，A、B、C是展開圖上的三點(diǎn)，那么在正方體盒子中，/ ABC的值為)B .C. 45°D. 60°120 °3?如圖，在正三角形 ABC中，D, E, F分別為各邊的中點(diǎn)，G , H , I, J分別為AF , AD , BE , DE的中點(diǎn)ABC沿DE, EF, DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為A. 90 °B. 60 °AB、CD、EF 和4. 如圖9 100表示一個(gè)正方體外表的一種展開圖，圖中的四條線 段GH在原正方體中相互異面的有 對(duì).圖 9101C. 45 °D. 0°【分析】平面圖

8、形的翻折應(yīng)注意翻折前后各元素相對(duì)位置的變化，AB、CD、EF和GH在原正方體中如圖 9 101 .有AB與CD、EF與GH、AB和GH三對(duì)異面直線.5.如以下圖，在以下六個(gè)圖形中，圖 9 100每個(gè)小四邊形皆為全等的正方形， 那么沿其正方形相鄰邊折疊，能夠圍成正方體的是 要求：把你認(rèn)為正確圖形的序號(hào)都填上 設(shè)于如圖，ABCD是上、下底邊長分別為2和6，高為-3的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸OOi梯 6.解：如左圖,在平面 AED內(nèi)作 MQ / AE交ED于Q,那么MQ丄ED,且Q為ED的中點(diǎn), 連結(jié) QN,貝U NQ丄ED且 QN / EB,QN=EB, / MQN為二面角 A DE B的平面角，A

9、11?/MQN=45 ° v AB 丄平面 BCDE,又/ AEB= /MQN=45 °,MQ=AE=EB在B22 '平面MQN內(nèi)作 MP 丄 BQ,得 QP=MP=丄 EB,故 PB=QP=-EB,故QMN是以/QMN為直角的D22等腰三角形,即MN丄QM,也即MN子AE所成角大小等于90 °腰7.如圖，正三棱柱 ABC AB 1C1的底面邊長為1,高為8,質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著中棱柱的側(cè)面繞行兩周占八、到達(dá)Ai點(diǎn)的最短路線的長為DE折成直二面角，(I)證明：AC 丄 B0；如(n)求二面角0- ac 0的大小。圖5 / 17word.E9.如圖4，在正三

10、棱錐 A BCD中，底面邊長為 a, 側(cè)棱長為2a, E、F分別為ACE、F的位置。AD上的動(dòng)點(diǎn)，求截面厶 BEF的周長的最小值，以及此時(shí) 10?如圖：在直角三角形 ABC中， AB=a，/ ACB=30 ,/ B=90°,D為AC的中點(diǎn)，E為 BD的中點(diǎn)，AE的延長線交 BC于F，將 ABD沿BD折起，二面角 A'-BD-C的大小記為 0o求證：平面A'EF平面BCD ;B為何值時(shí)A'B CD ?F折疊與展開問題參考答案【認(rèn)知訓(xùn)練】1. 答案：C2.答案:，把 所給平 面圖復(fù)點(diǎn)評(píng)：將平面圖形折成空間圖形后線面位置關(guān)系理不清，易瞎猜D4. 取 AN 的中點(diǎn) S

11、,那么 PN2+PT2=TS2+SN2=TN2: PN 丄 PT,又 PN 丄 PC : PN 丄平面 CMP ,5.解：易證所得三棱錐為正四面體，它的棱長為1故外接球半徑為-6，外接球的體積為44 (鳥3込，選C3486.解：連AiB，沿BCi將厶CBCi展開與 AiBCi在同一個(gè)平 面內(nèi)，如下圖，連AiC，貝U AiC 的因?yàn)檎叫蔚募埐籉Hcos90J,長度就是所求的最小值。通過計(jì)算可得 AiCiC= 90又BCiC = 45 ,AiCiC= i35由余弦定理可求得 AiC = 5 22002年文史類最后一道咼考附加能撕開來。此題情境新穎，具有較高的探索價(jià)值，類似于 題解析：將正方形紙如

12、圖劃分，其中BC=2AB=2C ,用標(biāo)山的局部作下底面，標(biāo)II的部分作四個(gè)側(cè)面，標(biāo)I的局部 正好蓋住立方體的上底面。 A B 由題意知，標(biāo)I的局部正好蓋住立方體的上底面。由題意知，標(biāo)II的正方形的邊長為 a,所以正方形紙的邊長為 2 2a，面積為8a2。應(yīng)選B。評(píng)析：新世紀(jì)的高考試題的新穎性越來越明顯， 能力要求也越來越高，并且也越來越廣泛。要在“創(chuàng) 新的大環(huán)境下來面對(duì)高考，我們應(yīng)把握好平時(shí)的一些新穎試題，充分挖掘其立意， 舉一反三，廣泛聯(lián)系【能力訓(xùn)練】7.試題背景：此題與以往把立體圖簡單地展開為平面圖是不一樣的，例1?解法一： 如圖，過點(diǎn) E作EG丄AC,垂足為G,過點(diǎn)F作FH丄AC,垂足為

13、H ,那么 EG FH .2 , GH 2.2(2.2)2( . 2)2(、2)20 i2.以適應(yīng)新課程的理念及新時(shí)代的高考。又在)過EQfG作,gOE垂直于2fo的延長線于點(diǎn)y，Z),.連3em .?二面角D AC B為直二面角，？?禪面Da一丄平面BAC , OE2 of2 EF222 22 (2、一 3)2? EG丄平ffiOBAC .T GM丄OF，由三垂線定理，得 Em丄OF .? EMG就是二面角 WOF 2F的平面角.EOF 120 ?交線為AC,又T EG丄AC,在Rt EGM中,-tan EMGEGM 90 : , EG、2 , GM 1 OE 2EMG arctan、2 .

14、所以，二面角OF A的大小為arctan、2 .解法二：(I)建立如下圖的直角坐標(biāo)系那么 OE (1,1 r.,2),(020)cosEOF 120(n)設(shè)平面OEF的法向量為由0,得1 y '2Z °,解得 y 0,2y0,所以,(1,o,子)n1又因?yàn)槠矫?AOF的法向量為(0,0,1),所以，二面角EOF A的大小為n1 , n2arccos 3例2?正解：正三棱柱 ABC-A 1B1C1的側(cè)面展開圖是一個(gè)長為 9，寬為4的矩形,其對(duì)角線長為92 4297如圖1,將側(cè)面BCi旋轉(zhuǎn)120使在厶側(cè)面中Ci在同一平面上，點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3F一3的位置，連接MPi,那么MPi就是

15、由點(diǎn)P沿棱柱 側(cè)面 經(jīng)過CCi到點(diǎn)M的最短路線。設(shè) PC = x，貝 u PiC= x ,在Rt MAR中，(3+ x)2 22 29,x 2MC RCMA PANC連接PPi 如圖2,貝u PPi就是NMP與平MjTAu.jrffil4 hi.II jj1ClN> -_AIl /%匸匚PlHBAl面ABC的交線，作NH PP于H ,又CCi平面ABC，連結(jié)CH，由三垂線定理得，CHPPi。NHC就是平面NMP與平面ABC所成二面角的平面角CH 1在Rt PHC中,PCH在 Rt NCH 中,tan NHC例3. 1證：由題知 AD=AE，1-PCP12NC 4CH 5DG=GE60 ,

16、? DE丄 AG又 DF=EF，DG=GE? DE 丄 FG 又 AG A FG=G? DE丄平面AGF(2)由(1)得 E 丄 AG，DE 丄 FG?/ AGF 為二面角 A DE F的平面角cos AGFAGFAF=3，AG=，AG2 FG2 AF2 AG FG1arccos -FG3.3 .3AJLNJfD2E過點(diǎn)F作FH丄AG于H，由1得DE丄平面AEFFH 面 AGF ? DE 丄 FH又AG丄FH AG 面ADE DE 面ADE? FH丄平面 ADE? FH的長就是點(diǎn) F到平面ADE的 距離在 Rt AQP 中,A1Q=AF=2,PQ=1,又？ AP 5MQ 丄 A1P ? MQA

17、iQ?PQA1P2.55FH=GF ? si nF HG= 2 *在 Rt FGH 中，?點(diǎn)F到平面ADE的距離為一63評(píng)注：折疊問題是考查學(xué)生空間想象能力的較好載體。如此題，不僅要求學(xué)生象解常規(guī)立幾綜合題一樣懂得線面垂直的判定方法，二面角平面角的作法以及點(diǎn)面距的求法，還要正確畫出正三角形 ABC沿特定邊折疊而成的空間圖形，更要識(shí)得折前折后有關(guān)線線、線面位置的變化情況以及有關(guān)量(邊長與角)的變化情況，否那么無法正確解題。這正是折疊問題的價(jià)值所在。例4解法一：不妨設(shè)正三角形 ABC的邊長為3(1) 在圖 1 中，取 BE 中點(diǎn) D,連結(jié) DF. AE : EB=CF : FA=1 : 2 二 A

18、F=AD=2 而 / A=6C °, /. ADF是正三角形，又 AE=DE=1, ? EF丄 AD在圖2中，A1E丄EF, BE丄EF, A1EB為 二面角EF B的平面角。由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，A1E丄BE,又BEp) EF E ? A1E丄平面BEF,即A1E丄平面BEP(2) 在圖2中，A1E不垂直 A1B, ? A1E是平面A1BP的垂線，又 A1E丄平面BER?- A1E丄BE.從而BP垂直于A1E在平面A1BP內(nèi)的射影(三垂線定理的逆定理)設(shè)A1E在平 面A1BP內(nèi) 的射影為 A1Q,且A1Q交BP于點(diǎn)Q,那么/ E1AQ就是A1E與平面A1BP所成的角，且B

19、P丄A1Q.在厶 EBP 中,BE=EP=2 而/ EBP=6() , ? EBP 是等邊三角形?又 A1E 丄平面 BEP,? AB=AP, ? Q為BP的中點(diǎn)，且EQ J3 ,又 人茫=1,在Rt A1EQ中，tan EA1Q畀巧宀eaq=60, ?直線A1E與平面A1BP所成的角為600在圖3中，過F作FM丄A1P與M,連 結(jié) QM,QF, ?/ CP=CF=1, / C=60),1 ? FCP 是正三角形，？ PF=1.有 PQ - BP 1 ? PF=PQ ,2TA1E 丄平面 BEP, EQ EF 爲(wèi)？ AE=AQ,? AFPAA AQP 從而 / APF=/ A1PQ,由及MP為

20、公共邊知 FMPAA QMP,?QMPN FMP=90,且 MF=MQ,2、5 在厶 FCQ 中,FC=1,QC=2,5MF/ C=60),由余弦定理得 QFMF2 MQ2 QF2MF ?MQ在厶 FMQ 中，cos FMQ從而/ FMC為二面角B A1P F的平面角.(2)設(shè)平面ABC的法向量為(x,y,z),那么由 mx y 0;CA 知:J CA(1,1,1).0.可取R|同理，可求得AC(1,0, 1).D的大小應(yīng)等于 耳門；設(shè)由圖可以看出,三面角B那么 cos <1*3.23，即所求二面角的大小是arccos ,E(x, y, z)是線段AC上一點(diǎn),那么xz> 0, y

21、1,平面BCD的一個(gè)法向量為n (0,0,1), DE (x,1,x),解法二：(1 )作 AH 面 BCD 于 H ,連 BH、CH、DH那么四邊形BHCD是正方形,且AH 1 ,以D為原點(diǎn)，以DB為x軸,DC那么 B(1,0,0), C(0,1,0), A(1,1,1).孔1,0),DABC DA 0,貝 y BC (1,1,1),AD.BC 知 BCDE與n的夾角為60,要使所以ED與面BCD成30由xV1 2x2cos60那么2x 1 2x2,解得,x2,那么 CE22x 1.故線段AC上存在E點(diǎn)，且CE 1 ,時(shí)ED與面BCD成30角.【解后反思】在立體幾何學(xué)習(xí)中,我們要多培養(yǎng)空間想

22、象能力,對(duì)于圖形的翻折問題,關(guān)健是利用 翻折前后的不變量,二面角的平面角的適中選取是立體幾何的核心考點(diǎn)之一.是高考數(shù)學(xué)必考的知識(shí)點(diǎn)之一.作，證，解，是我們求二面角的三步驟 .作：作出所要求的二面角,證:證 明這是我們 所求二面角,并將這個(gè)二面角進(jìn)行平面化 ,置于一個(gè)三角形中,最好是直角三角形 利用我們解三角形 的知識(shí)求二面角的平面角.向量的運(yùn)用也為我們拓寬了解決立體幾何問題的角度，不過在向量運(yùn)用過程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托題目的圖形,坐標(biāo)才會(huì) 容易求得.例5.【解析】(I)證明：EF分別為正方形 ABCD得邊AB、CD的中點(diǎn),EB/FD,且EB=FD,四邊形 EBFD為平行四

23、邊形.BF/EDUEF平面AED,而BF平面AED BF/平面ADE(II)解法1 :如右圖，點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上，過點(diǎn)A作AG垂直于平面 BCDE,垂 足為G連結(jié)GC,GD. /ACD 為正三角形，AC=AD CG=GDTG在CD的垂直平分線上，點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,那么AH DE，所以AHD為二面角A-DE-C的平面角.即AHG，設(shè)原正方體的邊長為 2a,連結(jié)AF在折后圖的AEF 中,AF= , 3a ,EF=2AE=2a,22 “aGH 1a GH -52,5，cosAH 4即 AEF 為直角三角形，AG EF

24、AE AF 在 Rt ADE 中，AH DE AE AD AH解法2:點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上，連結(jié)AF,在平面AEF內(nèi)過點(diǎn)作AG EF ,垂足為G . ACD為正三角形,F為CD的中點(diǎn)，AF CD又因EFCD，所以CD平面AEF"AG I平面AEFAGCD又AGEF 且 CDEFF,CD 平面 BCDE,EF平面BCDEAG平面BCDEG為A在平面BCDE內(nèi)的射影G.即點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影在直線 EF上過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,那么AH DE，所以AHD為二面角A-DE-C的平面角.即AHG，設(shè)原正方體的邊長為 2a,連結(jié)AF在折后圖的 AEF 中,

25、AF= 3a ,EF=2AE=2a,即AEF為直角三角形，AG EF AE AF AG 3 aGH 1在 Rt ADE 中，AH DE AE AD AH =cos2 <5AH2解法3:點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上連結(jié)AF,在平面AEF內(nèi)過點(diǎn)作AG EF ,垂足為G .ACD 為正三角形 ,F 為 CD 的中點(diǎn) ， AF CD又因EF CD ,所以CD平面AEF CD 平面BCDE平面AEF平面BCDE又門平面 AEF 平面 BCDE=EF,AG EFAG EFAG平面BCDE G為A在平面BCDE內(nèi)的射影G.即點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影在直線 EF上過G作GH垂直于ED于H,

26、連結(jié)AH,那么AHDE所以AHD為二面角A-DE-C的平面角即AHG設(shè)原正方體的邊長為2a,連結(jié)AF，在折后圖的AEF 中,AF= , '3a ,EF=2AE=2a,GHGH 1AH 425'C°S即AEF為直角三角形，AG EF AE AF在 Rt ADE 中，AH DE AE AD AH【點(diǎn)評(píng)】本小題考查空間中的線面關(guān)系，解三角形等根底知識(shí)考查空間想象能力和思維能力【達(dá)成測試】1.解：不妨設(shè) BC=3,貝U AE=EG=GB八.'3 ,EM=1,GN=2, 延長NM與GE的延長線交與點(diǎn) H,連 AH.1?/ EMGN, A GE=EH,NM=MH 又 AE

27、=GE , A AE=GE=EH 故 GAL AH.2又由題可知 AM=MN, A AM=MN=MH, NAlAH, / GAN l卩為面 AMN與面DHF所成的角NG 23A tan aG 2 33故=3° °，應(yīng)選 A。2.【答案】3. B4.3B (0,AC丄6. 6?解：如圖,在平面AED內(nèi)作 MQ / AE交ED于Q,那么MQ丄ED,且Q為0d QN, 那么 NQ丄ED且 QN II EB,QN=EB, / MQN為二面角 A- DE B的平面角,十十1?/ MQN=45 ° v AB 丄平面 BCDE,又I AEB= I MQN=45 ° ,

28、MQ= AE=211平面 MQN 內(nèi)作 MP 丄 BQ,得 QP=MP= EB,故 PB=QP= EB,故 QMN 是以 I QM22等腰三角形，即MN丄QM,也即MN子AE所成角大小等于 907.解：將正三棱柱ABC A1B1C1沿側(cè)棱CC1展開，其側(cè)面展開圖如圖所示，由圖中路線可得結(jié)論為102為直角的8?解法一(I)證明 由題設(shè)知0A丄001,OB丄001.所以I A0B是所折成的直二面角的平面角，即0A丄0B.故可以0為原點(diǎn)，0A、0B、001所在直線分別為 X軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系 圖3,那么相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是 A (3, 0, 0),3, 0), C (0, 1, V3 )0

29、1 (0, 0, 、3 ).從而 AC ( 3,1,、3),B01 (0, 3,、3), AC BQB01.所以(II )解:因?yàn)?B01 0C 3330,所以 B01 丄 0C,(I) AC丄B01,所以B01丄平面OAC , B01是平面(x, y, z)是0平面01AC的一個(gè)法向量AC 001C 03x y 3z y 0.0,取 z 3,得 n設(shè)二面角0 AC 01的大小為n、B01的方向可知3,30.OAC的一個(gè)法向量(1,0, 3).n， BO1 >,所以 cos cos n , B01 >=八B01In丨丨B014即二面角 0 AC 01的大小是 arccos .4解法二I證明 由題設(shè)知OA丄OOi, OB丄OOi,所以/ AOB是所折成的直二面角的平面角，OiC , 3OOi 3 ，從而 OCX BOiOC是AC在面OBCO i內(nèi)的射影.OQC因?yàn)?tan 00 iB3 tanOOi所以 / OOiB=60。，/ OiOC=30由三垂線定理得 AC丄BOi.II 解由I AC 丄 BOi, OC 丄 BOi,知 BOi 丄平面 AOC.設(shè)OC A OiB=E，過點(diǎn)E作EF丄AC于F,連結(jié) OiF 如圖4,那么EF是OiF在平面 AOC內(nèi)的 射影，由三垂