1、第九章？>解析幾何(必修2、選修1-1)第六節橢圓(二)高考概覽：1?能夠把直線與橢圓位置關系問題轉化為研究方程的解的問題，會根據韋達定理及判別式解決問題；2?進一步體會數形結合的思想.主干知識札L理Zhug汕whishi$huli?邏主干梳理精要歸納知識梳理1.點與橢圓的位置關系22(1)點P(xo,yo)在橢圓內？爭+器<1；22點p(xo,yo)在橢圓上？a2+b=i;處V2(3)點P(x。，y。)在橢圓外？0+b>1.直線與橢圓的位置關系y=kx+m聯立x2v2得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=。，設a2+b2=1,一元二次方程的判別式為則A

2、>o?有2個交點？相交；A=o?有一個交點?相切；&o?無交點?相離.弦長公式設AB為橢圓的一條弦，A(xi,vi),B(X2,V2),直線AB的斜率為k,則|AB|1+兇-X2=1+1lVi-V2|.辨識巧記(1) 橢圓中的3個結論a+c與ac分別為橢圓上點到焦點距離的最與值和最小值.橢圓的通徑(過焦點垂直于長軸的弦)長，是過2食謚焦點的直a線被橢圓所截得的弦長的最小值.x2y2在橢圓孑+b2=1中，以點M(xo,y)為中點的弦所在直線的斜率kb!XQ率k=a2?雙基自測1.判斷下列結論的正誤.(正確的打“/”，錯誤的打X”)過橢圓中心的弦中，長軸最長，短軸最短.b2過橢圓的焦

3、點且垂直于長軸的弦長為£?(X2直線y=kx+1與橢圓3+y2=1總有公共點.以P(2,1)為中點的橢圓2+y2=1的弦所在直線的方程為X+yX23=0.()答案(1)"(2)XV(4)Xx2v22.直線y=2x1與橢圓9+4=1的位置關系是()A.相交B.相切C.相離D.不確定y=2x1解析x2y2得Ax2+9(2x1)2=36,即AOx236x27I?+4=1=0,A=362+4X40X27>0，故直線與橢圓相交，故選A.答案A3.(2019洛陽統考)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(.15,0),直線y=x與橢圓的一個交點的橫坐標為2,則橢圓方程為()22A.

4、A6+y2=1B.X2+匕=1烽41嶺注1解析依題意，設橢圓方程為羊1(a!>b>=)，則有學+令=1且c=15,由此解得a2=20,b2=5,因此所求的橢圓方程是2八+=1.故選C.答案如圖,F(c,O)為橢圓彩+*1(a>b>0)的右焦點，A,B為橢圓的上、下頂點，P為直線AF與橢圓的交點，則直線PB的斜率kpB=()b+cbcA.2B.2c.2D.解析直線af的方程為x+b=i,把y=bx+b代入肇+y2=1,得帶x2Cx=0,2a2cc2ba2b/XP=a2+c2,yP=22,a2+c2c2babo事?故選D.a2+c222+%a2+9c2/kpB=2a2c一答

5、案DX核兒'考點犬破HErkirikdC(lidri(upoIfi研考顓難考占一直線與橢圓的位置關系【例1已知直線I:y=2x+m橢圓C:中+y=1.試問當m取何值時，直線I與橢圓C:有兩個不重合的公共點有且只有一個公共點；已知斜率為1的直線過橢圓4+y2=1的右焦點交橢圓于A、B兩點，則弦AB的長為x2解析4+=1的右焦點為F(,3,0)，故直線方程為y=x-?3,y=x沒有公共點,2-設A(xi,yi),B(X2,y2),22得5x283x+8=0,Xilx2+4y24=0+X2=853,乂很2=8,由弦長公式得|AB|=(1+12)(Xi+X2)24X1X2=85.聯立直線與消去

6、y得關于x答案舟思路引導的二次方程橢圓方程利用飆斷解將直線I的方程與橢圓C的方程聯立，得方程組y=2x+m，x2y2將代入，整理得9x2+8mx+2m24=0.3+2=1,方程根的判別式=(8m)24X9X(2m24)2=8m2+144.當40,即一3.2<m<32時，方程有兩個不同的實數根，可知原方程組有兩組不同的實數解.這時直線I與橢圓C有兩個不重合的公共點.當0,即m=土3.2時，方程有兩個相同的實數根，可知原方程組有兩組相同的實數解.這時直線I與橢圓C有兩個互相重合的公共點，即直線I與橢圓C有且只有一個公共點.(1) 當人<0,即m<32或m>3.2時，方

7、程沒有實數根，可知原方程組沒有實數解.這時直線I與橢圓C沒有公共點.名師點撥A直線與橢圓位置關系的2種判斷方法(1)研究直線和橢圓的位置關系，一般轉化為研究其直線方程與橢圓方程組成.對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內部或橢圓上判定直線和橢圓有對點訓練x2y2已知對k?R,直線ykx1=0與橢圓-+m=1恒有公共點,求實數m的取值范圍.解*取,y-kx1=0,即直線y=kx+1恒過定點(0,1),若直線與橢圓5+m=i恒有公共點，則(o,i)在橢圓內或橢圓上，?*m>1，且mH5.考點二弦長問題【例2】(2018云南昆明一中月考)已知中心在原點O,焦點在x軸上的橢圓E過點C(0,1)

8、，離心率為-2-.(1)求橢圓E的方程；直線I過橢圓E的左焦點F,且與橢圓E交于A,B兩點，若2OAB的面積為所以橢圓E的方程為2+y2=1.，求直線I的方程.設直線I的方程并思路引導I待定系數法求方程與橢圓方程聯立利用根與系數的關系及弦解方程得長公式表示OAB的面積出結果X2解(1)設橢圓E的方程為孑+b2=1(a>b>0),b=1,由已知得：=于，解得a2=2,b2=1,a2=b2+c2,由已知，直線I過左焦點F(-1,0).當直線I與x軸垂直時，A1,-B;-1,¥此時|AB|=,2,則Sa)ab=1X.2X1="氣不滿足條件.當直線I與x軸不垂直時，設直

9、線I的方程為y=k(x+1),A(xi,yi),B(x+2k2,k2y“2=k(x1+1)k(X2+1)=k2(x1X2+Xi+X2+1)=2,1+2k2,y2).y=kx+1,由x2得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,2+y2=14k22k22所以X1+x2=2,X*2=2.1+21+2k211因為szx)ab=2|0F|y1y2=二山一y2|.4由已知Saqab=3得|y1y2=3.4k2因為+y2=k(X+1)+k(x2+1)=k(X+X2)+2k=k?2+2k=1+2k22k所以|yiy2l=>/(yi+y2)24y1y2=4k24k2=4=1+2k22+1+2k2=

10、3,所以k4+k22=0,解得k=+,所以直線I的方程為xy+1=0或x+y+1=0.名師點撥A(1)設直線與橢圓的交點坐標為A(xi,yi),Bg沁，則|AB|='1+k2禺+X224xix=1+k2J(yi+y2)24yiy2(k為直線斜率).(2)利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式.對點訓練x2y(2019北京海淀區期末)已知橢圓C:3m+m=1直線I:X+y2=0與橢圓C相交于兩點P,Q,與x軸交于點B,求P,Q與點B不重合.(1) 求橢圓C的離心率；當SAopq=2時，求橢圓C的方程.22c2=2m,e2=a=3,故e=36.(1)a=

11、3m,b=m,設P(X1,y1),Q(X2,y2),將x+y2=。代入橢圓C的方程并整理得4x212x+123m=0,依題意，由(一=12)24X4X(12一3m)>0得m>1.且有123mX1X2=4X1+X2=3,|PQ|=;1+k2|x1X2|=2:;9123m原點到直線I的距離d=2,所以Saopq=2|PQ|d=2八6?m1X2=2,解得m=3>1,故橢圓方程為7+3y=1.考點三中點弦問題A, X2y2【例3】(1)已知橢圓E:亍+b八=1(a>b>0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交橢圓于B兩點.若AB的中點坐標為(1,1),則E的方程為(X2

12、亡A.45+36bJE+JE=136+27=1x2y2CC.27十18=1(2018新鄉模擬)已知橢圓2X+y2=1，則斜率為2的平行弦中設出弦的兩代入橢圓方程,思路引導端點坐標兩式作差求出直線的斜率點的軌跡方程為得出結果解析設A(Xi,yd,B(X2,2),代入橢圓方程得<x2y2a1+b2122金丁浮=1,兩式相減得學2+害=0,X1+X2y1y2y1+y?72=0.X1X2b?Xi+X2=2,y+y2=2,kAB=21一2盲+2*眉=0,即口a2=2b2.又c=3=,a2b2,a2=18,b2=9.二橢圓E的方程為18+y9=1?故選D.設弦的兩端點為A(xi,yi),B(X2,y

13、2),中點為M(x,y)，則有§+y2=1,x2+y=X2-X1X2+X1兩式作差，得+(y2y1)(y2+yd=0.1.y2y1?Xi+X2=2x,y1+y2=2y,=kAB,X2Xi代入后求得kAB=2y.X由題意得2=2y,AX+4y=。.又點M(x,y)在橢圓內部，(44)故所求的軌跡方程為x+4y=03<x<3J-(44、答案(1)D(2)x+4y=0、-3<x<3JI名師點撥弦及弦中點問題的類型及解決策略常見類型解決策略 過定點，定點為弦中點 平行弦中點的軌跡 過定點的弦的中點軌跡根與系數的關系直線與橢圓方程聯立，消元，利用根與系數關系表示中點點差

14、法：利用弦兩端點適合橢圓方程，作差構造中點、斜率對點訓練x2y1.（2019合肥質檢）已知橢圓E:-4+2=1,直線I交橢圓于A,flB兩點，若AB的中點坐標為2,1,貝“I的方程為（）5A.2x+y=0B.x2y一肯092xy2=0D.x4y02222解析設A（Xi,yd,B（X2,財，則乎+號=1,乎+y=1,兩式作差并化簡整理得y1-2=一寸八2,而X1+X2=1,y1+y2=2,X1X22y+y2y1y211119所以=4,直線I的方程為y+1=£X2j,即x4y2=0?故選X1X244'22D.答案D1一2.(2018滄州二模)過點M(1,1)作斜率為一1的直線與橢

15、圓C：x22a+治=1(a>b>0)相交于A,B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于.解析設A(xi,yi),B(X2,y2),則孚+勞1,a2+b2=1、兩式相減并整理得yiy2b2xi+X2=一?XiX2ayi+y2把已知條件代入上式得，一2=一知2,?O2=2,故橢圓的離心率e=j1=普.答案¥考點四直線與橢圓的綜合問題X2V2【例4】(2019河南鄭州聯考)已知橢圓C:孑+器=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,以F1F2為直徑的圓與直線ax+2by3ab=0相切.(1)求橢圓C的離心率；如圖，過F1作直線I與橢圓分別交于兩點P,

16、0,若山PQF2的周長為42,求F2PF2Q的最大值.r1*以FxF2為直徑的圓與思路引導得關于a,b,c的一求出離心率齊次方程設出直線/的方程，與橢圓方程聯立由APQFg的周長為4施求一出橢圓方程設出AJ3點坐A標，確定根與系數的關系直線ax+2方y43abQ相切由直線I的斜率盤表示刁-耳？,并用函數知識求出最大值|V3ab|由題意，得2么莊二C,?*a2=2b2,e=2b2)=0./3a2b2=c2(a2+4b2),化簡得(a2+2b2)(a2?誦周長為札2,4a=42,2,2.?,a=,2,b2=1.x2?橢圓c的方程為2+y2=1,且焦點Fi(1,0),F2(i,o).若直線I的斜率不

17、存在，則I的方程為x=1.x=1,x=1,X=-1，解方程組X2或23+yJ1,得七y=-V設P(1,豹Q1,一豹則F2P=2,普,F2Q=-2,一事.?F2PF2Q=2?若直線I的斜率存在，設直線I的方程為y=k(x+1).y=k(x+1),由<x2消去y并整理，得2+y2=1(2k2+1)x2+4k2x+2k22=0.設P(X1,y1),Q(X2,y2),4k22k2則X1+X2=22k2+1,?*F2pF2Q=(Xi1,y1)(-X21,y2)=(x11)(x21)+yy2=(k+1)x1X2+(k1)(x1+X2)+k+12k224k2、(k2+訃+(k21)2=7k21=79=

18、2k2+1=222k2+1).?k2>0,.-1<命AA<2?綜上，一kFpfQw2.?F2PF2Q的最大值是7.名師點撥A求解有關直線與橢圓綜合問題的3個關鍵點一是公式意識，即會利用三角形的面積公式，把所求的三角形的面積轉化為求距離、求角的問題；二是方程思想，即引入參數，尋找關于參數的方程；三是不等式意識，需認真審題，尋找關于參數的不等式.對點訓練一x(2019東北二省四市一模)在平面直角坐標系中，橢圓C:孑+2i/3b=1(a>b>0)的離心率為2,點M;1,2在橢圓C上.(1) 求橢圓C的方程；(2) 已知P(-2,0)與Q(2,0)，過點(1,0)的直線I

19、與橢圓C交于A,B兩點，求四邊形APBQ面積的最大值.c1解(1)-a=2,；a=2c,'?b2+c2=a2,b2=3c2,22則橢圓c的方程為畚+器=1,'3:13將J,3代入橢圓C的方程得JE+花=1,c2=1,X2V2二橢圓C的方程為4+3=1.易知直線I的斜率不為0,設直線I的方程為x=my+1,聯立x2方程，得7+3=1x=my+1,消去x得(3m2+4)y2+6my9=0,設A(xi,yi),Bgy2).6m91+m23m2+4貝Uyi+y2=2-,yiy2=2,|AB|=ViV，121+m23m2+43點P(2,0)到直線I的距離為/+m點Q(2,0)到直線I的距

20、離為i12(1+m2)從而四邊形APBQ的面積S=2X石百241+m23m2+4令t=$1+m2,t>1,24t241則S=一3t2+3t+十設函數f(t)=3t+A(t>1),3m2+43m2+41+m21則f'(t)=32。，f(t)在1,+乂)上單調遞增，+m4y2=一、選擇題22直線y=x+2與橢圓焦+魯=1有兩個公共點，則m的取值范圍是（）A.（1,+乂）B.（1,3）U（3,+乂）C.（3,+乂）D.（0,3）U（3,+乂）22解析把y=x+2代入初+卷=1,得（3+m）x2+4mx+m=0.由=6m24m（3+m）>0，得m<0或m>1.因為

21、m>0且mz3,所以m范圍為（1,3）U（3，+兔）.故選B.答案B(2019安徽江南十校模擬)已知橢圓G的中心為坐標原點0,點F,B分別為橢圓G的右焦點和短軸端點.點0到直線BF的距離為，3,過F垂直于橢圓長軸的弦長為2,則橢圓G的方程是()2222AxyyxA.&+2=1B.4+2=1x2y；y!C.16+4=1D.16+&=1解析設橢圓方程為手+猙=1(a>b>0)，由已知可得bc=.3岸=2及a2=b2+c2,知a=4,b=2,故選C.答案C(2019廣西南寧聯考)已知橢圓字+決1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是xy+5=0,弦的中點

22、坐標是M(4,1),則橢圓的離心率是()A.1B乎日寺解析設直線xy+5=0與橢圓羊+律=1相交于A(X1,yj,B(X2,y2)兩點，因為AB的中點坐標是M(4,1),所以Xi+X=8,yi+y2=2.易知直線AB的斜率k=y2-yXX1決?='(xi+x2；(xi-x2(yi+y2hyiy2)22兩式相減得，宗+喜_yiy2io?Xi+乂21c=0,所以=了?所以孕=云）于是橢圓的離心率。=二=X1-X2ayi+y2a4a故選c.Yazx2y2（2019昆明市高三質檢）已知F是橢圓E：十+孑+存=1（a>b>0）的左焦點，經過原點O的直線I與橢圓E交于P,Q兩點，若|P

23、F|=2QF|，且/PFQ=120。貝U橢圓E的離心率為（1132解析設Fi是橢圓E的右焦點，如圖，連接PF、QFi.根據對稱性，線段FFi與線段PQ在點。處互相平分,=畢以四邊形PFQFi是平行四邊形,|FQ|=|PF1|,ZFPF1=180-ZPFQ=60°根據橢圓的定義，得|PF|+|PF1|=2a,又|PF|=2|QF|,24所以|PFH=3a,|PF|=3a,而時|=2c,在AF1PF中，由余弦定理，得解得冥3,十所以橢圓(2c)2-3a2+4a以a2并化簡得e2+e1<0，解得22x|ax|axcos60E的離心率e=a故選C.答案C（2019云南曲靖聯考）如圖，橢

24、圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，Ai,A2,Bi,B2為橢圓的頂點，F2為右焦點，延長B1F2與A2B2交于點P,若/B1PB2為鈍角，貝S該橢圓的離心率的取值范圍是（）解析設Bi（0,b）,B2（0,b）,F2（c,0）,A2（a,0）,貝UB2A2=（a,b),F2B1=(c,b).因為ZB1PB2為鈍角，所以F2B1與B2A2的夾角為銳角,所以B2A2F2B1=ac+b2>0，即a2c2ac>0.兩邊同時除2、V51V51<e<2.又0<e<1，所以510<e<2-?故選C.答案C二、填空題1. 橢圓兩頂點A(1,0),B(1,0),過焦

25、點F(0,1)的直線I與橢圓交于C,D兩點.當|CD|=言丁2時，直線I的方程為、y2X222解析設橢圓的方程為a2+A2=1(a>b>0)，則b=1,c=1,所以a?所求直線方程為y2=2(x4)，即口x+2y8=0.=b2+c2=2,故橢圓方程為2+X=1.設直線I的方程為y=kx+1,代入橢圓方程并整理得(k2+2)/+2kx1=0.應4k249由CD|=322,得(1+k2)k2+2)2+k+2卜9,解得k2=2,k=士2.所以直線I的方程為y=士.2x+1,即2xy+1=0或2x+y1=0.答案,2xy+1=0或2x+y1=0222. 若橢圓有舌+卷=1的弦被點(4,2)

26、平分，則這條弦所在的直線方程為.解析易知此弦所在直線的斜率存在，所以設斜率為k.x2y2設A(x,yj、Bgy2),則36+舌=1,Xi+x2X1x2=0,一得e3636+弋=1,?N+X2=8,y+y2=4,2x一X24y一目2-9+9=yiy2?ok=XiX2答案x+2y8=0(2018廣東廣州模擬)已知中點在坐標原點的橢圓C的右焦點1為F(1,0)，點F關于直線y=2x的對稱點在橢圓C上，則橢圓C的方程為解析設橢圓方程為x2+y2=1(a>b>0)，由題意可知c=1,即1n-a2b2=1，設點F(1,0)關于直線y=Ax的對稱點為(m,n),可得="0"m

27、-=一2又因為點F與其對稱點的中點坐標為呼，2,且中點在?=3、1n1m+1m=5,直線y=qx上，所以有n=2，聯立，解得4即n=5,34、916對稱點為g,5代入橢圓方程可得25a?+25b2=1，聯立，解得a2=5,b2=半，所以橢圓方程為5x+乎=1.答案粵+乎=1-三、解答題x2y(2018石家莊月考)已知點M(®問在橢圓C:g+參=1(a>b>0)上，且橢圓的離心率為冷6(1)求橢圓C的方程；若斜率為1的直線I與橢圓C交于A,B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(3,2)，求ZXFAB的面積.62d孑+產2,解(1)由已知得c=,a_3,?a3=b2+c

28、2,fa2=12,解得lb2=4.22故橢圓C的方程為言夸+4=1.(2)設直線I的方程為y=x+m,A(xi,yi),B(x2,y2),AB的中點為D(xo,y).y=x+m,由x2y2消去y,整理得4x2+6mx+3m212=0,+112+4',由/36m216(3m212)>0得m2<16,冷+x3則xo=2=一4m,因為AB是等腰三角形PAB的底邊，即D-|m,14m,所以PD山B,即PD的斜率k=yo=Xo+m=4m,解得m=2,滿足m2<16.此時Xi+X2=3,XiX2=0,貝U|AB|=,2|xi一畜田=xi+X224xiX2=32,3又點P到直線I:

29、xy+2=0的距離為d=八2,19所以FAB勺面積為S=2|AB|d=8. (2018廣西賀州桂梧高中月考)已知中心為坐標原點0,焦點在y軸上的橢圓M的焦距為4,且橢圓M過點(1,3).(1) 求橢圓M的方程；若過點C(0,1)的直線I與橢圓M交于A,B兩點，AC=2CB,求直線I的方程.2X解(1)設橢圓M的方程為拿+存=1(a>b>0).222?2c=4,/c=2,/a2b2=c2=4.31又橢圓M過點(1,.3),.?昴bA=1.a2b2=4,由31解得a2=6,b2=2,了+金=1,橢圓M的方程為y:+=1.當直線I的斜率不存在時，直線I的方程為x=0.此時點A,B的坐標分

30、別為(0,-.6)和(0,6)，不滿足AC=2CB,.直線I的斜率一定存在.設直線I的方程由<V2/為y=kx+1,消去y并整理，得(3+k2)八+2kx5=0.T直線I與橢圓交于A,B兩點,?4k2+20(3+k2)=24k2+60>0.則X1+X2=一云,X1X2=53+k2.設A(xi,yi),Bgy2),又2CB,?Xi,4y1)=2(X2,y2D,?,1=2x2,2kX1+X2=X2=2,?X2=3+k2X1X2=-2x2=一撫,8k2解得k=5,滿足,3+k2)2=3+k2'/k=士5.故直線I的方程為y=士.5x+1.能力提升練(2019江西南昌一模)橢圓ax

31、2+by2=1(a>0,b>0)與直線y=解析b的值為(A令2.39.32.3B.3C.2D.27解法一：將ax2+by2=1與y=1x聯立可得(a+bjx22bx+b1=0,設A(Xi,yj,B(X2,y?),貝SX1+X2=，所以ABa+b的中點坐標忠贏所以"塑3.故選B.解法二：設A(xi,yj,B(X2，討2,貝SaXi+byi=1,a3by2=1,貝Uax84(t2-1)-ax2=-(by2by2),by1by2貝y=aXix?攙+X2by1-y2yi+y2-1aX1心=1,?=備+4(111')=000鍛+axX2=-5IX1X2=5-12,40,故選

32、b.2xy2=1相交答案B(2019河南安陽模擬)斜率為1的直線I與橢圓2于A,B兩點，則|AB|的最大值為(ac-4/5/Vi0-8A10C.-5-D-5-A2解析設A,B兩點的坐標分別為(xi,yi),(X2,y2),x2+4y2=4,直線I的方程為y=x+1,由消去y,得5x2+81xly=x+19. x2y2(2019河北承德一模)已知橢圓r:予+占一1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，上、下頂點分別為A,B,直線AF交r于另一點M,若直線BM交x軸于點N(12,0)，則r的離心率是.x則直線AM及BN的方程分別為3a+X12y-b”rx+y=13+b',由代入橢圓方程得24x=5,解得3by=5、242925a2+25=X解得a=6.'243b"5.解析由題意知A(0,b),B(0,一b)c1又c=3,故離心率e=ap14. (2019廣東惠州調研)已知橢圓C：a2+b21(a>b>0)的離心5八2答案2率為才橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為(1)求橢圓C的方程；已知動直線y=k(x+1)與橢圓C相交于A,B兩點.1 若線段AB中