1、個人收集整理 僅供參考學習欲索取更多考研資料，請上 北京天問教育 網站官網！武漢大學2005 年攻讀碩士學位研究生入學考試試題解答一、設xn滿足: |xn 1 xn| |qn |xn xn 1|,|qn| r 1，證明 xn收斂.證明：(分析：壓縮映像原理)1r令：m 1 r ,則顯然| qn | m 1 2n|xn 1 xn| |qn |xn xn 1| m|xn xn 1|( 此即壓縮映像原理證明 )以下證明壓縮映像原理利用 Cauchy收斂準則，對,n p 1p1|xn p xn |xi xi 1 | (1 m . m )|xn 1 xn |in11 mp1mn1m |x2 x1 |n1

2、m |x2 x1 |1m12 / 81mln取N|x2 x1 | +1,對任意的 n Nlnm|xn p xn | 。從而知命題收斂致收斂 .、對任意 0.證明級數1n 在(1,1+)上不n0x證明：(利用反證法， Cauchy收斂準則和定義證明 . ) 如果級數收斂，那么對于 0, x (1,1 ), N, 當 n,M N時1 M N1M 1 1 1 ( x)M N 1 1 n n x 1 n n Nx x 1 1 x x只需令 x (1,min1 , n ) (1,1 ), 代入上式，矛盾從而知非一致收斂、設 f(x) 01|x y|sin ydy,求f (x)解，(本題利用萊布尼茲求導法

3、則：)b(x)F(x， ) a(x) f (x， )dxb( ) f (x， )a( ) f (x)dx f (b( )，a( )0|x y|sin ydy x1 0 (x y)sin ydy x(yFf (x) b( ) f (a( )， ) a( )x)sin ydy,x 0,1f (x)0(x y)sin ydy,x (1, )0(y x)sin ydy,x ( ,0) x1f (x)0 sin ydy x xsin ydy,x 0,1 0 sin ydy,x (1, )sin ydy,x ( ,0)2sin x,x 0,1 f (x) 0,x (1, )0,x ( ,0)四、判斷級數l

4、n ln nsin n地絕對收斂性和相對收斂性n 2 ln n解：（1）絕對收斂性：（主要使用放縮法）1 首先，不難證明對于 n N,|sinn| | sin（n 1）| 2sin A 當M 足夠大的時候 ,ln ln M 1lnln n ln lnn lnlnn| sinn| |sinn| |sinn| n M lnn n M lnn n M lnnAA 。顯然，該級數發散。即不絕對收斂n M ln2n2（2）相對收斂性：（A-D 判別法） an收斂于 0， bn有界 an 有界， an收斂 滿足上述任意一個條件anbn收斂1cos 1sinn12 sin n1 ( 積化和差 )n 2 co

5、s1 n 2cos122lim lnln n lim 1 0( L Hospital 法則)n ln n n ln n根據 Dirichlet 判別法，知該級數收斂五、計算 I(y2 z)dx (x 2yz)dy (x y2)dz ，其中為曲線從 z軸地正方向看過去， 是逆時針方向x2 y2 z2 a22 2 ,z 0,0 2b a ， x2 y2 2bx解：(利用奇偶性做)y a2 z2 sin ,代入方程得到 zzx 2b cos2 y 2bcos sin , 22 z a2 4b2 cos2dx 4bcos sin d 2yddy 2b(1 2sin 2 )d 2(x b)d8b2 co

6、s sin4bydz 2 2 2 d d a2 4b2 cos2zI (y2 z)dx (x 2yz)dy (x y2)dz2 xdy,( 利用奇偶性，第一第三個積分為0)2b2 2 (cos2 1)cos 2 d2 b2 cos2 d2d2 b242 1 cos2b1六、設 f(x)在0,1上變號 ，且為連續函數，求證： min f(x)| f (t ) | dt0,1 0證明：(畫出函數圖像，分兩段討論： ) 利用介值定理，取0，1，inf x| f (x) 0, 不難證明 f( ) 01(1)xmin 0, f (x)minx f (t)dt x | f (t)|dt0| f (t)|d

7、txminxmin0xminxmin1(2)xmin ，1 f (x)min min f (t)dt min| f (t ) | dt0| f (t ) | dt七、證明含參變量反常積分 sinxy dy在 ， 上一致收斂，其中 0，但是 0 x(1 y)在(0, )內不一定一致收斂 .證明：(1)0sin xyx(1 y)dy 1xsin xy M sin ydxy lim dy0 x xy M 0 x y根據定義 , 0, N1Mx| Nsin ydy| 1 M x y x Nsiny2 dy M sin ydy(x y)2 N1 2 1 2 dyx N (x y)21 M N 1 1 。

8、x MN N利用了 Cauchy-Schwarz 不等式)2) sinxy dy在0， 不一致收斂x(1 y)反證法：根據 Cauchy收斂準則， 0, N, M N,當x時M| NM sinxy dxy|Nx xyxMxN x yxM sin ydysin y xN y dy y M xxM MxN 1 M dy M 2 MN1M當M 足夠大時，上式顯然不成立，矛盾。故原命題成立八、在底面半徑為 a，高為 h地正圓錐內作長方體，其一面與圓錐地面重合，對面 四個頂點在錐面上，求長方體地最大體積 .b5E2RGbCAP 解：首先，由于頂點所在的平面和圓錐的交線為一個圓 A，四個頂點組成在圓上 所

9、以，易知長方體的底面中點和圓錐底面的中點重合。另外，頂面的長方形對角線為圓 A的直徑 d，即為定值。1S頂 sin1 d 2,當且僅當底面為正方形的時候取到12V S頂hd2h頂2 h h 1d h h 2 ha不妨設，高為 h8a2h271 2 2a dh d d h d d 3V 21d2(2a2ad h) ahd2 d2(2a d) ah(d2 d2 (2a d)3本題還可以用 Lagrange乘子法解決。但是，我覺得用初等方法也可以。 我不用 Lagrange乘子法用意是學習了高等數學不應該把初等數學方法忘記了九、設a (0，1) ， f ( x)在0, a上連續，在 (0,a), 在

10、(0，a)內可導，以及在 (0,a) 內取到最值，且滿足 f(0)=0,f(a)=a. 證明：1)(0,a),使得f ( ) a ；2)(0, a),使得 f ( ) a證明： 1)命題有問題，取 a=1/2,f(x)=5x-8x 2 f(0)=0,f(1/2)=1/2 f(x)在5/16取到最值，但是f(x)-ax只在x=0,x=9/16等于0，與命題 1矛盾.2)構造函數 g(x) f (x) ax。由于f ( x)為連續函數，所以 g(x)在0,a上為連續函數，且一致連續 反證法：如果命題不正確，那么 g(x) 0,x (0,a) 根據題設，存在(0,a),使得f ( ) 0 g( )

11、a由于g( ) 0,加上一致連續的條件，存在 ,g( ) g( ) 由于 g(0) 0,利用連續性和介值定理，存在(0, ),g( ) g( )根據Rolle中值定理，得到( , ),g( ) 0 f ( ) a武漢大學 2006 年數學分析試題x2 ax b、已知： lim 3 ，求常數 a,b. x 1 1 x二、已知：1n( x 1 )n2 ，求其收斂域 .n 1 2n (2x 1)2n 2x 1三、f 在 0,1 上可導，且 f(1) 2 f (0) ，求證： (0,1) ，使得 ( 1)f ( ) f ( ).四、已知 f (x)在 0,1 上可導， f(0) 0,0 f (x) 1

12、.求證：11( f (x)dx)2f 3(x)dx.五、已知 f 在 a,b 上單調遞增， f(a) a, f(b) b，求證：a,b，使得f( )六、在 過 O( 0 , A0 ) , 地( 曲 線 L: y as i n x (a 中 ， 求 出 使 得(1 y3)dx (2x y)dy 地值最小地 L七、求第二型曲面積分 I xdydz ydzdx z3dxdy ，S為橢圓 x22 y22 z22 1地 S(x2 y2 z2)2a b c外側sinx八、求證 sinxe xydx 在 0,1 上一致收斂 .0 x y九、已知方程 x2 y cos(xy) 0(1) 研究上述方程并說明它在

13、什么時候可以在點 (0,1) 附近確定函數 y y(x)，且 y(0) 1.(2)研究函數 y y(x) 在點 (0,1)附近地可微性 .(3)研究函數 y y(x)在點 (0,1) 附近地單調性 .(4) 試問上述方程在點 (0,1) 地充分小鄰域內可否確定函數 x x(y),x(1) 0 ？并說明理 由版權申明本文部分內容，包括文字、圖片、以及設計等在網上搜集整理 版權為個人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.p1E

14、anqFDPw用戶可將本文地內容或服務用于個人學習、 研究或欣賞， 以及其 他非商業性或非盈利性用途， 但同時應遵守著作權法及其他相關法律 地規定，不得侵犯本網站及相關權利人地合法權利 . 除此以外，將本 文任何內容或服務用于其他用途時， 須征得本人及相關權利人地書面 許可，并支付報酬 . DXDiTa9E3dUsers may use the contents or services of this articlefor personal study, research or appreciation, and other non-commercial or non-profit purpo

15、ses, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee. RTCrpUDGiT轉載或引用本文內容必須是以新聞性或資料性公共免費信息為 使用目地地合理、善意引用，不得對本文內容原意進行曲解、修改， 并自負版權等法律責任 . 5PCzVD7HxAReproduction or quotation of the content of this article must