1、題庫:圓的證明與計算題1 .如圖， AB 是 O 的直徑， 點 D 是 AE 上的一點，且 BDE CBE，BD 與 AE 交于點 F.(1)求證： BC是 O 的切線；(2)若BD 平分 ABE，延長ED、BA交于點P，若PAAO，DE2，求 PD 的長(1)證明： AB 是 O的直徑，AEB 90°，EAB EBA 90°，BDE EAB， BDE CBE，EAB CBE，ABE CBE 90°，CB AB，AB 是 O 的直徑，BC 是 O 的切線；(2)解： BD 平分 ABE， ABD DBE，如解圖，連接DO，第 1 題解圖OD OB，ODB OBD，

2、EBD OBD，EBD ODB，OD BE，PD POPE PB，PA AO， PA AO OB， PO 2 PB 3，PD 2 PE 3，PD 2PD DE 3， DE 2， PD 4.2 .如圖，在 ABC 中，AB AC，以AB 為直徑的 O 與邊BC， AC分別交于D， E 兩點，過點D 作 DF AC，垂足為點F.(1)求證：DF 是 O 的切線；2(2)若 AE 4， cosA 5，求 DF 的長第 2 題圖1）證明：如解圖，連接OD，第 2 題解圖 OB OD，ODBB，又 ABAC，C B，ODBC， OD AC， DF AC，DFC 90°，ODF DFC 90&#

3、176;， OD 是 O 的半徑， DF 是 O 的切線；(2)解：如解圖，過點O 作 OG AC，垂足為G， AG 21AE 2.AG 22cosA OA OA 5， OA 5， OGOA2 AG221，ODF DFG OGF 90°， 四邊形OGFD 為矩形， DF OG21.3 如圖，在 O 中，直徑CD 弦AB 于點 E，AM BC于點 M，交CD 于點N，連接 AD.(1)求證：AD AN；(2)若AB 42，ON1，求 O的半徑第 3 題圖(1)證明： BAD 與 BCD 是同弧所對的圓周角，BAD BCD，AE CD， AM BC，AEN AMC 90°，AN

4、ECNM，BAMBCD，BAMBAD，在ANE 與ADE 中，BAMBADAE AE ， AEN AEDANEADE(ASA)，AN AD；(2)解： AB 4 2， AE CD,AE 12AB 2 2， 又 ON 1，設NEx，則OEx1，NEEDx，ODOEED2x1，如解圖，連接AO，則AO OD 2x 1，第 3 題解圖 AOE 是直角三角形，AE22，OEx1，AO2x1， (2 2)2 (x 1)2 (2x 1)2，4解得x1 2， x23(舍 )， AO 2x 1 3，即 O 的半徑為3.4 .如圖，在 ABC 中， C 90°， D 是 BC 邊上一點，以DB 為直徑

5、的 O 經過 AB 的中點E，交 AD 的延長線于點F，連接 EF.(1)求證： 1 F；5(2)若 sinB5， EF 2 5，求CD 的長5第 4 題圖1 ）證明： 如解圖，連接DE.第 4 題解圖BD 是 O 的直徑，DEB 90° .E 是 AB 的中點，DA DB，1 B.B F，1 F ；(2)解：1 F， AE EF 2 5， AB 2AE 4 5.在 Rt ABC中，AC AB· sinB 4， BCAB2 AC2 8.設 CD x，則AD BD 8 x.在 Rt ACD 中，由勾股定理得AC2 CD2 AD2，即 42 x2 （8 x）2，解得x 3， C

6、D 3.5 .如圖，直線DP 和 O 相切于點C，交直徑AE 的延長線于點P，過點 C 作 AE 的垂線，交AE 于點F，交 O 于點B，作ABCD，連接 BE， DO， CO.(1)求證：DA=DC；(2)求 P 及 AEB 的度數 .第 5 題圖1)證明： 四邊形 ABCD 是平行四邊形，AD BC，CB AE， AD AE，DAO 90°，又 直線 DP 和 O 相切于點C， DC OC，DCO 90°， 在 Rt DAO 和 Rt DCO 中，DO DO，AO CO Rt DAO Rt DCO (HL)， DA DC；(2)解： CB AE， AE 是 O 的直徑，

7、1 CF FB 2BC，又 四邊形 ABCD 是平行四邊形， AD BC，1 CF 2AD，又 CF DA，PCFPDA，PC CF 111PD AD 2，即PC 2PD ， DC 2PD.(1)知 DA DC，1DA 2PD，在 Rt DAP 中， P 30° .DP AB，FAB P 30°，又 ABE 90 °，AEB 90° 30° 60°.6 .如圖，在 ABC中， AB AC， 以 AB 為直徑的 O與 BC交于點 D，過點 D 作 O 的切線交AC 于點E.(1)求證： ABD ADE；25(2)若 O 的半徑為6，第

8、6 題圖1)證明：如解圖，連接OD.第 6 題解圖DE 為 O 的切線，OD DE，ADO ADE 90° .AB 為 O 的直徑，ADB 90°，ADO ODB 90°.ADE ODB，OB OD，OBD ODB，ABD ADE;25 25(2)解： AB AC 2× 6 3 ， ADB ADC 90°，ABC C， BD CD.O 為 AB 的中點，OD 為 ABC 的中位線，OD AC，OD DE，AC DE，在 Rt ACD 中，CD AC2 AD225 23) 2230) 2 5，第 7 題圖C C， DEC ADC 90°

9、，DECADC，CE DCCE 5DC AC，即5 25，3CE 3.7.如圖，在 ABC中， ACB 90°， D 是邊AB 上的一點，且 A2 DCB，點E 是 BC上的一點，以EC 為直徑的 O經過點 D.(1)求證：AB 是 O 的切線；(2)若 CD 的弦心距為1， BE EO，求BD 的長第 7 題解圖 則 DOB 2 DCB，又 A 2 DCB，A DOB，又 A B 90 °，DOB B90°，BDO90°，即 OD AB，又 OD 是 O 的半徑， AB 是 O 的切線2）解：如解圖 ，過點 O 作 OM CD 于點 M，連接 DE，第

10、 7 題解圖 1OD OE BE 2BO， BDO 90°， B 30°，DOB 60°，DCB 30°， OC 2OM 2， OD 2， BD ODtan60 ° 2 3.8.如圖， PB為 O 的切線， B為切點，過B 作 OP 的垂線BA，垂足為 C，交 O 于點A，連接PA， AO，并延長AO 交 O 于點E，與PB 的延長線交于點D.(1)求證：PA是 O的切線；4(2)若 cos CAO ，且OC 6，求PB 的長5第 8 題圖1）證明：如解圖，連接OB，第 8 題解圖OA OB，OAB OBA，OP AB，AC BC，OP 是 A

11、B 的垂直平分線，PA PB，PAB PBA，PAO PBO.PB 為 O 的切線，OBP 90°，PAO 90°，OA為 O的半徑，PA是 O的切線；(2)解： cos CAO 45， 設 AC 4k， AO 5k，由勾股定理可知OC 3k，34 sin CAO ， tan COA ， 53CO 363 OA 5，即OA 5，解得OA 10，AP 4 tan POA tan COA AO 3， 1A0P 34，解得AP 430， PA PB，40 PB PA.39 .如圖，在 ABC中，以 BC 為直徑的 O交 AB 于點D， ACD ABC.(1)求證：CA是 O 的切

12、線；25(2)若點E 是 BC上一點， 已知BE 6， tan ABC 3， tan AEC 3， 求 O 的直徑第 9 題圖(1)證明： BC 是 O的直徑，BDC 90°，ABC DCB 90°，ACD ABC，ACD DCB90°，ACB90°，即 BC CA，又 BC 是 O 的直徑， CA是 O 的切線；(2)解：在 Rt AEC中，tan AEC 53，AC 5EC 3，EC 2 35AC.AC 2BC 3，BC 32AC.BC EC BE 6，33202AC 5AC 6，解得AC 3 ，3 20BC× 10，23 O 的直徑為10

13、.10 .如圖，在 ABC中，AB AC， 以 AB 為直徑的 O交 BC于點 D，過點 D 作 O 的切線 DE 交 AC 于點E，交AB 延長線于點F.(1)求證：DE AC；(2)若 AB 10， AE 8，求BF 的長1)證明： 如解圖第 10 題解圖DE 與 O 相切于點D，OD DE.AB 是 O 的直徑，ADB=90°，AB=AC， D 為 BC 中點，又 O 為 AB 中點， OD AC， DE AC；(2)解： AB=10， OB=OD=5.由 (1)知 OD AC，ODFAEF，OD OF BF OBAE AF BF AB設 BF=x,5 x 510則有 8 x

14、10 解得 x= 3 ， BF=10.311 .如圖，已知AB 為 O 的直徑，F 為 O 上一點， AC 平分 BAF且交 O 于點C，過點C 作CD AF 于點 D，延長AB、 DC 交于點E，連接BC、CF.(1)求證：CD 是 O 的切線；(2)若 AD 6， DE 8，求BE的長；(3)求證：AF2DFAB.第 11 題圖1)證明：如解圖，連接OC.第 11 題解圖 AC 平分 BAD,OAC= CAD，又 OAC= OCA,OCA= CAD， CO AD.又 CD AD，CD OC， 又 OC 是 O 的半徑， CD 是 O 的切線；（ 2）解：在 Rt ADE 中， AD=6，

15、DE=8，根據勾股定理得：AE=10， CO AD，EOCEAD,EO OC.EA AD設 O 的半徑為r， OE=10-r.10-r r， 106 r= ，45 BE=10-2r=5； 212 3） 證明： 如解圖，過點C 作 CG AB 于點 G.OAC= CAD， AD CD， CG=CD，在 Rt AGC 和 Rt ADC 中， CG=CD， AC=AC， Rt AGC Rt ADC（ HL） ， AG=AD.又 BAC= CAD， BC=CF，在 Rt CGB 和 Rt CDF 中， BC=FC， CG=CD， Rt CGB Rt CDF（ HL） ， GB=DF. AG+GB=AB

16、， AD+DF=AB，即 AF+2DF=AB.12 .如圖，在Rt ABC中， ACB 90°，以BC 為直徑的 O 交 AB于點D， E 是 AC的中點， OE 交 CD 于點 F.(1)若 BCD 36°， BC 10，求BD的長；(2)判斷直線DE 與 O 的位置關系，并說明理由；(3)求證：2CE2 AB· EF.1)解： 如解圖，連接第 12 題解圖BCD 36°，BOD 2 BCD 2×36° 72°，BC 是 O 的直徑，BC 10，OB 5，lBD 7218×05 2；2)解：DE 是 O 的切線；

17、理由如下： BC 是 O 的直徑，ADC 180° BDC 90°，又 點 E 是線段 AC 中點，1 DE 2AC EC，在 DOE 與 COE 中，OD OCOE OE ，DE CEDOECOE(SSS)ACB 90°，ODE OCE 90°，OD 是 O 的半徑，DE 是 O 的切線；(3)證明：由 (2)知， DOE COE，OE 是線段 CD 的垂直平分線，點 F 是線段 CD 中點，點 E 是線段AC 中點，則EF 12AD，BAC CAD， ADC ACB，ACDABC，則 AC AD，即AC2 AB· AD，AB AC 而 AC

18、 2CE， AD 2EF， (2CE)2 AB· 2EF，即 4CE2 AB· 2EF， 2CE2 AB· EF.13 .如圖，PB 為 O 的切線， B 為切點，直線PO 交 O 于點 E、 F，過點 B 作 PO 的垂線BA，垂足為點D，交 O 于點 A，延長AO 與 O 交于點C，連接BC， AF.(1)求證：直線PA為 O 的切線；(2)求證：EF2 4OD ·OP；1(3)若 BC 6， tanF 2，求 AC的長 .第 13題圖1）證明：如解圖，連接OB，第 13題解圖 PB 是 O 的切線，PBO 90°， OA OB， BA P

19、O 于點D， AD BD， 點 D 為 AB 的中點，即OP 垂直平分AB，APOBPO，ADPBDP90°，APDBPD， AP BP，在 PAO 和PBO 中，PA PB APO BPO，OP OPPAO PBO( SAS) ，PAO PBO 90°，OA為 O的半徑，直線 PA為 O 的切線；(2)證明： PAO PDA 90°，OAD AOD 90°， OPA AOP 90°，OAD OPA，OADOPA，OOAP OODA，即OA2 OD· OP， 又 EF 2OA， EF 2 4OD· OP；(3)解： OA O

20、C， AD BD， BC 6，1 OD 2BC 3，設 AD x，AD tanF DFx1DF 2，DF 2x， OA OF 2x 3， 在 Rt AOD 中，由勾股定理得(2x 3)2 x2 32，解得x1 4或 x2 0(不合題意，舍去)， OA 2x 3 5， AC 為 O 的直徑， AC 2OA 10.14.如圖，AB 是 O 的直徑，點C 是 O 上一點， AD 和過點 C的切線互相垂直，垂足為D， 直線 DC 與 AB 的延長線相交于點P， 弦 CE平分 ACB，交直徑AB 于點 F，連接 BE.(1)求證：AC平分 DAB；(2)求證：PC=PF；3(3)若 tan PCB 4，

21、 BE 5 2，求PF 的長第 14題圖1)證明：如解圖，連接OC，第 14 題解圖 OA OC，OAC OCA， PC 是 O 的切線，且AD CD，OCP D 90°， OC AD，CAD OCA OAC，即 AC 平分 DAB；(2)證明： AB 是 O的直徑，ACB 90°，PCB ACD 90°，又 CAD ACD 90 °，CAB CAD PCB.CE 平分 ACB，ACE BCE，PFC CAB ACE， PCF PCB BCE，PFC PCF，PC PF；(3)解： 如解圖，連接AE，ACE BCE，A E B E，AE BE， AB 是

22、直徑，AEB 90°， AB2BE 10，OB OC 5，PCB PAC， P P，PCBPAC，PB BCPC CA，34BP3設 PB 3x，則PC 4x，在 Rt POC 中，根據勾股定理得，30(3x 5) (4x) 5 ，解得 x1 0， x2 7 .30 x> 0， x 7 ，PF PC1207.15 .如圖，AB是 O的直徑，C、 G是 O上兩點， 且點 C是劣弧 AG的中點，過點C 的直線 CD BG 的延長線于點D，交BA的延長線于點E，連接BC，交 OD 于點 F.(1)求證：CD 是 O 的切線；(2)若 ED3DB，求證：3OF 2DF；(3)在 (2)

23、的條件下，連接AD，若CD 3，求AD 的長第 15題圖(1)證明： 如解圖 ，連接OC、 AC、 CG，AC CG，AC CG，ABC CBG，OC OB，OCB OBC，OCB CBG，OC BG，CD BG，OC CD，OC 是 O 的半徑，CD 是 O 的切線；第 15 題解圖1(2)證明： OC BD， CFO DFB，OCB CBD， EOC EBD，OCF DBF， EOC EBD，OC OF OC OEBD DF， BD BE，OF OE，DF BE，ED 3DB， EDB 90°，E 30°，1OC 2OE，OA OC，AE OA OC OB，OF OE

24、2OA 2DF BE 3OA 3，3OF 2DF；(3)解： 如解圖 ，過 A作 AH DE，交DE 于點H，E 30°，EBD 60°，ABC CBD，1CBD 2 EBD 30°，CD 3，BD tan30 ° 3 3，BE sin30 ° 6 3， DE3BD 9，1AEBE， AH BD，3AH 1BD3， DH 2DE 6，33第 15 題解圖216 .如圖，在Rt ABC 中， ACB 90°， AO 是 ABC 的角平分線.以 O 為圓心， OC 長為半徑作 O， 連接 AO 交 O 于點E， 延長 AO交 O 于點 D

25、.(1)求證：AB 是 O 的切線；1 AE(2)若 tanD 2，求AC的值；2 AC(3)設 O 的半徑為3，求AB 的長第 16題圖(1)證明：如解圖，過O 作 OF AB 交 AB 于 F，ACB 90°，AC BC，AO 是 ABC 的角平分線，OF AB，CO FO，FO 為 O 的半徑，AB 是 O 的切線；第 16 題解圖2)解：如解圖，連接CE，ED 是 O 的直徑，ECD 90°，ECO OCD 90°，ACB 90°，ACEECO90°，ACEOCD， OC OD，OCDODC，ACEODC，CAECAE，ACEADC，A

26、E CE AC DC，CE 1 tanD CD 2，AE 1 AC 2；AE 1(3)解：由 (2)知 AC 2，設 AE c，則AC=2c，在 Rt ACO 中， (2c)2 32 (c 3)2，解得c 2 或 c=0(舍去)， AF AC 2c 4， 在 BFO和 BCA中， B B， BFO BCA 90°，BFOBCA，BF FO BO BC CA AB， 設 BF x， BO y， 3xy 43 4yx，7275解得x 7 ， y 7 ，72 100AB AF BF 4 7 7 .17.如圖， O 是 ABC的外接圓，O 點在 BC 邊上， BAC的平分線交 O 于點D，連

27、接BD， CD.過點D 作 BC 的平行線，與AB 的延長線相交于點P.(1)求證：PD 是 O 的切線；(2)求證： PBDDCA；(3)當 AB 6， AC 8時，求線段PB 的長第 17題圖1) 證明： 圓心 O 在 BC 上，BC 是 O 的直徑，BAC 90° .如解圖，連接OD.第 17 題解圖AD 平分 BAC，BAC 2 DAC.DOC 2 DAC，DOC BAC 90° .OD BC.PD BC，OD PD.又 OD 是 O 的半徑， PD 是 O 的切線；(2)證明： PD BC，P ABC.又 ABC ADC，P ADC.PBD ABD 180

28、6;， ACD ABD 180°，PBD ACD.PBDDCA；(3)解： ABC 是直角三角形，BC2 AB2 AC2 62 82 100.BC 10.OD 垂直平分BC，DB DC.BC 是 O 的直徑，BDC 90° .在等腰直角三角形BDC 中DC DB 5 2.PBDDCA，PB BDDC CA，PBDC· BD 5 2×5 2 25CA4.18.如圖，AB 是 O 的直徑，點P 在 AB 的延長線上，弦CE 交 AB于點D，連接OE， AC，且 P E， POE 2 CAB.(1)求證：CE AB；(2)求證：PC 是 O 的切線；(3)若

29、BD 2OD，且PB 9，求tanP 的值1)證明：第 18題圖第 18題解圖COB 2 CAB，又 POE 2 CAB，COD EOD，又 OC OE， CE AB;(2)證明： CE AB， P E，P PCD E PCD 90°，又 OCD E， OCD PCD PCO 90°， OC 是 O 的半徑， PC 是 O 的切線；(3)解：設 O 的半徑為r， OD x，則BD 2x， r 3x， CD OP， OC PC， Rt OCD Rt OPC，OC2OD·OP，即(3x)2x(3x9)，3解得x2或 x=0(舍去) ，9 O 的半徑 r 為 92，同理

30、可得PC2 PD· PO (PB BD) (·PB OB) 162， PC 9 2，OC 2在 Rt OCP 中，tanP.PC 419.如圖，AC是 O的直徑，弦BE AC于 H， F 為 O 上的一點，過點 F 的直線與AC 的延長線交于點D，與 BE 的延長線交于點M，連接 AF 交 BM 于 G，且MF MG.(1)求證：MD 為 O的切線；(2)求證：當MD AB時，FG2 MF·EG；(3)在 (2)的條件下，若cosM 4， FD 6，求AG的長51) 證明：MF MG，第 19題圖MFG MGF AGB，如解圖，連接FO， OF AO，OFA= OAF， BE AC，AGH+ OAF= MFG + OFA=90°，即 MFO 90 °， OF 為 O 的半徑， MD 為 O的切線；(2) 證明： MD AB，M ABM，如解圖，連接EF，EFG ABM，M EFG，MGF FGE，MGF FGE，FG EG MG FG，又 MG=MF， FG2 MF· EG；第 19題解圖(3)解 ： M ABM， cosM 45， 設 AH 3k， AB 5k， HB 4k