1、 淺談歸納推理在生活中的應用 劉美辰 哈爾濱師范大學（黑龍江省哈爾濱 150025） 指導教師 鮑曼 教授摘要：歸納推理是一個思維邏輯很強的推理，是數學中非常重要的一部分。歸納法更是應用到初高中數學的課本中，成為學生對于初等邏輯的認識。邏輯學中的歸納推理在法律，醫學，哲學中都可以應用，是一個涉及多門學科的重要邏輯思維。本篇論文主要討論歸納推理的定義、分類、性質、和在生活中的應用，著重討論多種歸納方法之間的不同和相同之處，對比其間的特點和作用，通過比較更加深刻的了解歸納方法的思路，討論如何利用歸納推理的邏輯思維來研究生活中出現的問題。關鍵字：歸納 邏輯 定義 性質 應用通過以往的學習我們知道在學

2、習數學的過程中，邏輯思維尤為重要。歸納法是數學中非常重要的證明方法，在解決命題真假起到重要的作用。一歸納推理的定義歸納推理是由個別事物或現象推出該類事物或現象的普遍規律的推理。它是一種非論證的推理。歸納推理可以根據其前提是否涉及了一類事物中的全部對象，分為完全歸納和不完全歸納推理兩大類。例1： 直角三角形內角和是180度：銳角三角形內角和是180度;鈍角 三角形內交合是180度；直角三角形，銳角三角形和鈍角三角形是 全部的三角形；所以，一切三角形內角和都是180度。 這個例子從直角三角形，銳角三角形和鈍角三角形內角和分別 都是180度，這些個別性知識，推出了“一切三角形內角和都是180 度”這

3、樣的一般性結論，就屬于歸納推理。1 / 17（一）不完全歸納推理定義 不完全歸納推理，就是根據其類事物中部分對象具有或不具有 的某一屬性，推出該類全部對象具有或不具有該屬性的結論的歸納 推理。（二）完全歸納推理的定義 在研究某類事物的一切特殊情況或沒一個子類的情況后所得 到的共同屬性的基礎上，作出關于該事物的一般性結論的推理方 法，成為完全歸納推理（又稱完全歸納法）。 說明1.傳統邏輯的不完全歸納推理，包括簡單枚舉歸納推理和科學 歸納推理兩種。 2.完全歸納法一般有兩種相似的推理形。2 不完全歸納和完全歸納推理的分類（一）不完全歸納推理的分類 1.簡單枚舉歸納推理 （1）簡單枚舉歸納推理的定義

4、 簡單枚舉歸納推理是以經驗的認識為主要依據，從某種的多 次重復而又未發現反例，來推出一般性的結論。 簡單枚舉歸納推理又稱為簡單枚舉法。例2： 強奸案有社會危害性， 詐騙案有社會危害性， 搶劫案有社會危害性， ： ： 強奸案、詐騙案、搶劫案是刑事案件的部分案件，并且在考察中 沒有遇到相矛盾的情況 ；所以，所有刑事案件都有社會危害性。例3： . 由此，可以歸納出恒等式 （n=1,2,3.）例4： .由此可以設想：對于任意的有 （2） 簡單枚舉的邏輯形式 S1是（或不是）P, S2是（或不是）P, S3是（或不是）P, ： ： Sn是（或不是）P, S1 Sn是S類的部分對象，并且在考察中沒有遇到相

5、對矛盾的情況， 所以，所有S是（或不是）P。（3）簡單枚舉法的特征極其作用簡單枚舉法的結論所斷定的范圍超出了前提所斷定的范圍，前提與結論之間的聯系是或然的，并且，其結論的推出依賴于沒有遇到反例，沒有遇到反例并不等于反例不存在，一旦發現反例，結論立刻被推翻，因此，它具有猜測的性質。盡管簡單枚舉法的結論是或然的，但它仍然有不可忽視的認識作用。第一，在日常工作和生活中，它是初步概括生活和實踐經驗的重要手段。在工作和生活中，人們對一些重復出現的情況，在沒有遇到反例的情形下，往往用簡單枚舉法進行概括，探求客觀事物的規律，以指導自己的行動。如，“燕子低飛要下雨”，就是用簡單枚舉法概括出來的。產品質量的抽樣

6、檢驗，工作情況的檢查和總結，往往應用簡單枚舉法。第二，在科學研究中，簡單枚舉法是初步發現客觀規律以及提出關于這些規律的假說的重要手段。如數學史上著名的哥德巴赫猜想，即每個不小于4的偶數都是兩個素數之和，就是應用簡單枚舉法提出來的（4）提高簡單枚舉法結論的可靠性應該注意的問題 一類事物中被考察的對象越多，結論的可靠性就越大。 一類事物中被考察的對象范圍越廣，結論的可靠性就越大。 如果只是根據少量粗略的事實，就推出一般性的結論，就會 犯“輕率概括”或“以偏概全”的邏輯錯誤。 2.科學歸納推理（1）科學歸納推理的定義 科學歸納推理，是根據對某類中部分對象與其屬性間的因果聯 系的認識，推出有關該類對象

7、的一般性質。 例5：金受熱后體積膨脹; 銀受熱后體積膨脹; 銅受熱后體積膨脹; 鐵受熱后體積膨脹; 因為金屬受熱后,分子的凝聚力減弱,分子運動加速,分子彼此 距離加大,從而導致膨脹,而金,銀,銅,鐵都是金屬; 所以,所有金屬受熱后體積都膨脹.（2）科學歸納推理的邏輯形式 科學歸納推理的形式如下:S1是PS2是PSn是PS1,S2,Sn是S類的部分對象,其中沒有Si(1in)不是P ;并且科學研究表明,S和P之間有因果聯系所以,所有S都是P。（3）如何提高科學歸納推理結論的可靠程度為了提高科學歸納推理結論的可靠程度，必須注意以下兩點：被考察的對象必須具有典型性；必須有相應的科學理論作指導，能給對

8、象與其屬性之間的因果聯系以理論方面的解釋。（4）科學歸納推理的作用同簡單枚舉歸納推理一樣，科學歸納推理也廣泛地運用于日常生活和科學研究。其作用也有這么兩個一是開拓認識領域，擴大新知識；二是輔助論證，增強論證的說服力。3. 科學歸納推理與見到你枚舉歸納推理的關系科學歸納推理與簡單枚舉歸納推理相比，既有相同之處，也有相異之處。(1)其相同之處是：二者都屬于不完全歸納推理二者的前提都只是考察了一類中的部分對象；二者的結論都是對一類的全部對象的斷定，結論所斷定的知識范圍都超出了前提的范圍，前提與結論的聯系都不是必然的?？茖W歸納推理雖然以科學分析為主要依據，但科學分析本身仍然是要受到主客觀條件（如，研究

9、者所掌握的背景知識、當時的科技水平等）制約的。(2)二者相異之處是：推理根據不同。簡單枚舉歸納推理是以經驗認識為根據，依據 某種屬性在某類的部分對象中的不斷重復，并且沒有遇到反例； 科學歸納推理則是以科學分析為主要根據，需要進一步分析這些 對象與其屬性之間的因果聯系。 前提數量的多少對于結論的意義不同。對簡單枚舉歸納推理而 言，前提所考察的對象數量越多，結論就越可靠；但對科學歸納 推理而言，前提所考察的對象數量的多少對結論的可靠程度不起 主要作用，只要是真正揭示了對象與其屬性之間的因果聯系，即 使前提所考察的對象數量不多（甚至只有一個），也能得到較為 可靠的結論。 結論的可靠程度不同。雖然二者

10、的結論都是或然的，但科學歸納 推理的結論的可靠程度比簡單枚舉歸納推理的結論的可靠程度 要高。 2.完全歸納法（1）完全歸納法的定義 在研究某類事物的一切特殊情況或每一個子類的情況后所得到 的共同屬性的基礎上，作出關于該事物的一般性結論的推理方法， 成為完全歸納推理（又稱為完全歸納法）。例6： 已知歐洲有礦藏,亞洲有礦藏,非洲有礦藏,北美洲有礦藏,南美洲有礦藏,大洋洲有礦藏,南極洲有礦藏,而歐洲,亞洲,非洲,北美洲,南美洲,大洋洲,南極洲是地球上的全部大洲,所以,地球上所有大洲都有礦藏。例7： 北京市的人口總數超過900萬， 天津市的人口總數超過900萬 ， 上海市的人口總數超過900萬， 重慶

11、市的人口總數超過900萬； 北京、天津、上海、重慶是中國的四個直轄市。 所以， 中國所有的直轄市的人口總數都超過了900萬。例8, （2）完全歸納推理的邏輯形式 邏輯形式如下: S1是P S2是P Sn是P S1,S2,Sn是S類的全部對象 所以,所有S都是P （3）完全歸納推理的特征 因為完全歸納推理是由個別知識前提推出一般性知識結論的 推理，并且結論是由前 提必然推出的，完全歸納推理的結論是對 一類所有對象的認識的概括，所以它能使人們的認識從個別上升到 一般，使人們對某一類事物的認識深化，這正是完全歸納推理的認 識作用。為了證明某個一般性結論的正確，就可以列舉、考察被研 究對象的每一個情況

12、的成立，通過完全歸納推理證明這個一般性結 論的正確性。此外，完全歸納推理還常常被用作科學發現的方法。 當然，由于完全歸納推理要求被討論的某類事物的所有對象必 須一一列舉出來，加以考察和斷定，從而其對象的數量必須是有限 的，因此，完全歸納推理的應用就有一定的局限性，它只適用于有 限對象的事物類別，遇到一些對象無限的事物類別時，就不能使用 完全歸納推理了。（2） 完全歸納推理的作用 因為完全歸納推理是由個別知識前提推出一般性知識結論的推 理，并且結論是由前提必然推出的，完全歸納推理的結論是對一類 所有對象的認識的概括，所以它能使人們的認識從個別上升到一般， 使人們對某一類事物的認識深化，這正是完全

13、歸納推理的認識作用。 為了證明某個一般性結論的正確，就可以列舉、考察被研究對象的 每一個情況的成立，通過完全歸納推理證明這個一般性結論的正確 性。此外，完全歸納推理還常常被用作科學發現的方法。 當然，由于完全歸納推理要求被討論的某類事物的所有對象必 須 一一列舉出來，加以考察和斷定，從而其對象的數量必須是有 限的， 因此，完全歸納推理的應用就有一定的局限性，它只適用 于有限對象的事物類別，遇到一些對象無限的事物類別時，就不能 使用完全歸納推理了。（3） 完全歸納推理兩方面的作用 認識作用：完全歸納推理根據某類事物每一對象都具有某種屬性, 推出該類事物都具有該種屬性,使人們的認識從個別 上升到了

14、一般.比如,上面根據"地球上的大洲"這一類 事物的每個對象都有"有礦藏"這一屬性,得出"地球上 所有大洲都有礦藏"的結論,就體現了完全歸納推理的 認識作用. 論證作用：因為完全歸納推理的前提和結論之間的聯系是必然 的,所以常被用作強有力的論證方法。 三歸納法的作用（1） 歸納法是揭示規律的重要手段（2） 歸納法是培養抽象概括能力的有效途徑（3） 歸納法其實人們用特殊化方法解一般問題。 四歸納法的應用 例9： 平面上有n個圓，每兩個圓交于兩點，每三個圓不過同一點， 求證這n個圓分平面為n2n2個部分證明：（1）當n1時，n2n21122

15、，而一個圓把平面分成 兩部分，所以n1時命題成立 （2）設當nk時，命題成立，即k個圓分平面為k2k2個 部分，則nk1時，第k1個圓與前k個圓有2k個交 點，這2k個交點把第k1個圓分成2k段，每一段把原 來的所在平面一分為二，故共增加了2k個平面塊，共有 k2k22k(k1)2(k1)2個部分 當nk1時，命題也成立 由（1）（2）可知，這個圓把平面分成n2n2個部分例10： 是否存在一個等差數列，使得對任何自然數n，等式：+= 都成立，并證明你的結論 解：將n=1，2，3分別代入等式得方程組解得 =6，=9，=12， 則d=3 故存在一個等差數列an=3n+3，當n=1，2，3時，已知等

16、 式成立 下面用數學歸納法證明存在一個等差數列an=3n+3，對大于3的自然數，等式 +=n(n+1)(n+2)都成立 因為起始值已證，可證第二步驟 假設n=k時，等式成立，即 +=k(k+1)(k+2) 那么當n=k+1時， a1+2a2+3a3+ +(k+1) = k(k+1)(k+2)+ (k+1)3(k+1)+3 =(k+1)(k2+2k+3k+6) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+1)+1(k+1)+2 這就是說，當n=k+1時，也存在一個等差數列an=3n+3使 a1+2a2+3a3+=n(n+1)(n+2)成立 綜合上述，可知存在一個等差數列an=3n+3，對

17、任何自然數n，等式a1+2a2+3a3+n(n+1)(n+2)都成立按照一般的觀點，歸納推理指的是以個別知識作為前提推出一般性知識作為結論的推理。前提是一些關于個別事物或現象的判斷，而結論是關于該事物或現象的普遍性判斷。除完全歸納推理外，歸納推理結論的斷定范圍超出了前提的斷定范圍，結論與前提間只具有或然性的聯系，即前提真，結論未必真。除完全歸納推理外的歸納推理都是或然性的推理。歸納推理是邏輯學中非常重要的組成部分，是邏輯思維突出的重要顯現。在初高中數學教學中初等邏輯歸納法的滲透，可以更好的幫助學生解決一般問題，學會邏輯思維的模式。歸納推理是歸納邏輯中的一個分支，是一種或然性推理，它在社會實踐中

18、應用廣泛，是人們探求新知識的重要工具，在人們的思維活動中占有十分重要的地位。 參考文獻 【1】平辛倫，數學歸納法史速，人民教育出版社， 1995 【2】鄭文君，張恩華，數學邏輯學概論 ，安徽教育出版社，1995 Showing inductive reasoning in the life of the applicationMeiChenLiuHarbin normal university(heilongjiang Harbin 150025)Abstract: the inductive reasoning is a thinking logic strong reasoning, is a very important part of mathematics. It is applied to high school math textbooks, become the student for elementary logic understanding. The logic of the in