1、導數的計算【學習目標】1.牢記幾個常用函數的導數公式，并掌握其推導過程。2. 熟記八個基本初等函數的導數公式，并能準確運用。3.能熟練運用四則運算的求導法則，4.理解復合函數的結構規律，掌握求復合函數的求導法則：“由外及內，層層求導”【要點梳理】知識點一：基本初等函數的導數公式（1）（C為常數），（2）（n為有理數），（3），（4），（5），（6），（7），（8），。要點詮釋：1常數函數的導數為0，即C=0（C為常數）其幾何意義是曲線（C為常數）在任意點處的切線平行于x軸 2有理數冪函數的導數等于冪指數n與自變量的（n1）次冪的乘積，即（nQ）特別地，。 3正弦函數的導數等于余弦函數，即（si

2、n x）=cos x4余弦函數的導數等于負的正弦函數，即（cos x）=sin x5指數函數的導數：，6對數函數的導數：，有時也把 記作：以上常見函數的求導公式不需要證明，只需記住公式即可知識點二：函數的和、差、積、商的導數運算法則：（1）和差的導數：（2）積的導數：（3）商的導數：（）要點詮釋：1. 上述法則也可以簡記為：（）和（或差）的導數：，推廣：（）積的導數：， 特別地：（c為常數） （）商的導數：， 兩函數商的求導法則的特例，當時，這是一個函數倒數的求導法則2兩函數積與商求導公式的說明（1）類比：，（v0），注意差異，加以區分 （2）注意：且（v0）3求導運算的技巧 在求導數中，有些

3、函數雖然表面形式上為函數的商或積，但在求導前利用代數或三角恒等變形可將函數先化簡（可能化去了商或積），然后進行求導，可避免使用積、商的求導法則，減少運算量知識點三：復合函數的求導法則 1復合函數的概念 對于函數，令，則是中間變量u的函數，是自變量x的函數，則函數是自變量x的復合函數要點詮釋：常把稱為“內層”， 稱為“外層” 。2復合函數的導數 設函數在點x處可導，函數在點x的對應點u處也可導，則復合函數在點x處可導，并且，或寫作3掌握復合函數的求導方法（1）分層：將復合函數分出內層、外層。（2）各層求導：對內層，外層分別求導。得到（3）求積并回代：求出兩導數的積：，然后將，即可得到 的導數。要

4、點詮釋：1.整個過程可簡記為分層求導回代，熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復合，可以相應地多次用中間變量。2.選擇中間變量是復合函數求導的關鍵。求導時需要記住中間變量，逐層求導，不遺漏。求導后，要把中間變量轉換成自變量的函數。【典型例題】類型一：求簡單初等函數的導數例1.求下列函數的導數： (1) (2) (3)（4）（5）【解析】(1) (x3)=3x31=3x2； (2) ()=(x2)=2x21=2x3(3)（4）；（5）；【點評】（1）用導數的定義求導是求導數的基本方法，但運算較繁。利用常用函數的導數公式，可以簡化求導過程，降低運算難度。（2）準確記憶公式。（3）根式、分式求導時，

5、先將根式、分式轉化為冪的形式。舉一反三：【變式】求下列函數的導數：(1)y=(2)y=（3）y=2x33x2+5x4 （4）； 【答案】 (1)y=()=(x3)=3x31=3x4(2（3）（4），.類型二：求函數的和、差、積、商的導數例2. 求下列函數導數： (1) y3x2xcosx；(2)y；(3)ylgxex；（4）y=tanx.【解析】(1)y6xcosxxsinx.(2)y.(3)y(lgx)(ex)ex.(4)=tanx+.【點評】（1）熟記基本初等函數的導數公式和靈活運用導數的四則運算法則，是求導函數的前提。（2）先化簡再求導，是化難為易，化繁為簡的基本原則和策略。舉一反三：【

6、變式1】函數在處的導數等于( )A1 B2 C3 D4【答案】D法一： .法二：.【變式2】求下列各函數的導函數（1）y=(x+1)(x+2)(x+3)。（2）y=x2sinx; （3）y=【答案】（1）y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11。（2）y=（x2）sinxx2（sinx）=2xsinxx2cosx（3）=【變式3】求下列函數的導數.（1）y（2 x25 x1）ex； （2）；（3）y【答案】（1） y(2 x25 x1)ex(2 x25 x1) (ex)（4 x5）ex（2 x25 x1）ex（2x2x4）ex（2），.（3）y(si

7、n xx cos x)(cos xx sin x)(sin xx cos x)(cos xx sin x)(cos xcos xx sin x) (cos xx sin x)(sin xx cos x) (x cos x)類型三：求復合函數的導數例3求下列函數的導數：（1）； （2）；（3）； 【解析】（1）設=1-3x，則。（2）設，y=cos，則。（3）設【點評】把一部分量或式子暫時當作一個整體，這個整體就是中間變量。求導數時需要記住中間變量，注意逐層求導，不能遺漏。求導數后，要把中間變量轉換成自變量的函數。舉一反三：【變式】求下列函數導數.（1）；（2）；（3）.【答案】（1），（2），

8、.（3），.例4求下列函數導數.(1)；（2）； （3）【解析】 (1) 令,（2）。（3）設，=sinv，則 在熟練掌握復合函數求導以后，可省略中間步驟：【點評】 （1）復合函數求導數的步驟是：分清復合關系，適當選定中間變量，正確分解復合關系（簡稱分解復合關系）；分層求導，弄清每一步中哪個變量對哪個變量求導數（簡稱分層求導）；將中間變量代回為自變量的函數。簡記為分解求導回代，當省加重中間步驟后，就沒有回代這一步了，即分解（復合關系）求導（導數相乘）。（2）同一個問題可有多種不同的求導方法，若能化簡的式子，則先化簡，再求導。舉一反三：【變式1】求ysin4xcos4x的導數【答案】解法一ysi

9、n4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2cos2x1sin22 x1（1cos 4 x）cos 4 xysin 4x解法二y(sin4x)(cos4x)4 sin3x(sin x)4 cos3x (cos x)4 sin3x cos x4 cos3x (sin x)4 sin x cosx(sin2xcos2x)2 sin 2 x cos 2 xsin 4 x【變式2】求下列函數導數：（1）；（2）求函數的導數（）。【答案】 （1）設u=12x2，則。（2）方法一：。方法二：，。類型四：利用導數求函數式中的參數例5 （1），若，則a的值為（ ）A B C D（2）設函數，若是奇函數，則=_。【解析】 （1），故選A。（2）由于，若是奇函數，則，即，所以。又因為，所以。【點評】 求函數的導數的基本方法是利用函數的和、差、積、商的導數運算法則以及復合函數的導數運算法則，轉化為常見函