1、第五章 二元一次方程組 5.3 應(yīng)用二元一次方程組-雞兔同籠【教學(xué)目標(biāo)】1.使學(xué)生初步掌握列二元一次方程組解應(yīng)用題2.通過(guò)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成純數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)用訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。【教學(xué)重點(diǎn)】根據(jù)等量關(guān)系列二元一次方程組解應(yīng)用題。【教學(xué)難點(diǎn)】根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程。【教學(xué)過(guò)程】我們偉大祖國(guó)具有五千年的文明史，在歷史的長(zhǎng)河中，為科學(xué)知識(shí)的創(chuàng)新和發(fā)展作出了巨大的貢獻(xiàn)，特別在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有九章算術(shù)、孫子算經(jīng)等古代名著流傳于世，普及趨于民眾，許多問(wèn)題淺顯易懂，趣味性強(qiáng)，如九章算術(shù)下卷第三題目“雉兔同籠”等，漂洋過(guò)海傳到了日本等國(guó)，對(duì)中國(guó)古代文明史的傳播起了很大作用。“雉兔同籠”題為：

2、“今有雉兔同籠，上有三十五關(guān)，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”問(wèn)題1、“上有三十五頭”指的意思是什么？“下有九十四足”呢？答：“上有三十五頭”指的雞和兔共有三十五個(gè)頭，“下有九十四足”指的是雞和兔共有九十四只腳。 問(wèn)題2、你能根據(jù)問(wèn)題1中的的數(shù)量關(guān)系列出方程嗎？并能解決這個(gè)有趣的問(wèn)題嗎？（分小組進(jìn)行討論，然后請(qǐng)兩個(gè)小組的代表到黑板上板演）解：設(shè)有雞x只，兔y只，則x+y=35 解之得 x=232x+4y=94 y=12答：共有雞23只，兔12只。 這個(gè)古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，用今天的方程解決，體現(xiàn)了古為今用的原則，為后人理解了數(shù)學(xué)的過(guò)去和現(xiàn)在，當(dāng)代的著名的數(shù)學(xué)家陳省生教授在說(shuō)起“雞兔同籠”時(shí)，曾另有一番

3、別有風(fēng)趣的延伸：“全體雞兔立正，兔子提起前面的兩只腳，請(qǐng)問(wèn)現(xiàn)在共有幾只腳？”中國(guó)是一個(gè)偉大的四大文明古國(guó)，像這樣淺顯有趣的數(shù)學(xué)題目還有很多，我們的書上就提供了這樣的一個(gè)例題以繩測(cè)井，若將繩三折測(cè)之，繩多五尺，若將繩四折測(cè)之，繩多一尺，繩長(zhǎng)、井深各幾何？接下來(lái)老師看一下，那位同學(xué)的古文水平好，那位同學(xué)能自告奮勇地解釋一下，這段古文的意思？（用繩子測(cè)量水井的深度，如果將繩子折成三等分，一份繩子長(zhǎng)比井深多5尺；如果將繩折成四等份，一份繩子比井深多1尺，繩子、井深各是多少尺？）（分小組進(jìn)行討論，然后請(qǐng)兩個(gè)小組的代表到黑板上板演）解：設(shè)繩子長(zhǎng)x尺，井深y尺，則 解之得 x= 48 y=11 答：繩子長(zhǎng)為

4、48尺，井深11尺。議一議從上面的兩個(gè)問(wèn)題的解決中，你得到了什么感悟，有什么收獲？請(qǐng)與同學(xué)們交流。用方程組解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)應(yīng)該注意下列幾個(gè)問(wèn)題：認(rèn)真讀題和審題，弄清古代問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)意義正確設(shè)出未知數(shù)找出相等關(guān)系，并列出方程組。解此方程組寫出答案練一練古代有一個(gè)馬快，一天晚上他在野外的一個(gè)茅屋里，聽到外邊來(lái)了一群人，在分臟，在吵鬧，他隱隱約約地聽到幾個(gè)聲音，下面有這一古詩(shī)為證：隔壁聽到人分銀，不知人數(shù)不知銀。只知每人五兩多六兩，每人六兩少五兩，問(wèn)你多少人數(shù)多少銀？列方程組解古算題：“今有牛五、羊二、直金十兩，牛二、羊五，直金八兩，牛、羊各直金幾何？”題目大意是：5頭牛、2只羊共價(jià)值10兩“金”、2頭

5、牛、5只羊共價(jià)值8兩“金”、每頭牛、每只羊共價(jià)值多少“金”？可設(shè)每頭牛值“金”x兩，每只羊值“金”y兩，則有方程組5x+2y=10 解之得 x=2x+5y=8 y=小結(jié) 經(jīng)過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲和體會(huì)？六、 作業(yè)P 199習(xí)題7.4。教后感： 通過(guò)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成純數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)用訓(xùn)練，使學(xué)生根據(jù)等量關(guān)系列二元一次方程組解應(yīng)用題。初步掌握列二元一次方程組解應(yīng)用題培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。§5.4應(yīng)用二元一次方程組-增收節(jié)支【教學(xué)目標(biāo)】1.會(huì)正確地運(yùn)用表格分析與“增收節(jié)支”相似一類問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，會(huì)列二元一次方程組這類問(wèn)題。2.培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。3.讓學(xué)生進(jìn)

6、一步經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。【教學(xué)過(guò)程】議一議增長(zhǎng)（虧損）率問(wèn)題的公式？原量（1+增長(zhǎng)率）=新量，或原量（1虧損率）=新量，2、銀行利率問(wèn)題中的公式？ 利息=本金×利率×期數(shù)，本息和本金+利息新授、某工廠去年的利潤(rùn)（總產(chǎn)值總支出）為200萬(wàn)元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤(rùn)為780萬(wàn)元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬(wàn)元，總支出為y萬(wàn)元，則有總產(chǎn)值/萬(wàn)元總支出/萬(wàn)元利潤(rùn)/萬(wàn)元去年xy200今年（小組討論，完成上表）總產(chǎn)值/萬(wàn)元總支出/萬(wàn)

7、元利潤(rùn)/萬(wàn)元去年xy200今年（1+20%）x（110%）y780根據(jù)題意得： xy =200 ，解之得： x=2000 120%90%y=780 y=1800答：去年的總產(chǎn)值為2000萬(wàn)元，總支出1800萬(wàn)元，變式：若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？簡(jiǎn)析：如果設(shè)今年的總產(chǎn)值為萬(wàn)元，總支出為萬(wàn)元，則 讓學(xué)生動(dòng)手解這個(gè)方程組， 體驗(yàn)這種解法的繁瑣，再讓學(xué)生探索，受上例的啟發(fā)，應(yīng)該設(shè)間接未知數(shù)，設(shè)去年的總產(chǎn)值勤x萬(wàn)元，總支出為y萬(wàn)元，計(jì)算方便。三、做一做醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配制營(yíng)養(yǎng)品，每克甲原料含0.5單位蛋白質(zhì)和1單位鐵質(zhì)，每克乙原料含0.7單位蛋白質(zhì)和0.4單位鐵質(zhì)

8、，若病人每餐需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)，那么每餐甲、乙兩種原料各多少克恰好滿足病人的需要？解：設(shè)每餐需甲、乙兩種原料各x、y克，則有下表：甲原料各x克乙原料各y克所配制營(yíng)養(yǎng)品其中所含營(yíng)養(yǎng)品0.5x單位0.7y單位(0.5x+0.7y)單位其中所含鐵質(zhì)x單位0.4y單位(x+0.4y)單位根據(jù)題意，可得方程組0.5x+0.7y=35 x+0.4y=40 化簡(jiǎn)，得 5x+7y=350 5x+2y=200 ，得 5y=150 y=30將y=30代入，得x=28。所以每餐需要甲原料28克、乙原料30克。解此題需要注意以下兩點(diǎn)：甲（乙）原料所含蛋白質(zhì)（鐵質(zhì)）=甲（乙）原料的質(zhì)量×每克所含

9、蛋白質(zhì)（鐵質(zhì)）的含量。甲原料所含蛋白質(zhì)（鐵質(zhì)）+乙原料所含蛋白質(zhì)（鐵質(zhì)）=營(yíng)養(yǎng)品所含蛋白質(zhì)（鐵質(zhì)。 例2、甲、乙兩相距6千米，兩人同時(shí)出發(fā)，同向而行，甲3小時(shí)可追上乙；相向而行，1小時(shí)相遇，兩人的平均速度各是多少？解：設(shè)甲的平均速度是每小時(shí)行x千米，乙的平均速度是每小時(shí)行y，根據(jù)題意，得： 3x=3y+6 x+y=6 解這個(gè)方程組，得： x= 4 y=2答：平均每小時(shí)甲行4千米，乙行2千米。練一練 1、一、二班共有100名學(xué)生，他們的體育達(dá)標(biāo)率（達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的百分率）為81%，如果一班的學(xué)生的體育達(dá)標(biāo)率為87.%，二班的達(dá)標(biāo)率為75%，那么一、二班的學(xué)生數(shù)各是多少？ 解：可設(shè)班有x人，二班有y人，

10、則有方程組 x+y=6 x= 48 87.5%+75%=81(x+y) y=52 2、甲、乙兩相距36千米兩地相向而行，如果甲比乙先走2時(shí)，那么他們?cè)谝页霭l(fā)2.5時(shí)后相遇；如果乙比甲先走2時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)3時(shí)后相遇，甲、乙兩人每時(shí)各走多少千米？解：設(shè)甲、乙兩人每小時(shí)分別行走x千米、y千米。根據(jù)題意可得： 4.5x+2.5y=36 x= 6 3x+5ky=36 解此方程可得 ： y=4所以甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走4千米。小結(jié)1、做應(yīng)用題時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)列表分析數(shù)量關(guān)系的重要性。設(shè)未知數(shù)有兩種方法：（1）直接設(shè)元（2）間接設(shè)元，當(dāng)直接設(shè)元較繁時(shí)應(yīng)間接設(shè)元。作業(yè)P202習(xí)題7.5。教后感：讓學(xué)生進(jìn)一

11、步經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。正確地運(yùn)用表格分析與“增收節(jié)支”相似一類問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，會(huì)列二元一次方程組這類問(wèn)題。§5.5應(yīng)用二元一次方程組-里程碑上的數(shù)【教學(xué)目標(biāo)】【知識(shí)目標(biāo)】1、用二元一次方程式組解決“里程碑上的數(shù)”這一有趣場(chǎng)景中的數(shù)字問(wèn)題和行程問(wèn)題 2、歸納出用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟。【能力目標(biāo)】讓學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生學(xué)會(huì)列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟【情感目標(biāo)】在本節(jié)課上讓學(xué)生體驗(yàn)把復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的同時(shí)

12、，培養(yǎng)學(xué)生克服困難的意志和勇氣，鼓勵(lì)學(xué)生合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神。【教學(xué)重點(diǎn)】用二元一次方程組刻畫學(xué)問(wèn)題和行程問(wèn)題，初步體會(huì)列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的步驟。【教學(xué)難點(diǎn)】將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二元一次方程組的數(shù)學(xué)模型。【教學(xué)過(guò)程】想一想，憶一憶 ：解二元一次方程組的基本思路各基本方法是什么？（解二元一次方程組的基本思路是通過(guò)“消元”把“二元”化為“一元”，基本方法是代入法和加減法創(chuàng)設(shè)情景，引入新課小明爸爸騎著摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，小明每隔一小時(shí)看到的里程碑上的數(shù)字情況如下：1200時(shí)，這是兩位數(shù)，它的兩個(gè)數(shù)字之和為7，1300時(shí)，十位與個(gè)位數(shù)字與1200時(shí)看到的正好顛倒了；1400時(shí)，比12

13、00時(shí)看到的兩位數(shù)中間多了個(gè)0，你能確定小明在1200時(shí)看到的里程碑上的數(shù)字嗎？如果設(shè)小明在1200時(shí)看到的十位數(shù)字是x，個(gè)位數(shù)字是y，那么1200時(shí)小明看到的數(shù)可表示為 根據(jù)兩個(gè)數(shù)字和是7，可列出方程 （10x+y； x+y=7）1300時(shí)小明看到的數(shù)可表示為 12001300間摩托車行駛的路程是 10y+x；(10y+x)-(10x+y)1400時(shí)小明看到的數(shù)可表示為 13001400間摩托車行駛的路程是 10x+y；(100x+y)-(10x+y)12001300與13001400兩段時(shí)間內(nèi)摩托車的行駛路程有什么關(guān)系？你能列出相應(yīng)的方程嗎？答：因?yàn)槎紕蛩傩旭?小時(shí)，所以行駛路程相等，可列

14、方程(100x+y)-(10x+y)= (10y+x)-(10x+y)，根據(jù)以上分析，得方程組：x+y=7(100x+y)-(10x+y)= (10y+x)-(10x+y)解這個(gè)方程組得： x=1 y=6 因此，小明在1200時(shí)看到里程碑上數(shù)是16。同學(xué)們：你能從此題中得到何種啟示？答：從中得到解數(shù)字問(wèn)題常設(shè)十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，這個(gè)兩位數(shù)為10x+y。練一練兩個(gè)兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個(gè)四位數(shù)，已知前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2178，求這兩個(gè)兩位數(shù)。設(shè)較大的兩位為x，較小的兩位數(shù)為y。 分

15、析：?jiǎn)栴}1：在較大數(shù)的右邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為 100x+y問(wèn)題2：在較大數(shù)的左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示 為 100 y + x 解：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。 x+y=68（100x+y）-（100 y + x）=2178化簡(jiǎn)，得： x+y=6899x-99y =2178即， x+y=68 x-y =222 解該方程組得 x=45 y =23 做一做一個(gè)兩伯?dāng)?shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個(gè)兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，這個(gè)兩位數(shù)是多少？解：設(shè)十位數(shù)為x，個(gè)位數(shù)為y，則10x+y-3(x+y)=23 10x+y=5(x+y)+1解之得： x=5 所以這個(gè)兩位數(shù)是56 y=6議一議列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是怎樣的？1、“設(shè)”：弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母表示題目中的兩個(gè)未知數(shù)；2、“列”：找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的兩個(gè)等量關(guān)系，根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；3、“解”：解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值；4、“驗(yàn)”：檢驗(yàn)這個(gè)解是否正確，并看它是否符合題意；5、“答”：與設(shè)前后呼應(yīng)，寫出答案，包括單位名稱；小結(jié)通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？（學(xué)生分小組討論，并相互補(bǔ)充交流）本節(jié)課主要研究有關(guān)數(shù)字問(wèn)題