1、例例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表名女大學(xué)生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。所示。編號12345678身高cm 165 165 157 170 175 165 155 170體重kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報她的體重的回歸方程，并預(yù)報一名身高為求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報她的體重的回歸方程，并預(yù)報一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。的女大學(xué)生的體重。案例案例1：女大學(xué)生的身高與體重：女大學(xué)生的身高與體重172.85849. 0 xy學(xué)學(xué)身身高高172cm女172cm女大大生生體體重重y = 0.849y = 0.

2、849172-85.712 = 60.316(kg)172-85.712 = 60.316(kg)探究探究：身高為身高為172cm的女大學(xué)生的體的女大學(xué)生的體重一定是重一定是60.316kg嗎？原因？嗎？原因？由于所有的樣本點(diǎn)不共線，而只是散布在某一直由于所有的樣本點(diǎn)不共線，而只是散布在某一直線的附近，所以身高和體重的關(guān)系可以用線的附近，所以身高和體重的關(guān)系可以用線性回歸模型線性回歸模型來表示：來表示：其中其中a和和b為模型的未知參數(shù)，為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差稱為隨機(jī)誤差.eabxy函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型與回歸模型之間的差別一次函數(shù)模型： y=bx+a 線性回歸模型線性回

3、歸模型y=bx+a+e增加了增加了隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差e，因變，因變量量y 的值由自變量的值由自變量x和隨機(jī)誤差和隨機(jī)誤差e 共同確定，即自變共同確定，即自變量量x 只能只能解析部分解析部分y 的變化的變化. 在統(tǒng)計中，我們也把自變量在統(tǒng)計中，我們也把自變量x稱為稱為解釋變量解釋變量， 因變量因變量y稱為稱為預(yù)報變量預(yù)報變量.線性回歸模型： y=bx+a+e函數(shù)模型與函數(shù)模型與“回歸模型回歸模型”的關(guān)系的關(guān)系函數(shù)模型：因變量函數(shù)模型：因變量y完全由自變量完全由自變量x確定確定回歸模型：回歸模型： 預(yù)報變量預(yù)報變量y完全由解釋變量完全由解釋變量x和隨機(jī)誤差和隨機(jī)誤差e確定確定注：注：e 產(chǎn)生的主要原

4、因：產(chǎn)生的主要原因： (1)所用確定性函數(shù)不恰當(dāng)；所用確定性函數(shù)不恰當(dāng)； (2)忽略了某些因素的影響；忽略了某些因素的影響； (3)觀測誤差。觀測誤差。思考思考:產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？的原因是什么？以上三項(xiàng)誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好。以上三項(xiàng)誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好。殘差分析殘差分析在研究兩個變量間的時，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判在研究兩個變量間的時，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否是線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來斷它們是否是線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù).然然后，可以通過殘差后，可以通過殘差 來判斷模型擬合的來判

5、斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù).這方面的分這方面的分析工作稱為殘差分析析工作稱為殘差分析.12,ne ee0.3820.382-2.883-2.8836.6276.6271.1371.137-4.618-4.6182.4192.4192.6272.627-6.373-6.373殘差殘差59594343616164645454505057574848體重體重/kg/kg170170155155165165175175170170157157165165165165身高身高/cm/cm8 87 76 65 54 43 32 21 1編號編號下表

6、為女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的下表為女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)：殘差數(shù)據(jù)： e以縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)為編號，作出圖形（以縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)為編號，作出圖形（殘差圖殘差圖）來分析殘差特性來分析殘差特性.殘差圖的定義：殘差圖的定義：殘差圖的制作和作用：殘差圖的制作和作用：制作：坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇制作：坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇. . 橫軸為編號：可以考察殘差與編號次序之間的關(guān)系，橫軸為編號：可以考察殘差與編號次序之間的關(guān)系， 常用于調(diào)查數(shù)據(jù)錯誤常用于調(diào)查數(shù)據(jù)錯誤. . 橫軸為解釋變量：可以考察殘差與解釋變量的關(guān)系，橫軸為解釋變量：

7、可以考察殘差與解釋變量的關(guān)系，常用于研究模型是否有改進(jìn)的余地常用于研究模型是否有改進(jìn)的余地. .作用：判斷模型的適用性若模型選擇的正確，殘差圖中的作用：判斷模型的適用性若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為中心的帶形區(qū)域點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為中心的帶形區(qū)域. .異常點(diǎn) 若模型選擇的正確，若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；橫軸為心的帶形區(qū)域；對于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意對于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。iiiey bx a （ 1） 計 算（ i=1,2,.n）殘 差 分 析（ 2） 畫 殘 差 圖（ 1） 查 找 異 常 樣 本 數(shù) 據(jù)（

8、 3） 分 析 殘 差 圖 （ 2） 殘 差 點(diǎn) 分 布 在 以 O為 中 心 的 水 平 帶 狀 區(qū) 域 ， 并 沿水 平 方 向 散 點(diǎn) 的 分 布 規(guī) 律 相 同 。如何刻畫模型擬合的精度？如何刻畫模型擬合的精度？相關(guān)指數(shù)：相關(guān)指數(shù)：22121()1()niiiniiyyRyy R2取值越大，則殘差平方和越小，即模型的擬合效果取值越大，則殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好越好. R2越接近越接近1，表示回歸的效果越好（因?yàn)椋硎净貧w的效果越好（因?yàn)镽2越接近越接近1，表示解析變量和預(yù)報變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)）表示解析變量和預(yù)報變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)）。總的來說：總的來說：相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)R

9、2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。在線性模型中，它在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報變量的能力代表自變量刻畫預(yù)報變量的能力。解釋解釋預(yù)報預(yù)報R2=0.64，表明：，表明：“女大學(xué)生的身高解釋了女大學(xué)生的身高解釋了64的體的體重變化重變化”，或者說，或者說“女大學(xué)生的體重差異有女大學(xué)生的體重差異有64是是由身高引起的由身高引起的”.建立回歸模型的基本步驟：建立回歸模型的基本步驟：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量個變量是預(yù)報變量;（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點(diǎn)圖，）畫出確定好的解釋變量和

10、預(yù)報變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在線性關(guān)系）；觀察它們之間的關(guān)系（是否存在線性關(guān)系）；（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如觀察到數(shù)據(jù)呈線）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）；）；（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；乘法）；（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否異常（個別數(shù)據(jù)對）得出結(jié)果后分析殘差圖是否異常（個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等），若存應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等在異常，則

11、檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.1)1)確定解釋變量和預(yù)報變量確定解釋變量和預(yù)報變量; ; 2)2)畫出散點(diǎn)圖畫出散點(diǎn)圖; ; 3)3)確定回歸方程類型確定回歸方程類型; ; 4)4)求出回歸方程求出回歸方程; ; 5)5)利用相關(guān)指數(shù)或殘差進(jìn)行分析利用相關(guān)指數(shù)或殘差進(jìn)行分析. .建立回歸模型的基本步驟建立回歸模型的基本步驟例例1、在一段時間內(nèi)，某中商品的價格、在一段時間內(nèi)，某中商品的價格x元和需求量元和需求量Y件之間件之間的一組數(shù)據(jù)為：的一組數(shù)據(jù)為：求出求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價格價格x1416182022需求量需求量Y121

12、0753解：解：18,7.4,xy555221111660,327,620,iiiiiiixyx y7.4 1.15 1828.1.a1.1528.1.yx 回歸直線方程為：51522155iiiiix yxybxx26205 18 7.41.15.16605 18 例例1、在一段時間內(nèi)，某中商品的價格、在一段時間內(nèi)，某中商品的價格x元和需求量元和需求量Y件之間件之間的一組數(shù)據(jù)為：的一組數(shù)據(jù)為：求出求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價格價格x1416182022需求量需求量Y1210753列出殘差表為列出殘差表為521()iiiyy0.3,5

13、21()iiyy53.2,5221521()1()iiiiiyyRyy 0.994因而，擬合效果較好。因而，擬合效果較好。iiyyiyy00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4次數(shù)次數(shù)(x) 3033353739444650成績成績(y) 3034373942464851某運(yùn)動員訓(xùn)練次數(shù)與運(yùn)動成績之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如某運(yùn)動員訓(xùn)練次數(shù)與運(yùn)動成績之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下下:（1）作出散點(diǎn)圖；）作出散點(diǎn)圖；（2）求出線性回歸方程）求出線性回歸方程,預(yù)測該運(yùn)動員訓(xùn)練預(yù)測該運(yùn)動員訓(xùn)練47次及次及55次的成績；次的成績；（3）進(jìn)行殘差分析；）進(jìn)行殘差分析；（4）計算）計算R2，并作出解釋。

14、，并作出解釋。預(yù)報精度預(yù)報精度1.相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)R22.殘差殘差ennnn2222iiiii i2 2i=1i=1i=1i=1nnnn2222iiiii=1i=1i=1i=1(y -y )(y -y)(y -y )(y -y)R =1-=R =1-=(y -y)(y -y)(y -y)(y -y)在含有一個解釋在含有一個解釋變量的線性變量的線性 模型模型中中R2=r2(相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系)判斷判斷x xi i確定差異確定差異百分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 , ,它的估計值為它的估計值為 . .e = y-ye = y-ye = y-ye = y-y 對于樣本點(diǎn)對于樣本點(diǎn) 它們隨機(jī)誤它們隨機(jī)誤差的

15、估計值差的估計值 稱相應(yīng)殘差稱相應(yīng)殘差.1122nn1122nn(x ,y ), (x ,y ), (x ,y )(x ,y ), (x ,y ), (x ,y )i ii iiiiiiie = y -y = y -bx -ae = y -y = y -bx -a n n2 22 2iiiii=1i=11111 =(y -bx -a) =Q(a,b)(n 2)=(y -bx -a) =Q(a,b)(n 2)n-2n-2n-2n-2方差方差1)1)衡量預(yù)報精度衡量預(yù)報精度2)2)確定樣本的異常點(diǎn)確定樣本的異常點(diǎn). .小小 結(jié)結(jié) 實(shí)際問題實(shí)際問題y = f(x)y = f(x) 樣本分析樣本分析y

16、 = f(x)y = f(x) 回歸模型回歸模型y = f(x)y = f(x)抽樣抽樣回歸分析回歸分析預(yù)報精度預(yù)報精度預(yù)報預(yù)報相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)|r|1(1)|r|1(2)|r|(2)|r|越接近于越接近于1 1，相關(guān)程度越強(qiáng)；，相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|r|越接近越接近于于0 0，相關(guān)程度越弱，相關(guān)程度越弱n ni ii ii i= =1 1n nn n2 22 2i ii ii i= =1 1i i= =1 1( (x x - - x x) )( (y y - - y y) )r r = =( (x x - - x x) )( (y y - - y y) )2

17、2_ _n n1 1i i2 2i i2 2_ _n n1 1i i2 2i in n1 1i i_ _ _i ii iy yn ny yx xn nx xy yx xn ny yx xn niiiii=1i=1nnnn2222iiiii=1i=1i=1i=1(x -x)(y -y)(x -x)(y -y)(x -x) (x -x) (y -y)(y -y)r 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)正相關(guān)；負(fù)相關(guān)正相關(guān)；負(fù)相關(guān)通常：通常：r r-1,-1,-0.75-0.75-負(fù)相關(guān)很強(qiáng)負(fù)相關(guān)很強(qiáng); ; r r0.75,10.75,1正相關(guān)很強(qiáng)正相關(guān)很強(qiáng); ; r r-0.75,-0.3-0.75,-0.3-負(fù)相關(guān)

18、一般負(fù)相關(guān)一般; ; r r0.3, 0.750.3, 0.75正相關(guān)一般正相關(guān)一般; ; r r-0.25, -0.25, 0.25-0.25-相關(guān)性較弱相關(guān)性較弱; ; 對對r r進(jìn)行顯進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)著性檢驗(yàn) 如何描述兩個變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱？如何描述兩個變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱？ 在在數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)3中，我們學(xué)習(xí)了用相關(guān)系數(shù)中，我們學(xué)習(xí)了用相關(guān)系數(shù)r來衡量兩個變量來衡量兩個變量之間線性相關(guān)關(guān)系的方法。之間線性相關(guān)關(guān)系的方法。相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)r12211()().()()niiinniiiixxyyxxyy0.751, 1, 0.75, 0 25,0.25,rrr 當(dāng)， 表明兩個變量正相關(guān)很強(qiáng)；當(dāng)表明兩個變量負(fù)相關(guān)很強(qiáng)；當(dāng).表明兩個變量相關(guān)性較弱。相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 1.1.計算公式計算公式 2