1、體內藥物濃度的變化摘要本文研究體內藥物濃度變化的相關問題。在這個問題的研究中，我們采用了典型的房室模型。將人體看作是一個單房室系統，并且針對幾種不同的給藥方式分別進行了討論：針對第一種一次性給藥的方式，將人體看作是只輸出不輸入的房室模型，第一次給藥之后就不再有輸入，從而構建常微分方程來求解；針對第二種等間隔服藥的情況，藥物以近似脈沖的方式進入人體，從而構建常微分方程來求解；針對第三種恒速靜脈點滴的情況，藥物以近似恒速的方式進入人體，從而構建常微分方程來求解。在各步驟的求解中，都是將人體看做房室模型，通過構造常微分方程來模擬求解關鍵詞：藥物濃度變化房室模型常微分方程一、問題重述醫生給病人開處方時

2、必須注明兩點：服藥的劑量和服藥的時間間隔.超劑量的藥品會對身體產生嚴重不良后果，甚至死亡，而劑量不足，則不能達到治病的目的.已知患者服藥后，隨時間推移，藥品在體內逐漸被吸收，發生生化反應，也就是體內藥品的濃度逐漸降低.藥品濃度降低的速率與體內當時藥品的濃度成正比.當服藥量為A、服藥間隔為T,試分析體內藥的濃度隨時間的變化規律.體內藥物濃度的變化問題是分析病人進藥之后，藥物在體內被吸收，藥物濃度在血液之中含量上升，而作用在人身之后時間段內藥物濃度在體內變化的情況。討論問題：1、一次性注射的情況下，藥物濃度在人體內如何變化？2、等間隔服藥的情況下，藥物濃度在人體內如何變化？3、恒速靜脈點滴的情況下

3、，藥物濃度在人體內如何變化？二、問題分析實際上，體內藥物濃度的變化是一個很復雜的問題，涉及到很多因素。在本文討論的方法中，主要采用的是房室模型，就是忽略諸多的次要因素，只考慮一些最重要的影響作用最大的因素，以此來簡化問題。藥物進入機體之后形成血藥濃度（單位體積血液的藥物量），在給藥方案的設計中，應該使藥物濃度始終保持在一個合適的有效范圍內，既使藥物濃度達到一個最有效的水平，又可以防止濃度過高而對人產生副作用。我們借鑒藥物動力學中的有關知識，建立房室模型，模擬藥物在體內吸收、分布和排除過程，我們建立的房室模型屬于機體的一部分，藥物在一個房室內均勻分布(血藥濃度為常數)，在房室間按一定規律轉移，利

4、用這些規律來對問題進行模擬求解。確定了以上這些基本問題之后，就通過高等數學中的常微分方程來模擬藥物濃度在體內的變化。三、模型假設1、假設藥物的分解排出速率與藥物當前的濃度成正比；2、假設藥物從服用到到達體液的過程中沒有損失，即被完全吸收;3、假設藥物在人體的體液中是均勻分布的；四、符號說明x(t)t時刻人體內的藥物濃度值v(t)t時刻人體內藥物消耗速率k藥物消耗速率與人體內藥物濃度的比例系數A每次的注射量v0恒速靜脈點滴時體內藥物濃度的增量T每次等間隔服藥的時間五、模型建立假設注射藥物后完全吸收，那么每次增量就是a,隨著時間的推移，藥物濃度會下降，若一次性注射則藥物遞降至無，若等間隔服藥則藥物

5、濃度會在服藥期上升，若恒速注射則藥物濃度可能最終恒速變化。一次注射藥物后，體內濃度為a,此時為零時刻則：x(0)=a根據藥物在人體內的消耗與人體內藥物濃度成正比，列出方程dxvv=kx(t)dt得：生kx(t)dtkt求解上述方程：x(t)=c*e將x(0)=a代入得C=a因此一次服藥后濃度變化方程為x(t)a*ekt六、模型分析分三種情況來對模型進行分析：1、一次性注射的情況：一次性注射情況即最簡單的服藥模型，如同上述解答，那么我們將代入實際數值來用Matlab模擬作圖令a=0.1,k=-0.1,代入作圖執行程序結果如下：上圖即一次性服藥情況下，人體內藥物濃度的變化曲線。從圖中可以看出，隨著

6、時間的推移，人體內的藥物濃度最終會為0。2、等間隔服藥的情況：考慮到等間隔服藥的脈沖性得到：其中T為每次服藥之間的間隔時間dxkx,tnTdtx(0)a,x(nT)ax(nT)在區間nT,(n+1)T上求解方程得到x(t)x(nT)ek(tnT),tnT,(n1)T在0wtvT內，方程的解為ktx(t)ae,0t<T在TWtv2T內，方程的解為x(t)(aaekT)ek(tT),Tt<2T在2Tt<3T內，方程的解為x(t)(aaektae2kt)ek(t2T),2t<3T在nTt<(n1)T內，方程的解為nkTk(tnT)ae)e,nTt<(n1)Tkt2

7、ktx(t)(aaeae由于k(n1)Tkt2ktaaeaeaenkTkTkTe由此看出，在等間隔服藥的情況下，藥物的濃度在人體中呈上升趨勢，且最后會穩定在一定的水平，當T=8,k=0,1,a=0.1時，利用Matlab編程得出數值計算結果如下:運算得到體內藥物的濃度應該維持在0.0817-0.1816的濃度范圍。運算得到的示意圖如下：1203、靜脈恒速注射的情況:靜脈恒速注射時，藥物會以一定速率v0持續注射到人體內，則人體內藥物濃度的變化率會有變化，列出方程:dxdtkx(t)Vo解上述方程得:VoaktVox=(a+)e利用Matlab編程模擬得出如下圖形:從模擬出的圖形中可以看出，隨著時

8、間的推移，藥物濃度會逐漸上升，但是最終會達到一個恒定的濃度，針對這個模型，得出的最終藥物濃度維持在0.1而不再變化，這個濃度顯然是和滴定的速率是有關的。七、模型檢驗1、一次性注射的情況，查閱文獻資料的到如下的數據:此為單次靜脈給藥PS916血液濃度的觀測數據：表4-11大鼠靜膿注射6.25mg/kgPS9l6后血漿PS9I6臨度（WmL）able4-11PlasmaconcerttradonofPS916afteranintravenousinjectionof625mg/kgtorats(pg/rnL)Ttme(hJ123456XSD0.08$14232109.96139.25111579O

9、J810&641I8J7IW0.16769.86494975.2964.4747.4268.5362.511.440.2525.0230.661929363324.363人472836&570.5103913J514.916.879.0416,2613.443J811.66.338.739.95.466.877.481.6323394J4.674.88Z433.69工860.9043.223371671663N63.1S3390.22«2.213.15K512.982,262.5627805212L7S1.912,06L99L851.9SL930J0240.89095

10、0931.D20.881.050.950.07據此繪出如下圖形:圖4_4不同劑量PS916大鼠靜瞅給藥后平均藥時曲線圖比較得，與建立的模型模擬出的一次性服藥的情況類似，模型的模擬性較好。2、等間隔服藥模型的檢驗：查閱文獻資料得到等間隔給藥后體內藥物弄度的變化如下圖：100200300400與所建立的數學模型進行比較可以看出模型的符合度較高。3、恒速靜脈滴注的模型檢驗：查閱文獻資料得到：肝腫瘤患者靜脈恒速滴注高劑量（130mg/m2）L-HOP和GEM后血漿中濃度的測定:將數據進行繪圖得到:可以看出在一定時間以后，藥物的濃度就穩定，與上面所建立的數學模型符合較好。八、模型優缺點上文的討論都是將人

11、體看作是一個較為簡單的房室模型，從而將問題簡化而忽略諸多的次要因素，只考慮主要因素對人體內藥物濃度變化的影響。這種方法有利于對主要因素的研究從而較易的觀察總結規律。但是實際上人體的實際情況遠遠要比這種房室模型復雜的多，藥物進入血液，通過血液循環藥物被帶到身體的各個部位，又通過交換進入各個器官，而并不是單一的簡單的輸出和輸入。因此，要建立更接近實際情況的數學模型就必須正視機體部位之間的差異及相互之間的關聯關系，這就需要多房室系統模型。九、參考文獻1周義倉等，數學建模實驗，西安交通大學出版社，第2版，2007年8月。2朱旭等，MATLAB軟件與基礎數學實驗，西安交通大學出版社，2008年12008

12、年52008年2007年43宋曉坤，奧沙利鉗腹腔熱灌注安全性考察及藥代動力學研究，天津醫科大學，月。4呂志華，海洋多糖藥物PS916的熒光標記及其藥代動力學研究，中國海洋大學,6月。5陸佳契，骼內動脈灌注甲氨蝶吟在大鼠體內各組織藥物濃度監測，復旦大學，月。十、附錄1、一次性注射情況的程序:t=0:0.1:80x=0.1*exp(-0.1)*t)plot(t,x,'linewidth',2)運行后的圖形如下：70802、等間隔服藥的情況程序:a=0.1T=8k=0.1n=0q=ap=exp(-k*n*T)t=0;x=aholdonwhilet<100t=t+0.01;ift<(n+1)*Tx=x*exp(-0.01*k)elseift>=(n+1)*Tn=n+1q=q+a*exp(-n*k*T)p