1、2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.lim(cosx_01x) ln(1 x2)曲面z=x2+y2與平面2x+4yz=0平行的切平面的方程是0o設(shè)x2='ancosnx(-二nz02從R的基外-21利基01 =一11、2的過渡矩陣為(5)(X,Y)的概率密度為f(x,y) = «6x, 0<x<y<1,廿 J則 PX+YE1 =0, 其他，(6)已知一批零件的長度X (單位：cmcm)服從正態(tài)分布N(N,1),從中隨機(jī)地抽取16個(gè)零件，得到長度的平均值為40 ( cm),則

2、N的置信度為0.95的置信區(qū)間是(注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值 (1.96) =0.975，(1.645) =0.95.)二、選擇題：本題共6小題，每小題4分，共24分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) .設(shè)函數(shù)f(x)在(,)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示,則£(刈有()(A) 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).(B)兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).(C)兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).(D)三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).設(shè)an,bn,cn 土勻?yàn)榉秦?fù)數(shù)歹I，且lim ann ”二bn < Cn對任意n成立.(A) an < bn對任意n成

3、立.(B)(C) 極限limancn不存在.(D)極限nimRCn不存在.已知函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且lim"y)；xy=1,則()xQy)0(x2-y2)2(A) 點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn).(B) 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極大值點(diǎn).(C) 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn).(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn).(4)設(shè)向量組I：%,Q2，為可由向量組II：豆，卜2,，丸線性表示，則()(A)當(dāng)r<s時(shí)，向量組II必線性相關(guān).(B)當(dāng)rs時(shí)，向量組II必線性相關(guān).(C)當(dāng)r<s時(shí)，向量組I必線性相關(guān)

4、.(D)當(dāng)r>s時(shí)，向量組I必線性相關(guān).(5)設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0,其中A,B均為mxn矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命題：若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)之秩(B);若秩(A)之秩(B),則Ax=0的解均是Bx=0的解；若Ax=0與Bx=0同解，則秩(A尸秩(B);若秩(A)=tt(B),則Ax=0與Bx=0同解.以上命題中正確的是()(A).(B).(C).(D).1 一(6)設(shè)隨機(jī)變量Xt(n)(n>1),Y=1,則()X(A)Y2(n).(B)Y2(n-1).(C)YF(n,1).(D)YF(1,n).三、(本題滿分10分)過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=lnx的切線，該切線

5、與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形D.(1)求D的面積A;(2)求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.四、(本題滿分12分)1-2x一.二(-1)n,一將函數(shù)f(x)=arctan展開成x的吊級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)工-的和.1 2xnz2n1五、(本題滿分10分)已知平面區(qū)域D=(x,y)0MxEn,0WyWn,L為D的正向邊界.試證：sinysinxsinysinx(1) xedy-yedx=xedy-yedx;(2) Lxesinydy-ye"inxdx-2-2.六、(本題滿分10分)某建筑工程打地基時(shí)，需用汽錘將樁打進(jìn)土層.汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功.設(shè)土層對樁的

6、阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比(比例系數(shù)為k,k>0).汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下am.根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)r(0cr<1).問(1)汽錘擊打樁3次后，可將樁打進(jìn)地下多深？(2)若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？(注：m表示長度單位米.)七、(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)y=y(x)在(fHc)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y，#0,x=*(丫)是y=y(x)的反函數(shù).(1)試將x=x(y)所滿足的彳分方程將+卬+$的祖史)3=0變換為y=y(x)滿足的微dydy分方程；3.(2)求變換后的微分萬程潴足初始條件y(0)=0,y&#

7、39;(0)=3的解.八、(本題滿分12分)G(t)=_22.f (x y )d。D(t)t 2f(x )dx設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零,f(x2y2z2)dvF(t)2(t22-2f(x2y2)d二D(t)其中C(t)=(x,y,z)x2+y2+z2<t2,D(t)=(x,y)x2+y2<t2.(1)討論F(t)在區(qū)間(0,收)內(nèi)的單調(diào)性._2(2)證明當(dāng)t>0時(shí)，F(xiàn)(t)>-G(t).冗九、(本題滿分10分)322010設(shè)矩陣A=232,P=101,B=P,A*P,求B+2E的特征值與特征向量，：223_901_其中A*為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.十、(本題

8、滿分8分)已知平面上三條不同直線的方程分別為(11) ax+2by+3c=0,l2:bx+2cy+3a=0,131cx+2ay+3b=0.試證：這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為a+b+c=0.H、(本題滿分10分)已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：(1)乙箱中次品件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；(2)從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.十二、(本題滿分8分)設(shè)總體X的概率密度為其中ea0是未知參數(shù).從總體X中抽取簡單隨機(jī)樣本X1,x2，xn,記(1)求總體X的分布函數(shù)F(x);(2)求統(tǒng)計(jì)量9的分布函數(shù)F?(x);(

9、3)如果用©作為8的估計(jì)量，討論它是否具有無偏性.2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析一、填空題1【答案】【詳解】方法1:求limu(x)v(x)型極限，一般先化為指數(shù)形式然后求limv(x)lnu(x),再回到指數(shù)上去.In cosxlim _x_0,ln(1 x2)-e1lncosxlim(cosx)ln(1x)=limeln(1")x)0x0ln cosx lim2x 0 ln(1 x )ln(1 cosx -1)=lim2 =hmx 0 ln(1 x ) x 0聾二1(等價(jià)無窮小替換ln(1+x)x) x1 2 x 二 lim 22 x 50 x1 一

10、 = -2(等價(jià)無窮小替換1 21 - cosxL 一 x )2生-1原式=e2：一.可解得，xo=1,y0=2,相應(yīng)地有Zo=x0+y；=5.所求切平面過點(diǎn)(125),法向量為：出=2,4,1,故所求的切平面方程為2(x1)+4(y2)(z5)=0,即2x+4yz=5【答案】1【詳解】將f(x)=x2(-冗M(jìn)xMn)展開為余弦級(jí)數(shù)f(x)=od冗'f (x) cos nxdx .所以2a2=一 jicos2xdx = 1 ° x2d c 12sin2x =x sin2x-TT J0 - sin2x 2xdx【答案】23-1-2x=£ancosnx(一冗<x&

11、lt;n),其中annz0根據(jù)定義，從R2的基10.I1-b到基Pi的過渡矩陣為，1P= ：1,：2 ：1, ：2 = 0-11231= I211 -<【答案】4【分析】本題為已知二維隨機(jī)變量(X ,Y)的概率密度f (x, y),求滿足一定條件的概率Pg(X,Y) Ez。.連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X,Y)概率的求解方法此題可轉(zhuǎn)化為二重積分Pg(X ,Y) W z0 = JJ f (x, y)dxdy進(jìn)行計(jì)算.g(x,y) _Zo 【詳解】圖中陰影區(qū)域?yàn)榉e分區(qū)域.由題設(shè)，有P X Y _ 1 二 f (x, y)dxdy * xy</ /、(6)【答案】(39.51,40.49).1C

12、/【分析】可以用兩種方法求解:(1)已知方差仃2 =1 ,對正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期胃-O乙進(jìn)加計(jì).因?yàn)閄i N(t1),設(shè)有n個(gè)【詳解】n維向量空間中，從基%,氣，0n到基PiM,，Pn的過渡矩陣P滿足43,，Pn=%,。2,PnP,因此過渡矩陣P為:P=%5，Pn'屋%,，.,n樣本，樣本均值X=1£Xi,則三口*匕1),將其標(biāo)準(zhǔn)化，由公式X_E(X)N(0,1)得:nijnD(X)X-J1N(0,1)由正態(tài)分布分為點(diǎn)的定義Pn<uj=1a可確定臨界值U,進(jìn)而確定相應(yīng)的置信2萬區(qū)間(x -u鳧赤,x+u鳧忑).經(jīng)求出的置信區(qū)間(x-u.,二，x，u二2 . n 2 . n(

13、2)本題是在單個(gè)正態(tài)總體方差已知條件下，求期望值N的置信區(qū)間問題.由教材上已),其中PU|<Upt=1-a,ULjN(0,1),可以直接得2出答案.【詳解】方法1:由題設(shè)，1-a=0.95,可見a=0.05.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知分位點(diǎn)ua=1.96.240 -1 <16<1.96 =0.95 ,有P本題n=16,x=40.<1.96=0.95,即P39.51<4<40.49=0.95,故N的置信度為0.95的置信區(qū)間是(39.51,40.49).方法2:由題設(shè)，1-口=0.95,查得=1.96.將0'=1,n=16,x=40代入(x-u%=,x+u%不

14、)得置信區(qū)問(39.51,40.49)二、選擇題(1)【答案】(C)【分析】函數(shù)的極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn)(一階導(dǎo)數(shù)為零)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)可進(jìn)一步由取極值的第一或第二充分條件判定.【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有3個(gè)(導(dǎo)函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù))；x=0是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).對3個(gè)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)均不一致，故必為極值點(diǎn)，其中第一個(gè)交點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)由正變?yōu)樨?fù)，是極大值點(diǎn)；第二個(gè)交點(diǎn)和第三個(gè)交點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)由負(fù)變?yōu)檎?是極小值點(diǎn)，則三個(gè)駐點(diǎn)中有兩個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)；對導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)：x=0.左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，可見x=0為

15、極大值點(diǎn).故f(x)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)，應(yīng)選(C).【答案】(D)【詳解】方法1:推理法由題設(shè)limbn=1,假設(shè)limbncn存在并記為A,則mm=bncn=A,這與limcnn_scn_scn_Cnacbnn_sc矛盾，故假設(shè)不成立，limbncn不存在.所以選項(xiàng)(D)正確.n.方法2:排除法1n1取an=,a=，輛足liman=0,limbn=1,而&=1,D=0,a1>6,(A)不正確；nnnn，二n-1取bn=,cn=n-2,湎足limbn=1,limcn=8，而b1=0>-1=c1,(B)不正確；nn>二nf二1取an=一,cn=n2,才兩足l

16、iman=0,limcn=00,而limancn=1,(C)不正確.nnj二二nj二二n-J：【答案】(A)其中 lim a = 0 .x 0y )0【詳解】由limf(x,y)；xy=1=f(x,y)xy=(1+a)(x2+y2)2,x0，y0(xy)由f(x,y)在點(diǎn)(0,0)連續(xù)知，f(0,0)=0.My=x,x充分小，x#0,有f(x,y)=x2+(1+a)(2x2)2>0;取y=x,x充分小，x#0,有f(x,y)=x2+(1+u)(2x2)2<0故點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn)，應(yīng)選(A).(極值的定義)(4)【分析】本題為一般教材上均有的比較兩組向量個(gè)數(shù)的定理：

17、若向量組I：%Q2，產(chǎn),可由向量組II:%¥2,，Ps線性表示，則當(dāng)rs時(shí)，向量組I必線性相關(guān).或其逆否命題：若向量組I：%,%,，可由向量組II：P1J2,，Ps線性表示，且向量組I線性無關(guān),則必有rMs.可見正確選項(xiàng)為(D).本題也可通過舉反例用排除法找到答案.【詳解】用排除法：%=P=/2=，則%=0萬1+0凡，但01戶2線性無關(guān)，排除(A)；必%=0，則F2可由3線性表示，但3線性無關(guān)，排除(B)；Q。/。汽1 =, M0、為可由良，P2線性表示，但由線性無關(guān)，排除(C) .(5)【答案】(B)【分析】本題可找反例用排除法進(jìn)行分析，但、兩個(gè)命題的反例比較復(fù)雜一些，關(guān)鍵是抓住、

18、，迅速排除不正確的選項(xiàng).【詳解】若AX=0與BX=0同解，則它們的解空間中的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)相同，即n-秩(A尸門-秩(B),得秩(人)=秩(B),命題成立，可排除(A),(C);但反過來，若秩(A尸秩(B),則不能推出以=0與8*=0同解，通過舉一反例證明，“1 0右A 二 0 0不成立，排除(D).(6)【答案】(C).,則秩(A尸秩(B)=1 ,但AX =0與BX =0不同解，可見命題故正確選項(xiàng)為(B) .【分析】求解這類問題關(guān)鍵在于了解產(chǎn)生X變量、t變量、F變量的典型模式.n(1) X分布：設(shè)Xi,X2|,Xn相互獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則隨機(jī)變量Z=£Xi2服i從自由

19、度為n的爐分布.記做ZLX(n).(2) t分布：設(shè)Xil_N(0,1),X2/之且X3X2相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量Z=服X2/n從自由度為n的t分布.記做Z|_|t(n)(3) F分布：設(shè)X172(必),丫72(n2),且X,Y相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量Z=&2服從F分Yn2布，其第一、二自由度分別為5,1.記做Zl_F(ni,n2).【詳解】其實(shí)，由F分布的性質(zhì)以及t分布和F分布的關(guān)系得，(1)如果統(tǒng)計(jì)量TUt(n),則有T2F(1,n);1(2)如果統(tǒng)計(jì)量Fl_F(n1,n2),則有1LIFSm).由以上兩條性質(zhì)可以直接得出本題的答案為(C).先由t分布的定義知X=l_t(n),其中UN(

20、0,1),V22(n),于是Vn丫丫222/5XUU分母中只含有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方，所以U2*(1).由F分布的定義知YF(n,1).故應(yīng)選(C).【分析】圓錐體體積公式：Vjrf旋轉(zhuǎn)體的體積：(1)連續(xù)曲線y=f(x),直線x=a、x=b所圍成的圖形繞直線x=x0旋轉(zhuǎn)一周而成的立b2體的體積V1=-aIf(x)-x02dx(2)連續(xù)曲線x=g(x),直線y=c、y=d所圍成的圖形繞直線y=y0旋轉(zhuǎn)一周而成的g(y) -y02 dyd立體的體積V2=二c【詳解】為了求D的面積，首先要求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,則曲線y=lnx在點(diǎn)(孔刖)處的切線方程是:切線的斜率為y；=1,由于

21、該切線過原點(diǎn)，將(0,0)點(diǎn)代入切線方程，得此刈-1=0,從xo而x°=e所以該切線的方程為(1)利用平面圖形D的面積公式S=j9(y)-(y)dy,得(2)旋轉(zhuǎn)體體積可用一大立體(圓錐)體積減去一小立體體積進(jìn)行計(jì)算，為了幫助理解,可畫一草圖.O 1ex切線y=1x與x軸及直線/=e所圍成的三角形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為:e曲線y=lnx與x軸及直續(xù)x=e所圍成的圖形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為:因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為四【分析】幕級(jí)數(shù)展開有直接法與間接法，一般考查間接法展開，即通過適當(dāng)?shù)陌茸冃巍⑶髮?dǎo)或積分等，轉(zhuǎn)化為可利用已知幕級(jí)數(shù)展開的情形.另外，由于函數(shù)展開成的幕級(jí)

22、數(shù)，經(jīng)兩邊求導(dǎo)或積分(其中一邊是逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分)后，其新的展開式收斂區(qū)間不變，但在收斂區(qū)間端點(diǎn)處，求導(dǎo)(積分)后的展開式成立與否，要另行單獨(dú)處理，設(shè)已有收斂區(qū)間為(xo-R,x。+R).如果在x=xo+R處級(jí)數(shù)收斂，并且f(x)(左)連續(xù)，則展開式成立的范圍可擴(kuò)大到x=x0+R處，在x=x0-R處亦有類似的結(jié)論，不過此時(shí)f(x)(左)連續(xù)應(yīng)改稱(右)連續(xù).【詳解】本題可先求導(dǎo)，所以f (x)=1 -2x1 2x彳 1 -2x f11 2x對于函數(shù)一1-21 4x21 2x) 2(1 2x)1+2x2)11-2x12x基本求導(dǎo)公式,可以利用我們所熟悉的函數(shù)八(Sx2)n ='、. J

23、1)n4nx2nn =01f (x)二一2FoOcn , n 2n=_2V (-1) 4 xn z0的幕級(jí)數(shù)展開:1 - x1</x2<1 (把 x換成 Bx2)1 1x (-2,2).對上式兩邊求積分，得= "-1)n4non -0t"二 _23>1n 衛(wèi) 2n 1, 1 1、*(-妙'又因?yàn)閒(0)=工，所以4xnn(x)=f(0)fdt=_-2、(1)4x2n11 1，x (一5,2).04n衛(wèi)2n1(*)arctanU=j-2<：且fx?",12x4n22n1在x6處,右邊級(jí)數(shù)成為(E,收斂(利用萊布尼茨定理)，左邊函數(shù)f

24、(x)連續(xù),一一、 一 1所以成立范圍可擴(kuò)大到x=1處.而在x =2, 八一11續(xù)，所以成立范圍只能是x5-.2 21 一-1處，右邊級(jí)數(shù)雖然收斂，但左邊函數(shù)f(x)不連為了求包,n62n 1.1令x=2代入(*)JI(-1)4n12n 1 22n 13, 4 nzo 2n 1一.1 .一再由f(-) =0,得2五【詳解】(1)方法1:用格林公式證明.由曲線為正向封閉曲線，自然想到用格林公式J Pdx+Qdy = Jjj 啦一史 jD【ex cy所以_ sin yxe dy -ye-sin xsin y - sin xxdx = (e e )dxdyD所以Ci-sin ysin xsin ys

25、in x、xe dy - ye dx 11 (e e ) dxdy因?yàn)榉e分區(qū)域D關(guān)于y=x對稱，所以sinysinxsinysinx故xedy-yedx=xedy-yedx方法2:化為定積分證明-0.-.左邊丑xesinydy，ye-inxdx=.尸®一_.一如=二°(esinxe-inx)dx右邊=1xe"inydy-瓜yesinxdx=ne'inydy-fesinxdx=n(esinx+e-sinx)dx所以Qxesinydy-yesinxdx=qxe_sinydy-yesinxdx.(2)方法1:用格林公式證明=口esinydxdy+JJeinxdx

26、dy=jjesinxdxdy+JJe3nxdxdy利用輪換對稱性DDDD+ e-inx)dxdy > ff2dxdy =2n2方法2:由(1)知，Jxesinydyye3inxdx=nr(esinx+e3nx)dxM02dx=2n2六【詳解】(1)建立坐標(biāo)系，地面作為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸正向，設(shè)第n次擊打后，樁被打進(jìn)地下xn,第n次擊打時(shí)，汽錘所作的功為Wn(n=1,2,3,).由題設(shè)，當(dāng)樁被打進(jìn)地下的深度為x時(shí)，土層對樁的阻力的大小為kx,汽錘所作的功等于克服阻力所做的功.xik2x2k22x3k22W1=kxdx=xj,W2=kxdx=(x2-x1),W3=fkxdx=(x；x2),

27、x1=ao2x12x22ko從而w1w2w；x22又W2=rWi,W；=rW2=r2Wj,從而kx2=W1W2W3=(1rr2)W1=(1rr2)ka222于是x3=a.1rr2.第n次擊打后，樁被打進(jìn)地下xn,第n次擊打時(shí)，汽錘所作的功為Wn(n=1,2,3,).則汽錘前n次所功的和等于克服樁被打進(jìn)地下xnm所做的功.而Wi=1kxdx=-a2牛-萊公式1,o2所以kxn2=(1rIHrn'(a2等比數(shù)列求和公式從而xn=aJ+r訓(xùn)+rn二=a3T.由于0<r<1,所以limXnn22七【詳解】(1)將題中的dx與d_X變換成以X為自變量y為因變量的導(dǎo)數(shù)dy與d_y來表示

28、dydydxdxdx _ 1dy dydxd2x dy2(即通常所說的反函數(shù)變量變換)，有d/dx、d,1、dx-v1二一()=()=-2-dydydxydyyy代入原方程，得y,-y=sinx.方程(*)所對應(yīng)的齊次方程為y"-y=0,特征方程為r. 一.一且y(x)的導(dǎo)函數(shù)y(x)=e +e cosx>0 ,?兩足題設(shè)y'/0條件.八【詳解】(1)首先對F(t)進(jìn)行化簡，三重積分轉(zhuǎn)化為在球面坐標(biāo)系中的計(jì)算；二重積分轉(zhuǎn) 化為在極坐標(biāo)系中的計(jì)算.=2兀(f (r2)r2dr .(-cos9，：=4n0 f (r2)r2dr(球面坐標(biāo))2tt17 f (x +y )d。=

29、 d8 j f (r )rdr =2n(f (r )rdr ( 極坐標(biāo))D(t)所以為了討論F(t)在區(qū)間(0,f)內(nèi)的單調(diào)性，對F(t)求導(dǎo)：由于f(t)>0,r>0,t-r>0,所以f(r2)r(t- r)> 0.再利用定積分的性質(zhì)：若在區(qū)間a,b上f(x)A0,則f f(x)dx0.所以F'(t)>0,所以F(t)在區(qū)間(0,收)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加.a(2)將待證的不等式作適當(dāng)?shù)陌茸冃魏螅瑯?gòu)造輔助函數(shù)，再用單調(diào)性進(jìn)行證明即可.因?yàn)镴(x2)dx=2 1f (x2)dx=2( f(r2)dr ,所以1=0,根72=±1,因此通解為Y=C1ex+

30、C2e”由于九十囿不是特征方程得根，所以設(shè)方程(*)的特解為貝y'=-Asinx+Bcosx,y"=-Acosx-Bsinx代入方程(*),得：AcosxBsinxAcosxBsinx=2Acosx2Bsinx=sinx1 一*1斛得A=0,B=-一，故y=sinx.從而yy=sinx的通斛為2 23由y(0)=0,y'(0)=2,得Cl1,C2=-1.故變換后的微分萬程潴足初始條件3一y(0)=0,y(0)=2的解為22要證明t>0時(shí)F(t)AG(t),只需證明t>0時(shí)，F(xiàn)(t)G(t)>0,即3131人t_oot_ot_o2令g(t)=0f(r2

31、)r2dr0f(r2)dr-0f(r2)rdr故g(t)在(0,y)內(nèi)單調(diào)增加，又因?yàn)間(0)=0,所以當(dāng)t>0時(shí)，有g(shù)(t)Ag(0)=0,2從而t>0時(shí)，F(xiàn)(t)>-G(t).九【分析】法1:可先求出A*,P,，進(jìn)而確定B=P'A*P及B+2E,再按通常方法確定其特征值和特征向量；法2:先求出A的特征值與特征向量，再相應(yīng)地確定A*的特征值與特征向量，最終根據(jù)B+2E與A+2E相似求出其特征值與特征向量.【詳解】方法1:經(jīng)計(jì)算可得01-1100：001一5-2-2_1A*=-25-2,P所以一70B =P,A P= -252 2-2-250900一4,B+2E=-2

32、7-43-二2-25_90KE-(B+2E)|= 27-1220_2 _4 =(九9)(九3)=0 ,九一5故B+2E的特征值為=九2=9,%=3.當(dāng)=%=9時(shí)，解（9E-A）x=0,得線性無關(guān)的特征向量為所以屬于特征值%=%=9的所有特征向量為-1-2KZ+k2"2=k11+k20,其中k1,k2是不全為零的任意常數(shù).“一J一當(dāng)=3時(shí)，解（3E-A）x=0,得線性無關(guān)的特征向量為-01“3=1I一-01所以屬于特征值%=3的所有特征向量為k3n3=k31,其中k3r0為任意常數(shù).上0.方法2:設(shè)A的特征值為人，對應(yīng)的特征向量為刈，即An=Qi.由于A=7#0,所以h#-*.所以AA

33、=AE=AA=|AE"=A(A)=|A(E")*|A|二A（九力）=A"二九A"=恒n=An,于是B（P）=p-IA*P（P_1r）=lA（pJn）,因此，iA+2為B+2E的特征值，對應(yīng)的特征向量為p-1n.九3由于住_A= -2-2-2-2九3-2=（九1）2（九7）,故A的特征值為乙=%=1,%=7-2九一3-IlT當(dāng)先=丸2=1時(shí)，對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為=1,=2=0/JJi當(dāng)% =7時(shí)，對應(yīng)的一個(gè)特征向量為 =一1110 1由 P，= 1 00 0-11一110 ,得 P、= |-1 , P”1 一，一-1 , Pf3J 一一。111 一

34、因此，B+2E的三個(gè)特征值分別為9,9,3,對應(yīng)于特征值9的全部特征向量為一11FkF、+k2P2=K1+k21,其中k1,k2是不全為零的任意常數(shù);'0J對應(yīng)于特征值3的全部特征向量為k3P'”3=卜31，其中k3是不為零的任意常數(shù).一1一十【分析】三條直線相交于一點(diǎn)，相當(dāng)于對應(yīng)線性方程組有唯一解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2.【詳解】方法1: “必要性”設(shè)三條直線11,12,13交于一點(diǎn)，則線性方程組ax2by=-3c,bx2cy=-3a,(*)cx2ay-3b,飛2b"a2b3c有唯一解，故系數(shù)矩陣A=b2c與增廣矩陣A=b2c-3a的秩均為2,于是1

35、c2a一Ic2a3b_A=0.-222二3(abc)(a-b)(b-c)(c-a),由于三條直線互不相同，所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2/0,故a 2bb 2c“充分性”.由a+b+c=0,則從必要性的證明可知，|A=0,故秩(A)<3.由于=2(ac-b2)=-2a(a+b)+b2=-2(a+-b)2+-b20,24故秩(A)=2.于是，秩(A尸秩(A)=2.因此方程組(*)有唯一解，即三直線11,12,13交于百八、方法2:“必要性”X0a2b3c設(shè)三直線交于一點(diǎn)(x0,y0),則y0為BX=0的非零解，其中B=b2c3a.J一/2a3bj所以|B|=0.而=3(a+b+c)(ab)2十(b-c)2+(ca)2,(解法同方法1