1、2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系1 第四章第四章 線性控制系統的穩定性線性控制系統的穩定性 4.1 4.1 線性系統穩定性的基本概念線性系統穩定性的基本概念 4.2 4.2 傳遞函數表示的系統穩定性判定傳遞函數表示的系統穩定性判定 4.3 4.3 狀態空間表示的系統穩定性判定狀態空間表示的系統穩定性判定 4.4 4.4 本章小結本章小結2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系2穩定是控制系統能夠正常運行的首要條件 對系統進行各類品質指標的分析必須在系統穩定的 前提下進行。自動控制理論的基本任務(之一) 分析系統的穩

2、定性問題 提出保證系統穩定的措施 一、穩定性分析的重要性一、穩定性分析的重要性 4.14.1線性系統穩定性的基本概念線性系統穩定性的基本概念 2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系3二、線性系統穩定性分析的理論框架二、線性系統穩定性分析的理論框架 第一第一方法方法第二第二方法方法穩定性分析穩定性分析18921892年俄國數學年俄國數學家李雅普諾夫家李雅普諾夫SISOSISO的代數的代數分析方法分析方法解析解析方法方法RouthRouth判據判據HouwitzHouwitz判據判據根據根據SISOSISO閉環特閉環特征方程的系數判征方程的系數判定定系統的系統

3、的穩定性穩定性根據狀態方程根據狀態方程A A陣陣判定系統的穩定性判定系統的穩定性2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系4A.Lyapunov(1857-1918)A.Lyapunov(1857-1918)，俄國數學家（俄國數學家（ChebyshevChebyshev 的學生，的學生，MarkovMarkov的同學），的同學），在他的博士論文中，在他的博士論文中，LyapunovLyapunov系統地研究了由系統地研究了由微分方程描述的一般運動微分方程描述的一般運動的穩定性問題，建立了著的穩定性問題，建立了著名的名的LaypunovLaypunov方法，他的

4、方法，他的工作為現代控制及非線性工作為現代控制及非線性控制奠定科基礎。控制奠定科基礎。三、線性系統穩定性分析的劃時代人物三、線性系統穩定性分析的劃時代人物 2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系54.2 4.2 傳遞函數表示的系統穩定性判定傳遞函數表示的系統穩定性判定本小節是本章的重點，主要介紹以下內容：本小節是本章的重點，主要介紹以下內容：4.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統的穩定性問題線性定常系統的穩定性問題4.2.2 Routh4.2.2 Routh穩定判據穩定判據4.2.3 Routh4.2.3 Routh判據的兩種特殊情況判據的兩

5、種特殊情況4.2.4 Routh4.2.4 Routh判據的推廣判據的推廣4.2.5 Routh4.2.5 Routh判據的應用判據的應用2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系62022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系72022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系8一、穩定性基本概念一、穩定性基本概念 1 1、穩定性穩定性 任何系統在擾動的作用下都會偏離原平衡狀態，產生初任何系統在擾動的作用下都會偏離原平衡狀態，產生初始偏差。始偏差。 所謂穩定性，是指系統在擾動消失后，由初始偏差狀態恢所謂

6、穩定性，是指系統在擾動消失后，由初始偏差狀態恢復到原平衡狀態的性能。復到原平衡狀態的性能。 4.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統的穩定性線性定常系統的穩定性2 2、平衡狀態平衡狀態系統所受的作用力達到平衡，系統所受的作用力達到平衡，使系統處于穩定（不運動）的狀態。使系統處于穩定（不運動）的狀態。稱為平衡狀態。稱為平衡狀態。ab2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系94.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統的穩定性線性定常系統的穩定性2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系104.2.1 SIS

7、O4.2.1 SISO線性定常系統的穩定性線性定常系統的穩定性2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系114.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統的穩定性線性定常系統的穩定性2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系124.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統的穩定性線性定常系統的穩定性臨界穩定臨界穩定2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系134.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統的穩定性線性定常系統的穩定性李雅普諾夫（漸進）穩定性定義：若線性系統在

8、初始擾動的影響下，其動態過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零或原平衡工作點，則稱系統漸進穩定，簡稱穩定。反之，若初始擾動的影響下，系統的動態過程隨時間的推移而發散，則稱系統不穩定。在古典控制理論中的穩定均指漸進穩定！2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系144.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統的穩定性線性定常系統的穩定性由穩定性定義可知：1）線性系統的穩定性取決于系統自身的固有特征（結構、參數），與系統的輸入信號無關。2）若處于平衡狀態的線性定常系統在脈沖信號的作用下，系統的響應最終能夠回到平衡狀態，則該線性定常系統穩定。2022-3-9北京科

9、技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系154.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統的穩定性線性定常系統的穩定性11( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )Y sC sG s U sG sc tL C sL G s 所所以以對于脈沖響應，我們有：對于脈沖響應，我們有：() 1Lt 顯然，系統是否穩定取決于顯然，系統是否穩定取決于G(sG(s) )極點在極點在S S平面中的位置。平面中的位置。推論推論1 1：如果當時間趨于無窮時，線性定常系統的如果當時間趨于無窮時，線性定常系統的脈沖脈沖響應函數趨于零響應函數趨于零，則該線性定常系統穩定。，則該線性定常系統

10、穩定。系統是穩定的。系統是穩定的。lim ( )0tc t 系統仍能回到原有的平衡狀態系統仍能回到原有的平衡狀態簡證：簡證：2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系164.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統的穩定性線性定常系統的穩定性若系統閉環傳遞函數的所有極點全部 位于S左半平面，則系統穩定。則脈沖響應為：則脈沖響應為： 令系統的閉環傳遞函數含有令系統的閉環傳遞函數含有q q個實數極點和個實數極點和r r對復數對復數 極點：極點：)2()()()()(22111+P+P+PnknkkrkjqjimissPsZsKssGwwxf+rkrkknk

11、tkknktkqjtpjteCteBeAtgnkknkkj112211cos1sin)(xwxwwxwx顯然只有當系統閉環傳遞函數的所有極點全部位于顯然只有當系統閉環傳遞函數的所有極點全部位于S S左左半平面時，半平面時，g(t)|g(t)|t t 0 0 成立，即系統才穩定。成立，即系統才穩定。 2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系17j0j0j0j0j04.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統的穩定性線性定常系統的穩定性2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系184.2.1 SISO4.2.1 SISO

12、線性定常系統的穩定性線性定常系統的穩定性如果當時間趨于無窮時，線性定常系如果當時間趨于無窮時，線性定常系統的統的階躍響應函數趨于某一個常數階躍響應函數趨于某一個常數，則該線性，則該線性定常系統穩定。定常系統穩定。 這個推論的證明請同學們自行完成。這個推論的證明請同學們自行完成。 2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系19二、二、SISOSISO系統階躍響應的穩定問題系統階躍響應的穩定問題實根情況：實根情況：2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系20虛根情況：虛根情況：2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科

13、技大學自動化學院自動化系214.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統的穩定性線性定常系統的穩定性臨界穩定：當系統的極點有在虛軸上時，系統的輸出將會出現等幅振蕩的狀態，稱之為臨界穩定狀態。穩定裕度的概念：S S平面平面2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系22三、三、SISOSISO線性定常系統的穩定性分析方法：線性定常系統的穩定性分析方法： 求脈沖響應求脈沖響應 求階躍響應求階躍響應 求系統的閉環特征根求系統的閉環特征根不易求不易求其它簡單的判定方法其它簡單的判定方法? ?2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動

14、化系234.2.2 Routh4.2.2 Routh穩定判據穩定判據(Rouths(Rouths stability criterion) stability criterion) Routh Routh表表將閉環特征方程將閉環特征方程的各項系數，按的各項系數，按右面的格式排成右面的格式排成RouthRouth表。表。102113212321343212753116420fSeeSdddScccSabbbSaaaaSaaaaSnnnn 000122110 + + + + + + aaSaSaSaSannnnn系統閉環特征方程系統閉環特征方程130211aaaaab150412aaaaab132

15、111bab acb153121bab acb2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系24系統漸進穩定的必要條件是系統漸進穩定的必要條件是特征方程的系數特征方程的系數均大于零均大于零。如果勞斯表中如果勞斯表中第一列的系數第一列的系數均為均為正值正值，則其特征方程式，則其特征方程式的根都在的根都在S S的左半平面，相應的系統是穩定的。的左半平面，相應的系統是穩定的。如果勞斯表中如果勞斯表中第一列系數的符號有變化第一列系數的符號有變化，則符號的變化，則符號的變化次數等于該特征方程式的根在次數等于該特征方程式的根在S S的右半平面上的個數，相的右半平面上的個數，相

16、應的系統為不穩定。應的系統為不穩定。勞勞斯斯穩穩定定判判據據表中表中這樣可求得這樣可求得n+1n+1行系數行系數 121211141713131512121311170613150412130211,eeddefbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaab 2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系250103 . 25175 .41423+SSS例例4.2-14.2-1試用勞斯判據判別系統的穩定性試用勞斯判據判別系統的穩定性。列勞斯表列勞斯表401423103 . 25 .380103 . 25 .4105171SSSS由于該表第

17、一列系數的符號變化了兩次，所以該方程中有由于該表第一列系數的符號變化了兩次，所以該方程中有二個根在二個根在S S的右半平面，因而系統是不穩定的。的右半平面，因而系統是不穩定的。已知某一調速系統的閉環特征方程式為：已知某一調速系統的閉環特征方程式為：2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系26 4.2.3 Routh4.2.3 Routh判據的兩種特殊情況判據的兩種特殊情況勞斯表某一行中的第一項元素等于勞斯表某一行中的第一項元素等于0 0，而該行的其余各項，而該行的其余各項不等于不等于0 0或沒有其余項。或沒有其余項。 以一個很小的正數以一個很小的正數 來代替

18、為來代替為0 0的這項，據此算出其的這項，據此算出其余的各項，完成勞斯表的排列。余的各項，完成勞斯表的排列。解決的辦法解決的辦法若勞斯表第一列中系數的符號有變化，其變化的次數若勞斯表第一列中系數的符號有變化，其變化的次數就等于該方程在就等于該方程在S S右半平面上根的數目，相應的右半平面上根的數目，相應的 如果第一列如果第一列 上面的系數與下面的系數符號相同，則上面的系數與下面的系數符號相同，則表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應的系統為表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應的系統為結結論論2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系27已知系統的閉環特征方程式為

19、已知系統的閉環特征方程式為02223+SSS試判別相應系統的穩定性。試判別相應系統的穩定性。2)(022110123SSSS由于表中第一列由于表中第一列 上面元素的符號與其下面元素的符號相同，上面元素的符號與其下面元素的符號相同，所以該閉環特征方程中有一對共軛虛根存在，相應的系統為所以該閉環特征方程中有一對共軛虛根存在，相應的系統為臨界穩定系統臨界穩定系統( (這在工業上屬于不穩定的系統這在工業上屬于不穩定的系統) )。例4.2-2列勞斯表列勞斯表2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系28勞斯表某一行元素全為勞斯表某一行元素全為0 0。這表示相應方程中含有

20、一些大。這表示相應方程中含有一些大小相等符號相反的實根或共軛虛根小相等符號相反的實根或共軛虛根( (關于原點對稱的根關于原點對稱的根) )。 利用系數全為利用系數全為0 0行的上一行系數構造一個輔助多項行的上一行系數構造一個輔助多項式，并以這個輔助多項式導數的系數來代替表中系數為式，并以這個輔助多項式導數的系數來代替表中系數為全全0 0的行。從而完成勞斯表的排列。的行。從而完成勞斯表的排列。解決解決辦法辦法關于原點對稱的根可以通過求解這個輔助方程式得到，而關于原點對稱的根可以通過求解這個輔助方程式得到，而且其根的數目總是偶數的。且其根的數目總是偶數的。若勞斯表第一列中系數的符號有變化，其變化的

21、次數就等若勞斯表第一列中系數的符號有變化，其變化的次數就等于該方程在于該方程在S S右半平面上根的數目，相應的右半平面上根的數目，相應的如果第一列如果第一列上的元素沒有符號變化，則表示該方程中有共上的元素沒有符號變化，則表示該方程中有共軛純虛根存在，相應的系統為軛純虛根存在，相應的系統為結結論論4.2.3 Routh4.2.3 Routh判據的兩種特殊情況判據的兩種特殊情況2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系2916038166248000161220161221620810123456SSSSSSS由于第一列的系數均由于第一列的系數均為正值，表明該方程

22、為正值，表明該方程在在S S右半平面上沒有右半平面上沒有特征根。特征根。該系統處于臨界該系統處于臨界穩定狀態穩定狀態。 已知系統的閉環特征方程式為已知系統的閉環特征方程式為試判別相應系統的穩定性。試判別相應系統的穩定性。例4.2-3列勞斯表列勞斯表ssdssdF248)(3+2,2jj令令F(sF(s)=0)=0，求得：，求得：sssF16122)(24+=2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系304.2.4 Routh4.2.4 Routh判據的推廣判據的推廣實際系統希望實際系統希望S S左半平面上的根距離左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。這種系統在系

23、統虛軸有一定的距離。這種系統在系統參數發生一定變化時仍能保持穩定。參數發生一定變化時仍能保持穩定。 此法可以估計一個穩定系統的所有閉環特征根中此法可以估計一個穩定系統的所有閉環特征根中最靠近虛軸的根離虛軸有多遠，從而了解系統穩定最靠近虛軸的根離虛軸有多遠，從而了解系統穩定的的“程度程度”穩定裕度。穩定裕度。 令令s=ss=s1 1-a-a，代入原系統的閉環特征方程中，得到，代入原系統的閉環特征方程中，得到以以s s1 1 為變量的特征方程式，然后用勞斯判據去判別該為變量的特征方程式，然后用勞斯判據去判別該方程中是否有根位于垂線方程中是否有根位于垂線s s1 1=-a=-a右側。右側。1sa02

24、022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系31用勞斯判據檢驗下列特征方程用勞斯判據檢驗下列特征方程例例4.2-44.2-4列勞斯表列勞斯表041310223+SSS是否有根在是否有根在S S的右半平面上，并檢驗有幾個根在的右半平面上，并檢驗有幾個根在 的右方。的右方。1S42 .121081304101320123SSSS第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統穩定。第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統穩定。s s1 1s s-1 -10 0j j2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系32令令S=Z-1S=Z-1代入

25、特征方程：代入特征方程：04) 1( 3) 1(10) 1(223+ZZZ014223+ZZZ式中有負號，顯然有根在式中有負號，顯然有根在1S的右方的右方。列勞斯表列勞斯表12114120123SSSS第一列的系數符號變第一列的系數符號變化了一次，表示原方化了一次，表示原方程有一個根在垂直直程有一個根在垂直直線線 的右方。的右方。1S041310223+SSS2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系334.2.5 Routh4.2.5 Routh判據的應用判據的應用例例4.2-54.2-51 1 系統參數穩定范圍的確定系統參數穩定范圍的確定已知某調速系統的特

26、征方程式為已知某調速系統的特征方程式為 0)1 (16705175 .4123+KSSS求該系統穩定的求該系統穩定的K K值范圍。值范圍。)1 (167005 .41)1 (16705175 .410)1 (16705 .41051710123KSKSKSS+由勞斯判據可知，若系統穩定，則勞斯表中第一列的系數由勞斯判據可知，若系統穩定，則勞斯表中第一列的系數必須全為正值：必須全為正值：+0)1 (16700)1 ( 2 .40517KK9 .111K列勞斯表列勞斯表2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系34第一列均為正值，第一列均為正值，S S全部位全部位

27、于左半平面，故系統穩定。于左半平面，故系統穩定。已知一單位反饋控制系統如下圖所示，試回答：已知一單位反饋控制系統如下圖所示，試回答： )(sR)(sCsKt）（10)5(20+sss)(sGc時，閉環系統是否穩定？時，閉環系統是否穩定？ ssKsGpc) 1()(+時，閉環系統的穩定條件是什么？時，閉環系統的穩定條件是什么？1)(sGc例4.2-61)(sGc20152075020155010123SSSS時，閉環系統時，閉環系統的的特征方程為特征方程為: :020501523=+SSS2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系35閉環特征方程為：閉環特征方程

28、為： 020205015234+ppKSKSSSssKsGpc) 1()(+開環傳遞函數：開環傳遞函數： )10)(5() 1(20)()(2+SSSSKsGsGpc列列勞勞斯斯表表432101502015200750202015750202015 2015(75020)/1520pppppPppsKpsKKsKKKKsKsK2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系36 因此，利用勞斯穩定判據可確定系統一因此，利用勞斯穩定判據可確定系統一個或兩個可調參數對系統穩定性的影響。個或兩個可調參數對系統穩定性的影響。 欲使系統穩定第一列的系數必須全為正值欲使系統穩定

29、第一列的系數必須全為正值 0pK5 .37020750ppKK020525015152075001520750)151520750(20pppppKKKKK5 .26pK5 .260pK2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系37+)sT)(sT( sk1121+系統閉環特征方程為：系統閉環特征方程為：0221321+kss )TT(sTT02121+kTkTTT01121+kTT為穩定條件為穩定條件例4.2-7系統結構圖如下所示，確定系統參數穩定的條件。系統結構圖如下所示，確定系統參數穩定的條件。 S3 T1T2 1S2 T1+T2 kS1 0S0 k 0

30、121212(T +T )-kTTT +T2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系38當當K=2K=2時，時，RouthRouth表的第三、表的第三、五行元素全為五行元素全為0 0。系統將有對稱于系統將有對稱于原點的閉環特征原點的閉環特征根。根。2 2 求特殊情況下系統的閉環特征根求特殊情況下系統的閉環特征根例例4.2-84.2-8已知某系統的閉環特征方程為：已知某系統的閉環特征方程為： 5432SSKS2S +S+1=0+試確定使系統有對稱于原點的閉環特征根的試確定使系統有對稱于原點的閉環特征根的K K值，并求出此時值，并求出此時系統的所有閉環特征根系統的

31、所有閉環特征根。543210S1K1S121SK-20S31K-2S3S142S2S10+ ，進而得，進而得列勞斯表列勞斯表2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系394.3 4.3 狀態空間表示的系統穩定性判定狀態空間表示的系統穩定性判定定理定理5.1:5.1: 線性定常系統線性定常系統 xAxbuycxdu+平衡狀態平衡狀態 漸近穩定的充要條件是矩陣漸近穩定的充要條件是矩陣A A的所有特征值均具有負實部的所有特征值均具有負實部. . 0ex 證明：證明：，由其齊次解，由其齊次解 可知：若可知：若A A的的特征特征0( )( )Atx te x t則當則當

32、 有界，有界， 0(t)0(t)。0 x( )x t值均具有負實部。值均具有負實部。 系統輸出穩定：系統輸出穩定：如果系統對于有界輸入如果系統對于有界輸入u u 所引起的輸出所引起的輸出y y是有是有 界的界的. .則稱系統為輸出穩定則稱系統為輸出穩定. .定理定理5.25.2：線性定常系統線性定常系統 輸出穩定的充要條件是傳輸出穩定的充要條件是傳 函函 的極點全部位于的極點全部位于s s的左半平面的左半平面. . ( , , )A b c1( )()G Sc SIAb2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系40 設系統的狀態空間表達式為設系統的狀態空間表達式為: :1011,0011xxuyx + 試分析系統的狀態穩定性與輸出穩定性試分析系統的狀態穩定性與輸出穩定性. . 1) 1)有有A A的特征方程的特征方