1、7.6直接證明與間接證明第七章不等式、推理與證明NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí)題型分類 深度剖析課時(shí)作業(yè)1基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí)PART ONE1.直接證明知識梳理ZHISHISHULIZHISHISHULI內(nèi)容綜合法分析法定義從 出發(fā)，經(jīng)過逐步的推理，最后達(dá)到_的方法，是一種從 推導(dǎo)到 的思維方法從 出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的 ，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)的方法，是一種從 追溯到_ 的思維方法已知條件待證結(jié)論原因結(jié)果待證結(jié)論充分條件結(jié)果產(chǎn)生這一結(jié)果的原因特點(diǎn)從“ ”看“ ”，逐步推向“ ”，其逐步推理，實(shí)際上是要尋找它的_從“ ”看“ ”，逐步靠攏“ ”，其

2、逐步推理，實(shí)際上是要尋找它的_步驟的符號表示P0(已知)P1P2P3P4(結(jié)論)B(結(jié)論) B1 B2 Bn A(已知)已知可知未知必要條件未知需知已知充分條件2.間接證明(1)反證法的定義：一般地，由證明pq轉(zhuǎn)向證明_t與 矛盾，或與 矛盾，從而判定綈q為假，推出q為真的方法，叫做反證法.(2)應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的一般步驟：分清命題的 和 ；做出 的假定；由 出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出 的結(jié)果；斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所做的假定不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明命題為真.綈qrt假設(shè)某個(gè)真命題條件結(jié)論與命題結(jié)論相矛盾矛盾假定1.直接證明中的綜合法是演繹推理嗎？提示是.用綜合

3、法證明時(shí)常省略大前提.【概念方法微思考】2.綜合法與分析法的推理過程有何區(qū)別？提示綜合法是執(zhí)因索果，分析法是執(zhí)果索因，推理方式是互逆的.3.反證法是“要證原命題成立，只需證其逆否命題成立”的推理方法嗎？提示不是.反證法是命題中“p與綈p”關(guān)系的應(yīng)用.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊?(1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明.()(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.()(3)用反證法證明結(jié)論“ab”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“aQ B.PQC.PQ2，又P0，Q0，PQ.123456A.1 B.2 C.4 D.61234564.若a，b，c為實(shí)數(shù)，且ab

4、0，則下列命題正確的是A.ac2abb2123456題組三易錯(cuò)自糾解析a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab. 又abb2b(ab)0，abb2， 由得a2abb2.123456解析方程x3axb0至少有一個(gè)實(shí)根的反面是方程x3axb0沒有實(shí)根，故選A.5.用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3axb0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要作的假設(shè)是A.方程x3axb0沒有實(shí)根B.方程x3axb0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x3axb0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x3axb0恰好有兩個(gè)實(shí)根6.在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則ABC的形狀為

5、_.123456等邊三角形解析由題意得2BAC，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，ABC為等邊三角形.2題型分類深度剖析PART TWO題型一綜合法的應(yīng)用例1已知a，b，c0，abc1.求證：師生共研師生共研證明a0，3a11，(1)從已知出發(fā)，逐步推理直到得出所證結(jié)論的方法為綜合法；(2)計(jì)算題的計(jì)算過程也是根據(jù)已知的式子進(jìn)行逐步推導(dǎo)的過程，也是使用的綜合法.思維升華跟蹤訓(xùn)練1設(shè)Tn是數(shù)列an的前n項(xiàng)之積，并滿足：Tn1an.又T11a1a1，Snb1b2bn題型二分析法的應(yīng)用例2已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C

6、的對邊分別為a，b，c.師生共研師生共研只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立.于是原等式成立.(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.(2)證明較復(fù)雜的問題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法.思維升華所以要證的不等式成立.題型三反證法的應(yīng)用師生共研師生共研(1)ab2；由基本不等式及ab1，(2)a2a2與b2b2不可能同時(shí)成立.證明假設(shè)a2a2與b2b2同時(shí)成立，則由a2a0，得0a1；同理，0b1，

7、從而ab1，這與ab1矛盾.故a2a2與b2b2不可能同時(shí)成立.反證法的一般步驟：(1)分清命題的條件與結(jié)論；(2)作出與命題的結(jié)論相矛盾的假設(shè)；(3)由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用演繹推理的方法，推出矛盾的結(jié)果；(4)斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，從而間接地證明原命題為真.思維升華(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn；解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，rN+，所以pr，與pr矛盾，所以數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列.3課時(shí)作業(yè)PART THREE1.在ABC中，sin Asin Ccos Acos C，則ABC一定

8、是A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定12345678910111213141516解析由sin Asin C0，即cos(AC)0，所以AC是銳角，基礎(chǔ)保分練A.x21 B.x24C.x20 D.x2112345678910111213141516因?yàn)閤0，所以x20成立，故原不等式成立.3.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若x1x20，則f(x1)f(x2)的值A(chǔ).恒為負(fù)值 B.恒等于零C.恒為正值 D.無法確定正負(fù)12345678910111213141516解析由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是

9、R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，則f(x1)f(x2)0.解析假設(shè)a，b，c都小于2，則abc1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是A. B. C. D.12345678910111213141516但a1，b2，故推不出；若a2，b3，則ab1，故推不出；對于，即ab2，則a，b中至少有一個(gè)大于1，下面用反證法證明：假設(shè)a1且b1，則ab2與ab2矛盾，因此假設(shè)不成立，a，b中至少有一個(gè)大于1.123456789101112131415166.用反證法證明“若x210，則x1或x1”時(shí)，應(yīng)假設(shè)_

10、.12345678910111213141516x1且x1解析“x1或x1”的否定是“x1且x1”.12345678910111213141516a0，b0且ab12345678910111213141516cn1cn則cn隨n的增大而減小，cn10，b0，所以2ab0.即其最小值為9，所以m9，即m的最大值等于9.1234567891011121314151610.在不等邊三角形ABC中，a為最大邊，要想得到A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿足_.a2b2c2得b2c2a2b2c2.1234567891011121314151612345678910111213141516證明a，b，c(0

11、，)，由于a，b，c是不全相等的正數(shù)，上述三個(gè)不等式中等號不能同時(shí)成立，12.若f(x)的定義域?yàn)閍，b，值域?yàn)閍，b(a1，所以b3.1234567891011121314151612345678910111213141516解得ab，這與已知矛盾.故不存在.A.ABC B.ACBC.BCA D.CBA12345678910111213141516技能提升練123456789101112131415161234567891011121314151614.若二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1，在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f(c)0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_.12345678910111213141516解析方法一(補(bǔ)集法)若二次函數(shù)f(x)0在區(qū)間1,1內(nèi)恒成立，方法二(直接法)依題意有f(1)0或f(1)0，即2p2p10或2p23p9k)總成立，則稱數(shù)列an是“P(k)數(shù)列”.(1)證明：等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”；證明因?yàn)閍n