1、構造對偶式的八種途徑在數學解題過程中，合理地構造形式相似，具有某種對稱關系的一對對偶關系式，對對偶關系式進行適當的和，差，積等運算，往往能使問題得到巧妙的解決，收到事半功倍的效果。一. 和差對偶并通過對這對于表達式u(x) _v(x)，我們可構造表達式u(x)二v(x)作為它的對偶關系式。例1假設0 : n，且 3sin v - 4cos v - 5 ，求 tanv 的值。解析：構造對偶式：2 3si n v - 4cos v - y那么3si"收5,得3sin v -4cos ) - y點評：這種構造對偶式的方法靈巧， 富有創意，有助于培養學生的創新思sizcos v -I 8再由

2、 sin? v cosA -1，得：tan維和創二例 2 ：a, b, c, d R，且 a2 3 b2c2 d2 乞 1,求證：(a b)4 (a c)4 (a d)4 (bc)4(b d)4(c d)4 _ 6。解:設 M = (a b)4 (a c)4 (a d)4 (b c)4 (b d)4 (c d)4,構造對偶式44444N=(a-b) (a-c) (a-d) (b-c) (b-d) (c-d)那么有：M N=6(a4b4c4d42a2 b22a2c2-6(a2b2c2d2)2豈 6又N _0 ,故M _6，即原不等式成立。2a2 d2 2b2c2 2b2d2 2c2 d2)10

3、a22 ,(1)x2 -8x 2110 -a例3解方程：2.x2 8x 2 V xA8x 21 =108x 2122x2421 n(100 a2) ,(3)2解：構造對偶式：X2 8x 21- x2 8x ? 21 - a，再由原方程聯立可解得:那么(1)2(2)2得:(1) - (2)得： 16x = 10a ，即 a =5代入( 3)中得： 2x4 5 6 7 8 9 10 11 42 =丄( 100 -64x2)2 25 整理得：？ x2 =4 ,解得：x- -10。25 3二.互倒對偶互倒對偶是指針對式子的結構，通過對式中的某些元素取倒數來構造對偶式的方法。1 1 1例 4假設 x,y

4、,z? (0,1)，求證：1x+y 1y+z 1z+x解：設 M 二 1 1+ +_x y 1 -y z 1- z x構造對偶式 :N =(1 一 x y) (1 - y z) (1 - z x) ,+ (1x + y) +1 +(1 y+z)(1_z x)1 -x y1 - y z1 -z x_2 2 2=61 1而N=3，故M_3，即一1一_3。1x+y 1y+z 1_z+x1 -y z例 5設印 82 月 3, ,an 為互不相等的正整數a? a3an1 11求證：a? -2 ?冷T -122 32n223na aa111解：設 M= a? -2 ?冷2，構造對偶式：N -23na1a2

5、an那么M N二1)(a；1 廠(a;1)-1 1 j 1a-i2a2nan2 3 n1 114 11M -15 3n點評：解題時巧妙構思，對其構造了“意料之中的對偶式，化新為舊，等價轉化，完成對 難點的突破，以達化解問題這目的。的解析1例6對任意x, (- 二, 0) - (0, ?:)總有f (x) 2f (廠x=0 ,求函數y = f (x)式。，因此2 3 n又aia,a3/耳為互不相等的正整數，所以N乞11解析：因 f(x)? 2f()? x = 0x111用一替代上式中的x,構造對偶式：f (一)？ 2f (x) ?=0xxx1 2由一 X2 得： f (x) ? x _4f( )

6、0x x2 2故 f(x)二 x -2x3x三. 共軛對偶共軛對偶是反映利用共軛根式或共軛復數來構造對偶式的方法。例7z ? c，解方程：z- 3iz = 1 3i。解析：由z-3iz =1 3i構造對偶式：z3iz=1-3i由一得z - -z -2，代入得(z ? 1)(z T -3i) =0 ,2a . 2b 1故 z - -1 或 z - -1 ? 3i。例8假設Z E c，Z一 1且Z式±，證明：- 為純虛數。z + 1z 1z1 z 1解:設，貝y M構造對偶式：N一 1z +1z +1 z +1那么M +N=廠1 +丈一=0(因為z， z=|z2=1 ) z+1z+1z

7、1又0(因為z =二 1 )z 1Z d?為純虛數。z 1例9口： a 0,b0，且a ? b =1，求證：.2a 1,2bz 1證明：設皿=.2a . 2b 1，構造對偶式：N=z 1z + 1? M 乞 M 2 N2 = 4(a b) 4 = 8? M <2 2，即原不等式成立。四. 倒序對偶倒序對偶是指針對式子的結構，通過和式或積式進行倒序構造對偶式的方法。解析：觀察和式聯想到 Ck =cn,Q< k < n,n ? N*，故首先在和式右邊添上一項0 C0,那么 S =0 C0 - 1C； 2C2 - ncn構造對偶式：S 二 nC : (n -1)C ； (n- 2)

8、C"0C ；即亦為：S=0 C o +1C: +2C ; + +nC nn由+得：nC : ? nCn- nC : nC :?2S = nC ; + nC1 + + nC ：+ nC： = n(C : + C: + + C :)?- 2S 二 n 2n ?- S =n2n點評：利用現成的對偶式，使問題本身變得簡單，便易，如此處理，可謂“勝似閑庭信步例11正項等比數列an中，T豈不妙哉！a2aAan, a1a? a八'Hbn試用 s, T 表an示 Q ai a2解析：傳統解法都用 a1,q表示S,T及Q,然后通過ai和q找到S,T,Q的等量關系，這種解法雖思路正確，但運算繁瑣

9、，加之在用等比數列求和公式時還要討論q =1和q = 1兩種情形，如此解題會陷入漫漫無期的運算之中，很少有人能夠到達終點。其實，觀察和式子與積式特征不妨采取“本末倒置構造倒序對偶序式一試。由題意知：T =ai a 2 a" a n構造倒序對偶式：T =an耳-an"a1由x得：T2 :=(a an) 叭)(an 已)=佝 an)2, 即卩 T :=(a再來看：Q丄丄a1a2an1 11構造倒序對偶式：Q -an an -1a1即+得:2Q 111111()()(),刁 an a2an-2 an ai,? Qai an2又 qan =TnS? Q=S即2Q二壬皀?.楚壬，.？

10、生。ai ana2, an_2暮，ai由等比數列性質可知，右邊的分母均為a an,故(31 an) 2 an)(an aj2Q即 2Q 2SaianTn五. 定值對偶定值對偶是指能利用和，差，積，商等運算產生定值，并借此構造出對偶式的方法。1 1。？已-) - f(x)二f( ) f(1) f(2) f f(4),1 =1解析：f (x) f (!)(-)2X1 (1)2x2發現定值：1f(x) f( ) =1。x引&1 x21 11那么 S 二f() f()f( )f(1)f(2)f(3)f (4)4321 1 1構造對偶式： S 二 f(4)f (3)f(2)f(1)f( )f()

11、 f()234由 +得：1112S 二f (匸廠 f(4) f(;) ? f(3) f(； )f(2) 2f(1)432111f(2) f(Jf(3)f(； )f(4) ? f(：)234? ?2S=7,I 卩 S = 7。2六 . 奇偶數對偶1心一1 1352n -124 v 6 72n解：設M =X XK，構造對偶式：N 二X X 2 462n3572n 1由千12 342n-12n由于23 4-5 2n2n 1因此M:N ,從而M2 12 :MN-On d3n -1 3n>故 M :,2n 1例 14 求證：(11)(1) .1證明：待證不等式的左邊為：1 1 ).3 3n 143

12、n 2(1 1)(1丄)(13n 2XII)上 § "。3n 23n 13n73n 16，3n -23n -1> 3n直)3n -1(-=(Z 5 ： F)(3-143n -23n -23nXII 1 1 1而 N 二 b1a 14 (b-1)(a-1)42 2 = 8 ,b 1a 1b 1a1? M _ N -8 ,即M _8。當且僅當a二b = 2時等號成立。=3n 1? M3 3n 1故原不等式成立。七.輪換對偶輪換對偶是指針對式子的結構，通過輪換字母而構造對偶式的方法。2 b2例15求證：對任意實數a. 1,b .1 ,都有8不等式成立。b 1 a 1證明：設

13、M -2ab -12ba1構造對偶式Nb22 ab -1 a -1那么 M 沖/2"2a2(a b)(a - b)2-0，即 M _ Nb-1 a-1 (b-1)(a-1)2 2 2 2 2 2 證明：設 M = - c，構造對偶式： N二 一-c - aa b b cc aa b b c c a例16設a,b, c ? R，求證:松完成有關三角例17X三a b b c c a 22.2 .2 2 2 2MN -ab b cc a+abb cc aa b c又M N = 0 ,即M = N2 ,2,22abca b c-+ >oa b八.互余對偶b cc a2三角中的正弦與余弦

14、是兩個對稱元素，利用互余函數構造對偶式，借用配對思想可以輕 題的解答。，解方程： cos2 x + cos2 2x + cos2 3x = 1 2解析：假設令 M = cos 2 x cos2 2x cos 2 3x ,構造對偶式：N = sin 2 x sin2 2x sin2 3x貝 U： M N =3M -N = cos2x cos4x cos6x = 2cosxcos3x 2cos 3x-1=2cos3x(cosx cos3x) -1 = 4cosxcos2xcos3x -1M - N = 4cos x cos2x cos3 x -11由 + 得：cosxcos2xcos3x (2M-2)，又 M =14cosxcos2xcos3x = 0?- cosx 一 0 或 cos2x 一 0 或 cos3x 一 0, x 0,2JJtTt?- x 一 一或x 一一或 x =o642例 18 求 sin 10 cos 40 sinlO cos40 的值。解析：令 M =sin 10 cos 40 sin 10 cos40構造對偶式：N = cos 210sin2 40 - cos10 sin40 ，貝卩M N =2 sin 10 cos40cos10 si n40 = 2 sin50M - N 二-cos20 cos80 sin 10 cos40 - co