1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上實驗 2.1 多項式插值的震蕩現象 問題提出：考慮在一個固定的區(qū)間上用插值逼近一個函數。顯然Lagrange插值中使用的節(jié)點越多，插值多項式的次數越高，我們自然關心插值多項式的次數增加時，是否也更加靠近被逼近的函數。Runge 給出的一個例子是極著名并富有啟發(fā)性的。設區(qū)間-1,1上函數 實驗內容：考慮空間-1,1的一個等距劃分，分點為 ， 0，1,2 .,則拉格朗日插值多項式為 .其中，是次Lagrange插值基函數。實驗要求：（1） 選擇不斷增大的分點數目畫出原函數及插值多項式函數在-1,1上的圖像，比較并分析實驗結果。（2） 選擇其他的函數，例如定義在區(qū)間-5,5

2、上的函數 ，重復上述的實驗看其結果如何。首先編寫拉格朗日插值函數的Matlab實現：Matlab程序為：function y=lagrange(x0,y0,x) %Lagrange插值n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if(j=k) p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=s+p*y0(k); end y(i)=s;end（1） 當函數為時，Matlab程序為：x=linspace(-1,1,100);y=1./(1+25*x.2);plot

3、(x,y)hold on;for i=2:2:10 x0=linspace(-1,1,i+1); y0=1./(1+25*x0.2); y=laglanri(x0,y0,x); plot(x,y,'r-') hold onend運行結果：結果分析：從圖上看到在區(qū)間-1，1的兩端點附近，隨著插值點數的增加，插值函數與偏離的越遠，而且出現了振蕩現象。（2） 當函數為時Matlab程序為：x=linspace(-5,5,100);y=x./(1+x.4);plot(x,y)hold on;for i=2:2:10 x0=linspace(-5,5,i+1); y0=x0./(1+x0

4、.4); y=laglanri(x0,y0,x); plot(x,y,'r-') hold onend運行結果：結果分析：從圖上看到在區(qū)間-5，5的兩端點附近，隨著插值點數的增加，插值函數與偏離的越遠，而且出現了振蕩現象。（3） 當函數為x=linspace(-5,5,100);y=atan(x);plot(x,y)hold on;for i=2:2:10 x0=linspace(-5,5,i+1); y0=atan(x0); y=laglanri(x0,y0,x); plot(x,y,'r-') hold onend運行結果：結果分析：從圖上看到在區(qū)間-5，5

5、的兩端點附近，隨著插值點數的增加，插值函數與偏離的越遠，而且出現了振蕩現象。實驗 3.1編制以函數為基的多項式最小二乘擬合程序，并用于對表3.11中的數據作3次多項式二乘擬合。- 1.0- 0.50.00.51.01.52.0-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552取權數1，求擬合曲線中的參數、平方誤差，并作離散數據的擬合函數的圖像。Matlab程序如下：x0=-1:0.5:2;y0=-4.447 -0.452 0.551 0.048 -0.447 0.549 4.552;alph=polyfit(x0,y0,n);%ployfit為最小二乘擬合函數，alp

6、h為系數（按降冪排列y=polyval(alph,x0);r=(y0-y)*(y0-y)'%平方誤差,注意平方的表達式x=-1:0.01:2;y=polyval(alph,x);plot(x,y,'k-');xlabel('x');ylabel('擬合曲線');hold on;plot(x0,y0,'*');title('離散數據的多項式擬合');grid on;disp('平方誤差：',sprintf('%g',r);disp('參數alph：',sprin

7、tf('%gt',alph)運行結果：平方誤差：2.17619e-005參數alph：1.99911-2.99767 -3.96825e-005 0.結果分析：根據給定的7個點的數據，所求的擬合函數的曲線可以基本地反映數據點的變化趨勢。所求的三次多項式為： 其最小平方誤差為：2.17619e-005。實驗4.1實驗目的：復化求積公式計算定積分.實驗目的：數值計算下列各式右端定積分的近似值.（1） ； （2）；（3） ； （4）；實驗要求：（1） 若用復化梯形公式、復化Simpson公式和復化Gauss-Legendre I 型公式做計算，要求絕對誤差限為，分別利用它們的余項對每

8、種算法做出步長的事前估計.（2） 分別用復化梯形公式，復化Simpson公式和復化Gauss-Legendre I 型公式作出計算.（3） 將計算結果與精確解做比較，并比較各種算法的計算量.事前估計的Matlab程序如下：1用復化梯形公式進行事前估計的Matlab程序format long g x=2:0.01:3;f=-4*(3*x.2+1)./(x.2-1).3; %二階導函數%plot(x,f) %畫出二階導函數圖像x=2.0; %計算導函數最大值f=-4*(3*x2+1)/(x2-1)3; h2=0.5*10(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2) %步長n=1/h; n=ce

9、il(1/h)+1 %選取的點數%222%format long gx=0:0.01:1;f=8.*(3*x.2-1)./(x.2+1).3;%二階導函數%plot(x,f) %畫出二階導函數圖像x=1; %計算導函數最大值f=8.*(3*x.2-1)./(x.2+1).3;h2=0.5*10(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2) %步長n=1/hn=ceil(1/h)+1 %選取的點數%333%format long gx=0:0.01:1;f=log(3).*log(3).*3.x;%二階導函數%plot(x,f); %畫出二階導函數圖像x=1; %計算導函數最大值f=log(3

10、)*log(3)*3x;h2=0.5*10(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2) %步長n=1/hn=ceil(1/h)+1 %選取的點數%format long gx=1:0.01:2;f=2.*exp(x)+x.*exp(x);%二階導函數%plot(x,f) %畫出二階導函數圖像x=2; %計算導函數最大值f=2.*exp(x)+x.*exp(x);h2=0.5*10(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2) %步長n=1/hn=ceil(1/h)+1 %選取的點數估計結果步長h及結點數n分別為h = 0.n = 1793h = 0.n = 1827h = 0.n = 2

11、458h = 0.n = 70202用復化simpson公式進行事前估計的Matlab程序format long g x=2:0.01:3;f=-2*(-72*x.2-24).*(x.2-1)-192*x.2.*(x.2+1)./(x.2-1).5;%四階導函數x=2.0;f=-2*(-72*x2-24)*(x2-1)-192*x2*(x2+1)/(x2-1)5; %計算導函數最大值h4=0.5*10(-7)*180*16/f; h=sqrt(sqrt(abs(h4) %步長n=1/h; %求分段區(qū)間個數n=2*ceil(1/h)+1 %選取的點數 %222%format long g x=0

12、:0.01:1;f=4*(-72*x.2+24).*(x.2+1)-192*x.2.*(-x.2+1)./(x.2+1).5;%四階導函數x=1;f=4*(-72*x2+24)*(x2+1)-192*x2*(-x2+1)/(x2+1)5; %計算導函數最大值h4=0.5*10(-7)*180*16/f;h=sqrt(sqrt(abs(h4)%步長n=1/h; %求分段區(qū)間個數n=2*ceil(1/h)+1 %選取的點數 %333%format long g x=0:0.01:1;f=log(3)4*3.x;%四階導函數x=1;f=log(3)4*3.x;%計算導函數最大值h4=0.5*10(-

13、7)*180*16/f;h=sqrt(sqrt(abs(h4)%步長n=1/h; %求分段區(qū)間個數n=2*ceil(1/h)+1 %選取的點數 %444%format long g x=1:0.01:2;f=4*exp(x)+x.*exp(x);%四階導函數plot(x,f) %畫出原函數x=2;f=4*exp(x)+x.*exp(x); %計算導函數最大值h4=0.5*10(-7)*180*16/f;h=sqrt(sqrt(abs(h4)n=1/h; %求分段區(qū)間個數n=2*ceil(1/h)+1 %選取的點數 估計結果步長h及結點數n分別為h = 0.13411n = 47h = 0.76

14、542n = 35h = 0.18433n = 29h = 0.18546n =49積分計算的Matlab程序：format long gpromps='請選擇積分公式，若用復化梯形，請輸入T，用復化simpson，輸入S，用復化Gauss_Legendre，輸入GL：'result=inputdlg(promps,'charpt 4',1,'T');Nb=char(result);if(Nb='T'&Nb='S'&Nb='GL') errordlg('積分公式選擇錯誤

15、9;); return;endresult=inputdlg('請輸入積分式題號1-4：','實驗4.1',1,'1');Nb_f=str2num(char(result);if(Nb_f<1|Nb_f>4) errordlg('沒有該積分式'); return;endswitch Nb_f case 1 fun=inline('-2./(x.2-1)');a=2;b=3; case 2 fun=inline('4./(x.2+1)');a=0;b=1; case 3 fun=inlin

16、e('3.x');a=0;b=1; case 4 fun=inline('x.*exp(x)');a=1;b=2;endif(Nb='T')%用復化梯形公式 promps='請輸入用復化梯形公式應取的步長：' result=inputdlg(promps,'實驗4.2',1,'0.01'); h=str2num(char(result); if(h<=0) errordlg('請輸入正確的步長！'); return; end tic; N=floor(b-a)/h); dets

17、um=0; for i=1:N-1 xk=a+i*h; detsum=detsum+fun(xk); end t=h*(fun(a)+fun(b)+2*detsum)/2; time=toc; tendif(Nb='S')%用復化Simpson公式 promps='請輸入用復化Simpson公式應取的步長：' result=inputdlg(promps,'實驗4.2',1,'0.01'); h=str2num(char(result); if(h<=0) errordlg('請輸入正確的步長！'); ret

18、urn; end tic; N=floor(b-a)/h); detsum_1=0; detsum_2=0; for i=1:N-1 xk_1=a+i*h; detsum_1=detsum_1+fun(xk_1); end for i=1:N xk_2=a+h*(2*i-1)/2; detsum_2=detsum_2+fun(xk_2); end t=h*(fun(a)+fun(b)+2*detsum_1+4*detsum_2)/6; time=toc; t endif(Nb='GL')%用復化Gauss_Legendre I %先根據復化Gauss_Legendre I公式的

19、余項估計步長 promps='請輸入用復化Gauss_Legendre I 公式應取的步長：' result=inputdlg(promps,'實驗4.2',1,'0.01'); h=str2num(char(result); if(h<=0) errordlg('請輸入正確的步長!'); return; end tic; N=floor(b-a)/h);t=0; for k=0:N-1 xk=a+k*h+h/2; t=t+fun(xk-h/(2*sqrt(3)+fun(xk+h/(2*sqrt(3); end t=t*h/

20、2; time=toc; tendswitch Nb_f case 1 disp('精確解：ln2-ln3=-0.') disp('絕對誤差：',num2str(abs(t+0.); disp('運行時間：',num2str(time); case 2 disp('精確解：pi=3.979') disp('絕對誤差：',num2str(abs(t-pi); disp('運行時間：',num2str(time); case 3 disp('精確解：2/ln3=1.368') disp(

21、'絕對誤差：',num2str(abs(t-1.368); disp('運行時間：',num2str(time); case 4 disp('精確解：e2=7.065') disp('絕對誤差：',num2str(abs(t-7.065); disp('運行時間：',num2str(time);end 運行結果：當選用復化梯形公式時：（1）式運行結果為：t = -0.351精確解：ln2-ln3=-0.絕對誤差：1.3944e-008運行時間：0.003（2）式運行結果為：t = 3.336精確解：pi=3.979絕對誤差：3.9736e-008運行時間：0.005（3）式運行結果為：t = 1.861精確解：2/ln3=1.368絕對誤差：4.3655e-008運行時間：0.016（4）式運行結果為：t = 7.610精確解：e2=7.065絕對誤差：2.0775e-008運行時間：0.007當選用復化Simpson公式進行計算時（1）式運行結果為：t = -0.7519精確解：ln2-ln3=-0.絕對誤差：2.7519e-011運行時間：0.022（2）式運行結