1、2019年普通高等學校招生全國統一考試全國田卷理科數學答案解析一、選擇題1 .【答案】A【解析】集合BHx|-1> 1,則Ap|B=|1,0,1|,故選A.【考點】集合的交運算，解一元二次不等式【考查能力】運算求解2 .【答案】D【解析】z ="=1+i(1+i)(1-i)2i(1-i)2+2i /”=1 + i ,故選 D .10 / 9【考點】復數的四則運算【考查能力】運算求解3 .【答案】C【解析】根據題意閱讀過紅樓夢西游記的人數用書思圖表示如下:的系數力的各=1,所所以該校閱讀過西游記的學生人數與該校學生總數比值的估計值為上0 = 0.7 ,故選B.100【考點】韋恩圖

2、的應用與概率問題【考查能力】閱讀理解4 .【答案】B【解析】展開式中含X3的項可以由“ 1與X3 ”和“ 2x3與x ”的乘積組成，則X3 C3 +2C：=4+8=12,故選 b.【考點】二項展開式通項公式的應用5 .【答案】C【解析】設等比數列 QnHq公比為q ,由a5 = 3a3 +44，得q4 =3q2 + 4 ,得q2 = 4 ,因為數列(項均為正數，所以 q =2 ,又 a1 +a2 +a3 + a4 =a1(1 + q + q2 + q3 )= a1(1+2 + 4+8) =15 ,所以 a12.以 a3 =a1q =4.【考點】等比數列通項公式的應用【考查能力】運算求解6 .【

3、答案】D【解析】因為y=aex+lnx + 1,所以yxq = ae1,所以曲線在點(1, ae)出的切線方程為 ae+1 = 2 a=e _y a c = (a e +1)(x 1),即 y = (ae+1) x-1 ,所以 士,解得 «.故選 D.b = -1b = -1【考點】導數的幾何意義7.【答案】B一一 一.2x3-2x3_ 2x3.【解析】因為f(x) = X /，所以f (x)= Jxx= f(x)，且xw6,6,所以函數y= *為2x .n.2 x2 x - 2x2x 22x3奇函數，排除C ；當x>。時；f (x)=-3>0恒成立，排除D;222 64

4、128128 16 上7.97 ,排除A.故選B.【考點】函數圖像與性質的應用8 .【答案】B【解析】取CD的中點O,連接ON , EO,因為4ECD為正三角形，所以EO _L CD ,又平面ECD _L平 面ABCD,平面ECD|平面ABCD = CD,所以EO_L平面ABCD .設正方形 ABCD的邊長為2,則 EO = J3, ON =1,所以EN4 2，一心 1 - 25716 16 =EO2 +ON2 = 4 .得EN = 2 .過M作CD的重線，垂足為P ,連接BP , 則 MP=Y3, CP =3,所以 BM 2 =MP 2 + BP 2=但 | 十3 I +2 2=7 .得 B

5、M=",所以 2222BM*EN.連接BD, BE,因為四邊形 ABCD為正方形，所以 N為BD的中點，即EN , MB均在平 面BDE內，所以直線 BM , EN是相交直線，故選B.【考點】空間線線位置關系【考查能力】空間想象9 .【答案】C【解析】執行程序框圖 x11= 1,s = 0, s = 0+1=1,x=,不滿足 x< & =210011所以s =121,221 一一1x =,不滿足x注=4100所以c 1=2 -2 , X221L 一一,不滿足x< z =810011111二 1 -+ 一+ =2 -， x =2482316, 1111-1二1 -+

6、 + =2 -,x2481624, 11111 八1二 1 -+ + 二 2 -24816 3225=1 111.=2-12486426二2一a ,故選C.2所以s所以s所以s所以s輸出s【考點】程序框圖,不滿足x< ；=1L 一x = 一 ,不滿足x< 641L 一一,不滿足x< z =321x =,滿足 x< Z128【考查能力】邏輯推理、運算求解10.【答案】A【解析】不妨設點 P在第一象限，根據題意可知一b .2又 tan POF = a 2所以等腰100100100100c2 =6,所以 |OF |二店.角形POF 的高h2,S.PFO、3 v 3【考點】雙曲

7、線的標準方程與幾何性質，三角形的面積11.【答案】C1【解析】根據函數f (x)為偶函數可知f 103g 4I30 g3 l，00 <2 2 <2 3 <2° < log 3 4,且函數 f (x )在(0,上b3)單調遞減，所以f 2- |f 2-2 3(f I log34【考點】函數的單調性、奇偶性【考查能力】化歸與轉化，數形結合12.【答案】D【解析】如圖，根據題意知 Xa, 2 y Xb ,根據圖象可知函數f (x延(0,2冗)有且僅有3個極大值點，所以正確；但可能會有3個極小值點，所以錯誤；根據xA, 2 7K xB,有必5 ,2u<29冗29

8、49冗 冗<< 一 ,1002小十詔m/U冗冗冗 口冗 冗 1229一、，。冗 無所以正確；當X |0, I時，一<C0X+ < +一,因為,0 < ,所以 十 一1055105510105所以函數f(x田'0, 單調遞增，所以正確. IS【考點】三角函數的圖像與性質【考查能力】數形結合13 .【答案】- 3【解析】設 a =(1,0), b=(0,1),則 c = (2,佝，所以 cos(a,c)=21 .45【考點】平面向量的數量積.【考查能力】運算求解14.【答案】4【解析】等差數列an的公差為d ,由a2 =3a1 ,即a1 + d =3a1 ,得

9、d2a1 ,所以Si0 sT10 910 9 。10al d 10al 2a 142121 ©55 454c 25一5a1d5a12a122【考點】等比數列的通項公式和前n項和公式【考查能力】運算求解15 .【答案】(3,病【解析】不妨令 F1, F2分別為橢圓C的左、右焦點，根據題意可知 c = 736-20 = 4 .因為 腰三角形，所以易知 FM|=2c=8,所以F2M =2a8 = 4,設M (x, y), MF1 F2為等y2所以M的坐標為3(3,715).36 20一2n則 F1M =(x 4)2x >0y> 0x = 3=64,得I-,y =15【考點】橢圓

10、的標準方程及定義16 .【答案】118. 8【解析】由題得長方體 ABCD - A1B1clD1 ,的體積為6M6M4=144 (cm2).四邊形EFGH為平行四邊形，19如圖所不，連接CE , HF，易知四邊形EFCH的面積為矩形BCC1B1 ,面積的一半，即M64=2(m(),一.1所以V四棱錐。手助=M3M12=12(cm2)，所以該模型的體積為 144 12=132(cm3 ),所以制作該模型所 3需原料的質量為132 x0.9=118.8(g) .【考點】空間幾何體體積計算【考查能力】空間想象，運算求解17 .【答案】解：(1)由已知得0.70=a+0.20 + 0.15,故 a =

11、0.35, b=1 -0.05 -0.15-0.70 =0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2 M0.15+3父0.20 + 4父0.30+5父0.20 + 6父0.10 + 7父0.05=4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3M0.05+4父0.10+5父0.15+6父0.35 + 7父0.20+8父0.15 = 6.00.【解析】(1)根據P(C)的估計值為0.70及頻率之和為1可求得a, b的值;(2)根據各組區間的中點值及頻率即可計算平均值.【考點】頻率分布直方圖【考查能力】識圖能力，閱讀理解A C . _ 18 .【答案】(1)解：由題息設正弦te理得 sin

12、Asin=sin Bsin A2一,_, A C因為 sin A =0 ,所以 sin =sin b2cos- =2sin -cosB.222A C B由 A + B +C =180 ,可得 sin=cos,故22 B _ B 1_因為 cos 第0 ,故 sin =一,因此 B =60 .222(2)由題設及(1)知ZXABC的面積Szx ABCABC由正弦定理得a = * = sin（120;CL±+1sin C sin C 2tan C 2由于AABC為銳角三角形，故0 < A<90 : 0 < C<90：由（1）知 A+C =120* 所以 30 &l

13、t; C<90 :故<a< 2,從而<Sa abc< . 282因此， ABC面積的取值范圍是【考點】正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式 【考查能力】化歸與轉化，運算求解19 .【答案】解：(1)由已知得 AD/ BE , CG/ BE ,所以AD/ CG ,故AD , CG確定一個平面，從 而A,C,G, D四點共面由已知得 AB _LBE , AB _L BC ,故AB _L平面BCGE.又因為ABc平面ABC , 所以平面ABC _L平面BCGE.(2)作EH _L BC ,垂足為 H .因為EHC平面BCGE ,平面BCGE _L平面ABC，所以EH _

14、L平面 ABC.由已知，菱形BCGE的邊長為2, /EBC=601可求得BH =1, EH =J3.以H為坐標原點， HC的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系H xyz,則A(1,1,0), C(1,0,0), -fC3n =0G(2,0,近),CG =(1,0,73) , AC =(2, 1,0).設平面 ACGD 的法向量為 n = (x, y,z),則一 ，AC n =0即x + 出z =0；所以可取 n=(3,6, -73).2x -y =0【解析】(1)根據AD/CG可證明四點共面，通過證明 AB上平面BCGE即可證明面面垂直；(2)過E作BC的垂線，以垂足為原點，BC

15、所在直線為x軸建立空間直角坐標系，利用向量法求解二面角.【考點】四點共面，面面垂直的證明，二面角的求解【考查能力】推理論證，空間想象220.【答案】解：(1) f (x) =6x -2ax =2x(3x-a)a令 f (x)=0,得 乂=0或* = 一.3若 a >0,則當 xW(q,0)U 但* I時,f '(x )> 0;當 xw II- ,0 1時,f x)<0 ,故 f (x )在(,0),33月，抬單調遞增，在 七,亙|單調遞減；若a = 0, f (x)在(-嗎)單調遞減；3. 3若 a< 0,則當 xw 1(0,+oc)時，f'(x)>

16、; 0；當 xw'9,0 i時，f'(x)<0 .故 f(x)在1-oo,- I, 3 -33(0,十叼單調遞增，在l，a，0 1單調遞減.(2)滿足題設條件的a, b存在。(i)當a, 0時，由(1)知f(x)在10,1單調遞增，所以f(x)在區間0,1的最小值為f(0) = b,最大值 為f (1 ) = 2a+b.此時a, b滿足題設條件當且僅當 b = 1, 2 a + b = 1,即a = 0, b = 1.(i)當a之3時，由(1)知，f (x)在10,1 單調遞減，所以f (x)在區間0,1的最大值為f(0)=b,最小值為f(1 ) = 2a+b.。此時a,

17、 b滿足題設條件當且僅當 2a + b=1, b = 1,即a=4, b = 1.aa3(ii)當0V a< 3時，由(1)知，f (x)在10,1】的最小值為f a l=入+b,最大值為b或2 a + b.3273_若 _27+b = 1, b=1,則 a =33/2,與 0Va<3矛盾.3若一旦一+ b = -1, 2-a+6=1,則 a =3。3 或 a = -3 J3 或 a = 0 ,與 0< a<3 矛盾.27f(x )在0,1的最小值為-1,最大值為1.綜上，當且僅當 a=0, b = 1或a=4, b=1時,【考點】導數在研究三次函數單調性，最值中的應用

18、【考查能力】運算求解12/921 .【答案】解:.一 .2AJ” ),則 x1 =2Y1,x1 = 2 y1,由y =x ,所以切線nA的 >/12DA的斜率為x1故k2 = x1 .整理得 2 tx1 -2 y1 +1 =0.設 B(x2,y2),同理可得 2tx-2y+1=0.故直線AB的方程為2x 2y +1 =0 .1所以直線AB過定點.0,1 .,21(2)由(l)得直線 AB的萬程為y=tx+, 21 y =tx 22xy=7,可得 x2 -2tx -1 =02于xi+x2 =2t , x*2 = T , y + y2 =t (xi+冷)+1 = 2t +1| AB |= 1

19、 t2x1 -'X2=小 +t2 父 J(x1 十x2 )2 -4x1x2 =2(t2 +1)14 / 9設d1，d2 ,分別為點D , E到直線AB的距離，則d1 =衣+1 , d2因此，四邊形 ADBE 的面積 S=1| AB|(d1 +d2 ) = (t2+3)Jt2 +1 .設M為線段AB的中點，則M，t t2 +1 l' .,2由于EM_AB,而EM2_=仕-2),AB與向量（1, t）平行，所以t+（t22/ = 0.解得t =0或1 =±1 .當 t=0時，$=3;當1=±1 時，s = 4j2因此，四邊形 ADBE的面積是3或4J2【考點】拋物線的簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系22.【答案】解：（1）由題設可得，孤 AB,BC,CD所在圓的極坐標方程分別為P = 2cosH ,2 = 一2cos 0 ,所以Mi的極坐標方程為M 2始的極坐=2sin9 ,標方程