1、雨水排放問題摘要 本文主要通過求解目標(biāo)規(guī)劃，對(duì)雨水管道的排放能力進(jìn)行了分析和評(píng)價(jià)，并給出了北京市管網(wǎng)改造的合理化建議。針對(duì)問題一,所求系統(tǒng)最大排放能力即為在各管道未達(dá)到最大流量下的情況下，出水口的最大排放量。所以以各出水口排放量之和為目標(biāo)函數(shù)，各管流量為約束條件建立規(guī)劃，從而得到管網(wǎng)最大排水量為2.266m3 /s,所能承受的最大降水強(qiáng)度為0.775361mm/min, 再通過分析降水強(qiáng)度隨時(shí)間的變化關(guān)系，會(huì)發(fā)現(xiàn)在紅色預(yù)警時(shí)，會(huì)有80min的積水時(shí)間，因此得到管網(wǎng)不能夠抵御紅色預(yù)警，只能抵御橙色預(yù)警。通過分析降水強(qiáng)度與降水重現(xiàn)期的關(guān)系，求得管網(wǎng)可以抵御重現(xiàn)期為2年的暴雨。問題二中將管道改為D2

2、200實(shí)際該變了模型一中的管網(wǎng)的約束條件，所以將模型一中的約束條件加以調(diào)整后得到模型二。計(jì)算解的得管網(wǎng)最大排水量為31.2124m3/s，所能承受的最大降水強(qiáng)度為10.67578mm/min。結(jié)果表明，當(dāng)把全部管網(wǎng)改為D2200時(shí)，該排水管網(wǎng)能夠應(yīng)對(duì)640mm/h的降雨量。通過查閱資料，獲得北京的年均降水量和月降水量的分布規(guī)律，及北京地區(qū)的地形特點(diǎn)?？紤]到北京的氣候和地形對(duì)降水的影響，對(duì)管網(wǎng)改造提出如下建議：建造可持續(xù)排水系統(tǒng)；在郊區(qū)等降雨量大的地區(qū)采用直徑較大的管道，并增加管網(wǎng)密度和進(jìn)水口數(shù)量；增加地表滲透，利用雨水補(bǔ)充城市用水。關(guān)鍵詞：最大排放量 線性規(guī)劃 降水強(qiáng)度 管網(wǎng)改造一、問題重述2

3、012年7月21日，北京遭遇61年來最強(qiáng)降雨，導(dǎo)致多條環(huán)路及主干道積水擁堵，部分環(huán)路斷路,部分地鐵線路部分區(qū)段停運(yùn),城市交通一度混亂。一場暴雨，暴露了這個(gè)城市排水系統(tǒng)的脆弱，也引出了我們對(duì)于這個(gè)城市排水問題的思考。隨著經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，城市中建設(shè)越來越多的高樓大廈、柏油馬路、城市廣場、立交橋、停車場等等，市區(qū)內(nèi)的裸露土地越來越少，一旦下起雨來，雨水很難滲入地下。遇到大雨、暴雨，雨水來不及通過下水道流走，就形成徑流，匯積成了了積水。雖然現(xiàn)在許多現(xiàn)代化城市、包括我國新建的不少城市都有比較現(xiàn)代化的排水和下水管道系統(tǒng)，但遇到降雨量過大時(shí)，仍然會(huì)發(fā)生排水不及形成積水，同樣的情況國外許多現(xiàn)代化的都市也難以避

4、免。積水的多少與降雨的強(qiáng)度、降水歷時(shí)以及下水系統(tǒng)的設(shè)計(jì)有很大關(guān)系。問題一：試建立模型討論在暴雨警報(bào)時(shí)圖示區(qū)域管網(wǎng)整體排放能力；問題二：如若對(duì)該區(qū)域雨水管網(wǎng)進(jìn)行改造，全部管網(wǎng)改為D2200的排水能力能符合多大強(qiáng)度降雨的實(shí)際需求。（降雨歷時(shí)設(shè)為60min）；問題三：查閱相關(guān)資料和數(shù)據(jù)，試對(duì)北京市的雨水管網(wǎng)改造提出合理化建議。其中Xi表示該區(qū)域雨水的收水點(diǎn)，Yj表示城市內(nèi)河的出水點(diǎn)，Vk表示雨水管網(wǎng)的檢查口，線段表示鋪設(shè)管道，數(shù)據(jù)反映管道的長度和坡度，如D1200-0.9。（255）表示管徑為1200mm，坡度為0.0009，長度為255m。二、問題分析問題一要求我們建立模型討論排水管網(wǎng)的整體排放能

5、力?？梢韵瓤紤]通過上下級(jí)管道間水流分流、匯流的關(guān)系作為各個(gè)管道最大流量制約條件，從而將問題轉(zhuǎn)化以每個(gè)管道能排放的最大流量為容量制約條件的最大流問題。要確定管網(wǎng)所能承受的最大降雨量，可以首先通過分析雨水在各匯點(diǎn)的分流情況，找到各排水管道的體積流量的關(guān)系，然后將其轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題，建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系和約束條件，考慮使用lingo求解。最后將求解的結(jié)果換算成為每小時(shí)的降雨量，通過與暴雨等級(jí)相比較，得到排水系統(tǒng)的排放能力。最后，可以通過對(duì)結(jié)果的分析，找出模型的不足之處，重新設(shè)定整體排放能力的標(biāo)準(zhǔn)，提出新的優(yōu)化模型。問題二是在問題一的基礎(chǔ)上，將管道全部改為同一口徑，因此，應(yīng)該可以繼續(xù)采用問題一思路進(jìn)行求

6、解。因此問題二的關(guān)鍵應(yīng)該是分析管道改為D2200之后，對(duì)所求目標(biāo)函數(shù)和約束條件的影響。另外，要考慮題目所設(shè)定的降雨時(shí)間對(duì)所建模型的影響。通過對(duì)問題一和問題二的分析求解，在對(duì)影響排水系統(tǒng)排放能力的因素有了一定了解之后，可以通過查閱資料和數(shù)據(jù)，結(jié)合北京地區(qū)的實(shí)際情況，分析得到降雨規(guī)律和北京排水管網(wǎng)的現(xiàn)狀。然后與所建模型進(jìn)行比較，嘗試通過改變條件使排水管道滿足最大降雨量的要求。最后，可以根據(jù)對(duì)條件的修改，得到改造排水管道的合理化建議。三、模型假設(shè)1. 假設(shè)地表是水平的。2. 該區(qū)域是一個(gè)獨(dú)立系統(tǒng)，不受外界系統(tǒng)的影響。3. 假設(shè)區(qū)域內(nèi)雨水只能通過收水點(diǎn)進(jìn)入，出水點(diǎn)排出，出水點(diǎn)能夠順利排水。4. 城市內(nèi)

7、河的水流均不會(huì)淹沒出水點(diǎn)。5. 檢查口處由于坡度影響，水流只能沿箭頭方向流動(dòng)，而不會(huì)倒流。6. 各管道都可順利排水，不考慮堵塞。四、符號(hào)說明mj-流入各入口的體積流量 （j=1,2,3,4）Qi管道i的體積流量 （i =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ） Li-管道i允許流過的最大體積流量 （i =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ）Ya流出各出水口的體積流量 (a=1,2,3,4）S-匯流面積P3小時(shí)的排水流量A過流斷面面積I水力坡度n管壁粗糙度i降水強(qiáng)度，表示降水的密集度TE表示降水重現(xiàn)期t表示降水歷時(shí)五、模型的建立與求解為方便表述，將題目所給的圖簡化為圖二圖二5.1問題

8、一5.1.1 模型一5.1.1.1 各級(jí)管道的流量關(guān)系 首先利用匯點(diǎn)處的分流關(guān)系，求得各管道之間的體積流量關(guān)系。查閱資料 ，發(fā)現(xiàn)當(dāng)管道未滿時(shí)，管道在匯點(diǎn)處分得的體積流量按管道直徑分配。根據(jù)這一關(guān)系，通過遞推可以求得各管道的體積流量與4個(gè)入水口體積流量的關(guān)系，關(guān)系如下： 同時(shí)可以得到，出水口的體積流量與進(jìn)水口體積流量的關(guān)系如下： 根據(jù)流體力學(xué)可知 ，管道允許流過的最大流量公式：li= 其中過流斷面的面積，,單位：水力半徑，單位：m；為管道直徑，單位：m；水力坡度； 管壁粗糙率，對(duì)水泥管道，取求得各管允許的最大體積流量如表一：（m3） 表一 最大體積流量表li1234567數(shù)值0.99560.18

9、031.28380.18030.38830.04920.8868li891011121314數(shù)值0.10250.11090.08651.08610.22080.0371.1448li15161718192021數(shù)值0.54910.05680.11090.2723.37530.11840.04925.1.1.2 建立目標(biāo)函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成為求管網(wǎng)允許的最大體積流量問題。因?yàn)榍蠼獾氖枪芫W(wǎng)的整體排放能力，所以當(dāng)其中一個(gè)入水口達(dá)到最大體積流量后，只要剩余3個(gè)入水口中有任一管口沒有達(dá)到最大體積流量，那么多余的部分仍可以通過這一管口排出。因此所求最大體積流量應(yīng)該等于四個(gè)出水口的體積流量的和。這是一個(gè)線性規(guī)劃問

10、題。在流經(jīng)各管道的體積流量小于等于各自的體積的約束條件下，利用lingo軟件，能夠求得管網(wǎng)處于絕對(duì)安全工作狀態(tài)的條件下的最大排水能力。所建目標(biāo)函數(shù)如下：Max=Y1+Y2+Y3+Y Qi<=li l1=l2+l3l2=l4+l5l3=l6+l7l9=l4+l8s.t. l10=l5+l6l7=l11+l12l13=l15+l16l19=l14+l15l9+l10=l17+l18l16+l17 =l20+l21利用lingo進(jìn)行求解，解得 Max=1.530904m3 /s根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)，求得區(qū)域面積 S=280 630+（75+255）30/2-150 40解得 S=175350m23

11、小時(shí)的排水流量滿足 P=3 3600Max/S解得 P=94.29mm 結(jié)果分析：管網(wǎng)能夠應(yīng)對(duì)3小時(shí)94.29mm降雨量的暴雨。 但是，根據(jù)約束條件，能夠通過分析，得到到在此暴雨強(qiáng)度下，管網(wǎng)排水時(shí)，只有其中直徑最小的管道可能被充滿。所以，此時(shí)的管網(wǎng)并沒有處于滿負(fù)荷工作狀態(tài)，直徑大的管道仍然具有繼續(xù)增大排水流量的能力。而所求的最大排水能力，應(yīng)該是指管網(wǎng)在滿負(fù)荷工作狀態(tài)下的排水流量。因此，需要對(duì)模型一進(jìn)行優(yōu)化。 模型二模型建立當(dāng)管網(wǎng)處于絕對(duì)安全工作狀態(tài)時(shí)，如果繼續(xù)增大入水口的流量，那么在管道體積流量達(dá)到最大的匯點(diǎn)處，體積流量的分流關(guān)系將不再滿足與直徑成正比，而新增加的體積流量將全部流入仍未達(dá)到最大

12、值的管道。因此，需要對(duì)模型一的約束條件進(jìn)行修改。當(dāng)管網(wǎng)處于滿負(fù)荷工作狀態(tài)時(shí)，幾乎所有管道都會(huì)達(dá)到體積流量的最大值，因此，只需要滿足下一級(jí)管道體積流量的和等于上一級(jí)流入的體積流量，同時(shí)流經(jīng)各管道的體積流量不能大于自身體積即可。此時(shí)，出水口的體積流量變?yōu)椋篩1= Q19+ Q20Y2= Q12Y3= Q21Y4= Q11+Q18在這個(gè)條件下，建立新的目標(biāo)函數(shù)：Max= Y1 +Y2 +Y3 +Y4 Qi<=li l1=l2+l3l2=l4+l5l3=l6+l7l9=l4+l8s.t. l10=l5+l6l7=l11+l12l13=l15+l16l19=l14+l15l9+l10=l17+l1

13、8 l16+l17 =l20+l21利用lingo求解得Max=2.266000m3 /s此時(shí)解得三小時(shí)的排水量為 P=139.565mm5.1.2.2 結(jié)果分析 通過數(shù)據(jù)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，與模型一求得的P=94.29mm相比，模型二的P值更大。也就是說，應(yīng)用模型二求解，求得管網(wǎng)能夠應(yīng)對(duì)更大降水量的暴雨。此結(jié)果說明在分流處，水流在分流管道之間的調(diào)配能大大提高系統(tǒng)的排水能力。3 暴雨等級(jí)與降雨量的關(guān)系登陸中國氣象局網(wǎng)站5，得到暴雨等級(jí)與降雨量有以下關(guān)系：暴雨預(yù)警信號(hào)分四級(jí)，分別以藍(lán)色、黃色、橙色、紅色表示。（一）暴雨藍(lán)色預(yù)警信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)：12小時(shí)內(nèi)降雨量將達(dá)50毫米以上，或者已達(dá)50毫米以上且降雨可能持續(xù)。

14、（二）暴雨黃色預(yù)警信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)：6小時(shí)內(nèi)降雨量將達(dá)50毫米以上，或者已達(dá)50毫米以上且降雨可能持續(xù)。（三）暴雨橙色預(yù)警信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)：3小時(shí)內(nèi)降雨量將達(dá)50毫米以上，或者已達(dá)50毫米以上且降雨可能持續(xù)。（四）暴雨紅色預(yù)警信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)：3小時(shí)內(nèi)降雨量將達(dá)100毫米以上，或者已達(dá)100毫米以上且降雨可能持續(xù)。為為了簡化模型，在次假設(shè)暴雨均勻持續(xù)進(jìn)行，因此降雨量與暴雨預(yù)警信號(hào)級(jí)別的關(guān)系如表2：表2 降雨量與暴雨預(yù)警信號(hào)級(jí)別的關(guān)系暴雨級(jí)別藍(lán)色暴雨預(yù)警n=1黃色暴雨預(yù)警n=2橙色暴雨預(yù)警n=3紅色暴雨預(yù)警n=4降雨量（）4.1678.33316.66733.33所以，如果僅僅比較3小時(shí)的降雨量的話，會(huì)發(fā)現(xiàn)該排水管道能

15、夠應(yīng)對(duì)紅色預(yù)警。但是，考慮到降雨是一個(gè)不均勻的過程，流進(jìn)入水口的流量不是恒定不變的，而且排水系統(tǒng)排水需要一定的時(shí)間。因此，需要對(duì)降雨過程以及路面積水的限定標(biāo)準(zhǔn)作進(jìn)一步分析后，才能準(zhǔn)確確定管網(wǎng)能夠應(yīng)對(duì)的暴雨級(jí)別。根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，降雨過程是一個(gè)先增大，后減小的過程。因此，可以用正態(tài)分布近似模擬降雨過程。當(dāng)暴雨強(qiáng)度達(dá)到紅色警報(bào)時(shí)，利用matlab求得降水強(qiáng)度（每分鐘降水量）隨時(shí)間的變化關(guān)系如下圖：由模型二求得降水強(qiáng)度i滿足：i= =0.775361mm/min 由上圖可以看出，當(dāng)降水時(shí)間大約達(dá)到一小時(shí)之后，降水強(qiáng)度開始超出排水管網(wǎng)的最大排水能力，此時(shí)路面開始積水，當(dāng)降水時(shí)間大約達(dá)到兩小時(shí)時(shí)，降水強(qiáng)度開

16、始小于排水管網(wǎng)的最大排水能力，路面積水開始消退。因此存在80分鐘的積水期，所以該管網(wǎng)尚不能完全應(yīng)對(duì)紅色預(yù)警，可以應(yīng)對(duì)橙色預(yù)警。通過查閱資料，我們找到了一個(gè)降雨強(qiáng)度與降水重現(xiàn)期的關(guān)系式。所謂降雨重現(xiàn)期，是指某一強(qiáng)度的降雨重復(fù)出現(xiàn)的平均周期，如10年重現(xiàn)期即為平均10年出現(xiàn)一次不小于該強(qiáng)度的降雨。關(guān)系式如下： 其中TE表示降水重現(xiàn)期，t表示降水歷時(shí)。根據(jù)題目已知條件，t為60min，由此可以建立i與TE的函數(shù)關(guān)系如下圖： 根據(jù)降水強(qiáng)度與降水重現(xiàn)期的關(guān)系，可得，當(dāng)i=0.775361時(shí)，對(duì)應(yīng)的降水重現(xiàn)期為2年。所以該管網(wǎng)能夠抵御重現(xiàn)期為2年的暴雨。5.2問題二（模型三）模型建立問題二是求解當(dāng)所有管道

17、改換為D2200時(shí)，管網(wǎng)的整體排水能力。參照模型二，求解管網(wǎng)在滿負(fù)荷工作狀態(tài)下所能排放的流量。仍舊是一個(gè)單目標(biāo)規(guī)劃問題，可以利用lingo進(jìn)行求解。目標(biāo)函數(shù)是4個(gè)入水口體積流量的和，約束條件為下一級(jí)管道體積流量的和等于上一級(jí)流入的體積流量，同時(shí)流經(jīng)各管道的體積流量不能大于自身體積。求得各管允許的最大體積流量如表二：（m3） 表二 最大體積流量表li1234567數(shù)值8.15145.76398.15145.76395.76399.98334.4647li891011121314數(shù)值7.05935.76938.15145.46817.059312.22715.7639li1516171819202

18、1數(shù)值8.151411.52785.76395.76935.76398.15149.98334個(gè)出水口的體積流量滿足：Y1= Q19+ Q20Y2= Q12Y3= Q21Y4= Q11+Q18建立目標(biāo)函數(shù)如下：Max= Y1 +Y2 +Y3 +Y4 Qi<=li l1=l2+l3l2=l4+l5l3=l6+l7 l9=l4+l8 s.t. l10=l5+l6l7=l11+l12 l13=l15+l16 l19=l14+l15 l9+l10=l17+l18 l16+l17 =l20+l21利用lingo求解，得Max=31.21240m3 /s求得 P=1921.6mm 因?yàn)橄薅〞r(shí)間為60

19、min,所以 P/3=640.547mm結(jié)果分析 結(jié)果表明，當(dāng)把全部管網(wǎng)改為D2200時(shí)，該排水管網(wǎng)能夠應(yīng)對(duì)640mm/h的降雨量。與模型二比較，容易發(fā)現(xiàn)在將管網(wǎng)的管道直徑增大之后，應(yīng)對(duì)降雨的能力大大提高。這是由于不僅每根管道自身的最大體積流量增大，而且，通過管網(wǎng)內(nèi)部的分流，使得能夠排出的流量大大增加。因此，在降雨量偏大地區(qū)的排水管網(wǎng)的建設(shè)中，應(yīng)該使用口徑較大的排水管道，以提高排水管網(wǎng)的整體排放能力。5.3問題三查閱資料，得到北京地區(qū)年降水量的分布表如下：北京市歷年降雨量(降水（mm）)年份2009200720062005200420032002200120001999降雨量480.6483.

20、9318410.7483.5444.5370.4338.9371.1266.9年份1998199719961995199419931992199119901989降雨量731.7430.9700.9572.5813.2506.7541.5747.9697.3442.2年份1988198719861985198419831982198119801979降雨量673.3683.9665.3721488.8489.9544.4393.2380.7718.4年份1978197719761975197419731972197119701969降雨量664.87796843928474.7698.2374

21、.2511.2597913.2年份1968196719661965196419631962196119601959降雨量386.7593.4527.9261.8817.77756366.9599.8527.11406年份1958195719561955195419531952195119501949降雨量691.9486.8115.7933.2961.4657.7557.3481.6910.9921（1）北京市屬于亞洲暖溫帶季風(fēng)性氣候，降水特征顯著。根據(jù)歷年降水資料（1）北京市屬于亞洲暖溫帶季風(fēng)性氣候，降水特征顯著。根據(jù)歷年降水資料，北京地區(qū)的主汛期為“七下八上”，也就是七月下旬至八月上旬，兩

22、個(gè)月的平均降雨量在243毫米左右，最大月平均降水量為415毫米。降水季節(jié)分配很不均勻，全年降水的80%集中在夏季6、7、8三個(gè)月，7、8月有大雨。同時(shí)北京降水由于氣候、地形、城市熱島效應(yīng)具有降水快、急，降水區(qū)域集中等特點(diǎn)。所以在進(jìn)行排水系統(tǒng)改造時(shí)，應(yīng)選用直徑較大的排水管道，防止在降雨集中的月份中，無法應(yīng)對(duì)大的暴雨。（2）北京的西、北和東北，群山環(huán)繞，東南是緩緩向渤海傾斜的平原。北京平原的海拔高度在2060米，山地一般海拔10001500米，與河北交界的東靈山海拔2303米，為北京市最高峰。境內(nèi)貫穿五大河，主要是東部的潮白河、北運(yùn)河，西部的永定河和拒馬河。北京的地勢(shì)是西北高、東南低。西部是太行山

23、余脈的西山，北部是燕山山脈的軍都山，兩山在南口關(guān)溝相交，形成一個(gè)向東南展開的半圓形大山彎，人們稱之為“北京彎”，它所圍繞的小平原即為北京小平原。因此北京地域受地形影響，暖濕氣流容易形成抬升運(yùn)動(dòng)，而抬升過程中一遇到冷空氣就容易發(fā)展成強(qiáng)降雨云團(tuán)。同時(shí)由過區(qū)域河流較多，空氣濕度大，易在迎風(fēng)坡形成強(qiáng)對(duì)流降水。所以在迎風(fēng)坡上地區(qū)，如，鋪設(shè)更多收水點(diǎn)，增加管道密度與管徑。（3）北京分為城區(qū)、郊區(qū)、南部山區(qū)及北部山區(qū)4個(gè)區(qū)域。郊區(qū)降水量最多(620 mm),城區(qū)與南部山區(qū)降水量較少,而北部山區(qū)降水量最少(476 mm);城區(qū)與南部山區(qū)的年降水量較接近,二者與郊區(qū)和北部山區(qū)都有顯著差異。所以排水管網(wǎng)改造中，應(yīng)該考慮在郊區(qū)使用相對(duì)直徑更大的管道，增大排水管網(wǎng)的密度，同時(shí)應(yīng)該根據(jù)地形，適量增加進(jìn)水口與出水口數(shù)量。(4)查閱資料后發(fā)現(xiàn)，北京人均水資源占有量不足400m3。這嚴(yán)重制約著首都經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。北京多年平均降水量626mm,地表水多年平均徑流量26億m3/a,地下水多年平均補(bǔ)給量39.51億m3/a,地下水平均年可供水量26.33億m3。因此，在雨水管網(wǎng)的改造過程中，可