1、 零件參數設計的數學模型指導老師 數學建模教練組 李俊（熱9501） 羅建梅（熱9502） 王震宇（供9502）摘 要：本文基于Y偏離Y0 造成的損失和零件成本，根據原設計給定的標定值和容差，使用網格法和隨機搜索法,利用計算機編程計算產品分別為正品、次品、廢品時的概率，進而分析產品是正品、次品、廢品的概率的穩定性，得到較為精確且合理的結果，最后求出原設計的總費用（損失費+成本費）為313.4萬元。 本文通過分析參數x1,x2,x7對y的影響，在原設計的標定值附近找出一個使y在其附近的變化比較穩定的點，并使y=1.5，再利用計算機仿真實驗，綜合判斷容差等級方案，確定出比較理想的標定值和容差等級方

2、案：最后確定的方案比原設定節約費用271.2425萬元。 一、問題的重述 一件產品由若干零件組裝而成，標志產品性能的某個參數取決于這些零件的參數。零件參數包括標定值和容差兩部分。進行批量生產時，標定值表示一批零件該參數的平均值，容差則給出了參數偏離其標定值的容許范圍。若將零件參數視為隨機變量，則標定值代表期望值，在生產部門無特殊要求時，容差通常規定為均方差的3倍。 在進行零件參數設計時，由于零件組裝產品的參數偏離預先設定的目標值，所以造成質量損失，偏離越大，損失越大；且零件的容差大小決定了其制造成本，容差設計的越小，成本越高。 有一種離子分離器某參數（記作Y)由7個零件的參數(記作X1 ,X2

3、 , X7)決定，經驗公式為： Y=174.42Y的目標值(記作Y0)為1.50。若Y偏離Y00.1時，產品為次品，質量損失1000(元)；若Y偏離Y00.3時，產品為廢品，損失9000(元)。 零件參數的標定值有一定的容許變化范圍；容差分為A、B、C三個等級，用與標定值的相對值來表示 ，A等為1%，B等為5%，C等為10%。7個零件參數標定值的容許范圍及不同容差等級零件的成本(元)如下表(符號 / 表示無此等級零件):標定值容許范圍 C等 B等 A等 X10.075,0.125 / 25 / X20.225,0.375 20 50 / X30.075,0.125 20 50 200 X40.

4、075,0.125 50 100 500 X51.125,1.875 50 / / X612,20 10 25 100 X70.5625,0.935 / 25 100現進行成批生產,每批產量1000個。在原設計中，7個零件參數的標定值為：X1=0.1，X2=0.3，X3=0.1，X4=0.1，X5=1.5，X6=16，X7=0.75；容差均取最便宜的等級。 綜合考慮Y偏離Y0造成的損失和零件成本，重新設計零件參數(包括標定值和容差)，并與原設計的總費用相比較。 二、模型假設及符號約定模型假設 1零件的總損失取決于各種類型的零件出現的概率； 2零件的參數符合正態分布； 3符合要求的零件只考慮自身

5、成本，而不再考慮其它因素的影響。符號約定M 表示成批生產時每批產量的個數，此題為1000個；a 表示產品為次品時的質量損失為1000元； b 表示產品為廢品時的質量損失為9000元； 表示第i個零件參數對應的均方差； 表示一批零件第i個零件參數的平均值，即期望值； 表示第i個零件（變量）的新值；Ri 表示變量Xi對的搜索區域；Kd 表示區域縮減系數，其值正數；r 表示0，1之間服從均勻分布的偽隨機數；k 表示隨機概率的分布系數，是個正奇數；z y偏離的絕對值；P y偏離造成的損失；P 表示零件的成本；Q y偏離造成的損失和零件成本 三、問題的分析 由于標志產品性能的參數是由零件的參數所決定的。

6、而零件的參數包括標定值和容差兩部分。如果將零件參數視為隨機變量，則標定值代表期望值。那么，根據原理，在其中的概率為：0.9974。顯然，在此之外的概率為：0.0026。相比之下，在其之外的可以忽略不計。故此，在生產部門無特殊要求時，容差規定為均方差的3倍是合理的。由題意，我們還可以得到：容差與標定值的相對值可以判斷容差的等級（進而可以確定零件的成本），即： A等： B等：0.1<0.3 C等：進行零件參數設計，就是要確定其標定值和容差。此時要考慮到產品的損失和零件成本，而產品的損失和零件的成本都是由零件參數決定。所以，我們就先從產品的零件參數著手，逐步求優。 零件參數x1,x2,x7對y

7、的影響由經驗公式： 來確定，因的目標值（記作）為1.50。且已知：當偏離時，產品為次品，質量損失為1,000（元）；當偏離時，產品為廢品，損失為9,000（元）。可見，選定的標定值x1,x2,x7使得y的值接近1.5，且在（x1,x2,x7）附近y的取值穩定在1.5附近。所以，我們所設計零件參數，就要盡可能使產品為正品的數量多，次品的數量少、盡量使廢品不出現，從而使得總費用（損失費+成本費）最小。 四、模型的建立 在原設計中，組成離子分離器的七個零件參數的標定值已知為： X1=0.1，X2=0.3，X3=0.1，X4=0.1，X5=1.5，X6=16，X7=0.75 將以上標定值代入公式： 得

8、出： 顯然： 大于0.1且小于0.3由y的取值符合正態分布，可以看出在該標定值下，產品出現“次品”和“廢品”的概率較大。 由于零件的容差均取最便宜的等級，故此，可得出七個零件參數可能的取值范圍如下表： X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7取值范圍0.095,0.1050.27,0.330.09,0.110.09,0.111.35,1.6514.4,17.60.7125,0.7875 為了計算造成的損失和零件成本。我們給出了兩個模型。模型一 首先考慮造成的損失，由于給出的零件參數都有一定的容差，所以零件成本即可確定。進一步，由零件的參數決定的產品參數也在一定的范圍之內。而要確定損失，首要問題

9、就是要確定生產一批產品中正品、次品、廢品出現的數量。在此之前，我們先對一批產品中正品、次品、廢品的概率做一計算；根據已知條件我們建立了以下的模型： 其中為參數Xi標定值容許范圍，為容差等級。模型二 利用隨機搜索法，由于零件的參數是隨機的（參數）且符合正態分布，所以，我們構造出另一模型： 其中為隨機概率的分布系數，是個正奇數，以保證值可正可負，其值通常取1，3，5，7等，其中K的值越大，則所構成的函數就越窄，反之越緩。但是在K大于7時在多數情況下，對搜索不很有利，降低了收斂速度。所以，我們在對取值時應盡量避開大于7的數。由正態分布的特點可知：當=1時，顯然是不可取的。但是，的取值有規律，即x的取

10、值范圍（也就是零件的容差）越小，就越大，反之越小。 五、模型求解及結果分析模型一 我們利用網格法（亦稱枚舉法）求解，把劃定的區域分成若干個“網格點”，然后就各個網格所在的產品規格做一分析，得出正品、次品、廢品的概率，從而得出總的費用。于是得出求解方程 所以 從上式可以看出，求解需進行七次積分，如不利用計算機進行計算，顯然很難得出結果，此時我們就編程利用計算機求解。 在此，我們利用數學軟件編程（源程序及求解過程見附錄1）求解得： P=293.4（萬元） 由于零件的等級均取最便宜的，所以，零件的成本為： P=20（萬元）總的代價為： P總=P+P=293.4+20=313.4（萬元） 在此，我們為

11、了使模型具有可靠性，還利用了數學軟件在零件參數范圍之內隨機取值得出結果。當隨機循環比較小時，P總的變化比較大，即P總的值不穩定，而當隨機循環次數比較大時，P總的值趨向一穩定值。我們把隨機循環的次數為20萬次與50萬次的做一統計： 20萬次時，P總=313.4（萬元）； 50萬次時，P總=314（萬元）。由于在產品中只要出現一個廢品，其費用就要增加9000元，而上面得出的結果只相差6000元。所以，可以驗證以上得出的結果具有穩定性。模型二 我們把模型二結合已知的數據，對模型 中的參數做一分析：把記作零件參數的標定值，零件的容差決定了的取值范圍。由于正是用來確定的取值。而是(-1,1)之間的值。所

12、以，我們把記為。 我們編程（程序參見附錄二：程序）利用計算機求得P正 、P次 、P廢的概率分別為0.09、0.695、0.215，求得在原設計中y 偏離y0造成的損失和零件成本共283000元。在編程進行的隨機搜索法中，我們發現和d的選擇對算法效率有顯著的影響。當靠近最優點時，增大和減小d的值，可使P廢的概率增大，經過一定次數的迭代，取d=1,K=3.這樣我們的模型具有一定的穩定性和合理性。 由于我們所建模型時偽隨機數r的個數不同，導致在不同次數的計算中，r的值不能一一對應相等。r的個數越多，在我們所編程序中運行次數越多，即步長越小，搜索越細，相對來說計算結果就越精確，所以由于計算時間的限制我

13、們的計算結果免不了會有誤差存在。 從以上兩個模型結果可以看出，計算結果相差無幾，這也許是由于隨機誤差的原因，因為只要在產品中增加一個廢品，那么總費用將增加9000元，而兩模型的結果相差不到兩萬元，故此，這點誤差是可以容忍的。 由于在模型二中，一些參數帶有主觀色彩，使得計算結果就不能確定其完全可靠，但經過模型一及計算機隨機發生器產生的結果檢驗。而且，當我們計算的循環次數越多，其結果越穩定。故此，模型二還是有一定的可信度。 對于模型一，雖然比較嚴密，但是計算量特別大，我們設計的程序運行將近兩個小時，而模型二只需10分鐘就可以得出結果。 至于利用數學軟件隨機發生器計算結果，只是對模型進行驗證的一種方

14、法。 六、重新設計零件參數由給定的值計算的結果： 總費用的期望值313.4萬元。 可以看出，給定零件參數的標定值，其組成產品某參數在正品的范圍之外，且總費用之大，簡直不符合實際。對此，我們需重新設計零件參數，使得總費用的期望值降低。所以，我們需對原零件的參數做逐步微調。首先，我們應分析各零件的敏感度（零件參數對產品參數的影響程度）。先把確定情況下產品參數對零件參數的偏導做一計算。顯然，偏導越大，其敏感度就越大。也就是首先應調整的參數。 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7一階偏導24.5896-5.9910614.6675-4.02809-1.15039-0.053925-1.15039

15、如果對每一個符合條件的值都給予計算，其計算量之大是不可估量的，也是不可能的。故此，我們利用逐步規劃，然后上機運行得出標定值比較好的結果為： 即新設計的標定值： x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 0.1 0.3 0.0988 0.1 1.72266 1.6 0.75 當標定值一定的情況下，零件的等級組合有108種，下面我們就將一些組合列出，并計算其總費用值。為了使正品的概率增大來減小質量損失，從而使總的損失減小。首先我們取零件等級較高的情況，得出結果如下表： x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 等級 B B A B C C B 0.0050.0150.0009880.0050.17

16、22661.60.0375 P正=0.824317 P次=0.164209 P廢=0.0000651423 E(費用) =1000×(25+50+200+100+50+10+25+1000×0.164209+9000×0.0000651423) =624795.278 從上面計算的結果可以看出，總的費用比給出的情況下減小了很多，我們為了進一步減小損失，把零件的容差調大，再計算其總費用如下表： x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 等級 B B B B C C B 0.0050.0150.04940.0050.1722661.60.0375 P正=0.80829

17、9 P次=0.180162 P廢=0.000130192 E(費用)=1000×(25+50+50+100+50+10+25+1000×0.180162+9000×0.000130192） =491334 上面計算結果表明：零件的等級降低后，其總費用顯著減小，故此，我們再次把零件容差調大，再觀察其總費用： x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 等級 B B B C C C B 0.0050.0150.04940.010.1722661.60.0375 P正=0.813755 P次=0.186095 P廢=0.000150114 E(費用)=1000×

18、(25+50+50+50+50+10+25+1000×0.186095+9000×0.000150114) =447446 此時，我們發現費用仍在減小，為了找到總損失最小的情況，繼續調大零件容差，計算結果如下： x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 等級 B C B C C C B 0.0050.030.04940.010.1722661.60.0375 此時，計算得到的總費用近似為49萬元。很明顯，這時的總費用已經增加了，所以，在此之后的情況下，得出的總費用越來越高，故此，其調整方案也就越算越差，在此，我們就不一一列出。且對模型沒有幫助。 為了進一步尋求較優情況，我們

19、再對上面的情況下，作進一步修改，由于x3的偏導較大（即敏感度比較大），使它的容差減小，再計算其總費用值。 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 等級 B B B C C B B 0.0050.0150.04940.010.1722660.80.0375 P次=0.169104 P廢=0.0000675851 P正=0.830828 E(費用)=1000×(25+50+50+50+50+25+25+1000×0.169104+9000×0.000067585) =444713 很顯然，以上計算即為上面求得的標定值下的最優情況。為了繼續降低總費用，我們提出另一種計

20、算零件標定值的方法。即：使各零件參數在標定值處偏導盡量小，且使偏導之和盡量小。再次計算得出的標定值如下： x1 x2 x3 x4 x5 x6 x70.0812460.3746150.1232920.1250001.25043512.001930.935 利用上次標定值情況下零件的最優組合，求出此標定值下的最小費用，其計算如下： x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 等級 B B B C C B B 0.00406230.018730750.00616460.0125000.12504350.60009650.04675 P次=0.146382 P廢=0.0000214919 P正=0.85

21、3596 E(費用)=(25+50+50+50+50+25+25+1000×0.146382+9000×0.0000214919) =421575（元） 經過上述一系列的計算，我們得出了一個比較滿意的結果，把總費用降低到421575元，比原設計的總費用降低了313.4-42.1575=271.2425（萬元） 七、模型推廣 對于任何一位設計工程師來說，總是愿意找出一個最優的設計方案，使所設計的工程設施 或產品具有最好的使用性能和最底的材料消耗與制造成本。而本模型的建立也正是為解決這種問題，所以說本模型具有廣泛的普遍性和適用性以及較高的推廣價值。就本題來說：粒子分離器某參數由

22、7個零件的參數決定，但在現實生活中其影響參數的因素是不定的，然而無論影響參數的因子有多少，我們都通過模型給出了一個比較滿意的方案。而且在現實的工廠生產中，影響整品的因素N會非常的多，這樣如何利用比較合理的方法解決這樣的問題就顯得尤為重要，這也正是本模型的意義所在。也就是說只要改變其中的部分系數本模型就可以適用機械化工業部門的生產。 另外，這種隨機搜索法沒有固定的移動模式，而是在可行域內，適應目標函數的下降性質，向最優點作隨機移動并靠近它。 八、模型評價 在本模型中我們首先用網格法，由于所取每個變量有不止一個離散點，借用計算機編程進行計算，若計算次數較少，則在很短的時間內就可運行完畢。但無法滿足

23、擬合的精度要求若計算次數較大，也就是說將其進行較細的細化，例如1010，據估計需要將近300小時，那么我們這三天時間是遠遠不夠的。所以這種計算方案是不太合理的。而隨機搜索法恰恰避免了網格法的運行時間長的缺點，并且它的合理性較大，總費用也較少。然而它有個缺點是K值較難精確確定，在模型里，我們是用試算法確定的，相對來說也有一定的誤差，但誤差較小，在這里可忽略不記。 九、模型改進 對于第一個模型，我們是非常易于理解的，它本質就是要計算滿足要求的點落在正品、次品和廢品的概率，從而確定費用的最小值。但是這種思想實現卻非常的麻煩，因為對于題目所給定的數據，我們要解決的是一個七維的函數，我們首先要將其細化，

24、將其分成空間的個小的立方體，近似的依它中點落在的某個區間的概率來確定出現正品、次品和廢品的概率，計算過程中我們要計算的是一個七重的積分，即使利用計算機編程也要花費大量的時間和精力。而對于模型二，卻可以完全避免這種情況，因為我們構造的偽隨機函數是非常簡單的，即使通過改變步長，也不會帶來太大的計算麻煩，雖然這個函數是我們隨機構造的偽的隨機函數，但通過我們的計算，發現它的計算結果完全呈正態分布，而且通過計算所得的結果與用原始方法計算的結果也大致相同，同時還可以比較合理的檢驗某一組解的合理性。這充分說明這種算法是非常合理的，但是由于它中間伴隨有人為的模糊控制的因素，使它不可能十分的精確，所以我們認為可

25、以通過第一個模型來確定解的大致位置以盡可能的縮小解的范圍，再用第一個模型解出一個比較精確的解，并代回第二個模型檢驗。這樣可以達到減化計算的目的。 十、模型優缺點 模型二隨機搜索法便于實現程序和實際使用，在較大的范圍內模擬隨機進行，結構簡單，但精確性不高。模型一網格法通俗易懂，而且精確度高，但由于費時費工所以推廣價值不大。 參考文獻 1、北京鋼鐵學院 機械優化設計方法 冶金工業出版社。 2、中國數學會主辦 數學的實踐與認識。 3、.周概容 概率論與數理統計 高等教育出版社。 4、劉惟信 孟嗣宗 機械最優化設計 清化大學出版社 附錄一.概率的計算程序清單輸入參數說明: dui-xi的標定值; df

26、i-xi對應的均方差; ni -區間的分割數; (i=1,2,.,7)源程序:s7du1_,df1_,n1_,du2_,df2_,n2_,du3_,df3_,n3_,du4_,df4_,n4_, du5_,df5_,n5_,du6_,df6_,n6_,du7_,df7_,n7_:=Module sc=0.0,xx1,s1=6.0*df1/n1,xx2,s2=6.0*df2/n2,xx3,s3=6.0*df3/n3, sf=0.0,xx4,s4=6.0*df4/n4,xx5,s5=6.0*df5/n5,xx6,s6=6.0*df6/n6, sz=0.0,i1=0,i2=0,i3=0,xx7,s7

27、=6.0*df7/n7,ddf,xc2,xc3,xc4,xc5, xc6,xc7,fyd, ddf=(df1*df2*df3*df4*df5*df6*df7); fyx1_,x2_,x3_,x4_,x5_,x6_,x7_:= 174.42*(x1/x5)*(x3/(x2-x1)0.85*Sqrt (1-2.62(1-0.36(x4/x2)(-0.56)1.5* (x4/x2)1.16)/(x6*x7); fsx1_,x2_,x3_,x4_,x5_,x6_,x7_:= 0.0016083*s1*s2*s3*s4*s5*s6*s7*Exp(-0.5)*( (x1-du1)/df1)2+(x2-du

28、2)/df2)2+(x3-du3)/df3)2+ (x4-du4)/df4)2+(x5-du5)/df5)2+(x6-du6)/df6)2+ (x7-du7)/df7)2)/df; xx1=du1-3*df1+s1/2; xc2=du2-3*df2+s2/2; xc3=du3-3*df3+s3/2; xc4=du4-3*df4+s4/2; xc5=du5-3*df5+s5/2; xc6=du6-3*df6+s6/2; xc7=du7-3*df7+s7/2; WhileAbsxx1-du1<3*df1, xx2=xc2; WhileAbsxx2-du2<3*df2, xx3=xc3;

29、 WhileAbsxx3-du3<3*df3, xx4=xc4; WhileAbsxx4-du4<3*df4, xx5=xc5; WhileAbsxx5-du5<3*df5, xx6=xc6; WhileAbsxx6-du6<3*df6, xx7=xc7; WhileAbsxx7-du7<3*df7, fyd=Absfyxx1,xx2,xx3,xx4, xx5,xx6,xx7-1.5; If0.1<fyd<0.3, sc=sc+fsxx1,xx2,xx3,xx4, xx5,xx6,xx7; Iffyd>=0.3, sf=sf+fsxx1,xx2,

30、xx3,xx4, xx5,xx6,xx7; Iffyd<=0.1, sz=sz+fsxx1,xx2,xx3,xx4, xx5,xx6,xx7; xx7=xx7+s7; xx6=xx6+s6; ; xx5=xx5+s5; ; xx4=xx4+s4; ; xx3=xx3+s3; i3=i3+1; Printi1," ",i2," ",i3 ; xx2=xx2+s2; i2=i2+1; xx1=xx1+s1; i1=i1+1; ; Print"Sc= ",sc," ","Sf= ",sf," Sz= ",sz 運行結果:Mathematica 2.0 for MS-DOS 386/7Copyright 1988-91 Wolfram Research, Inc.In1:= <<s7.mIn2:= s70.1,0.05*0.1/3,5,0.3,0.05*0.3/3,5,0.0998,0.01*0.0998/3,5, 0.1,0.05*0.1/3,5,1.72266,0.1*1.72266/3,5,16,0.1*16/3,20, 0.75,0.05*0.75/3,50 0 10 0