1、關于貸款的問題的研究摘要現代社會，面對天價的購房金額，多數人選擇向銀行貸款達到購房目的。在此過程中，必然涉及到還款方式的選擇、貸款利息與每月還款額的確定等問題。一般而言，在不同還款方式下若已知貸款總額、月利率、總貸款時間、每月還款額這四個變量中的任意三個，能否求出另一個呢？本文通過數學歸納法、遞歸算法等歸納出了省建行的等額本息還款法、市建行的等本等額等息還款法以及央行的利隨本清的等本不等息還款法（即等額本金還款法）的公式。(貸款總額為A，銀行月利率為，總期數為m,月還款額設為X，k為第k次還款)等額本息還款法：X1=A(1+)m(1+)m-1等本等額等息還款法：X2=Am+m+12mA利隨本清

2、的等本不等息還款法：Xk=Am+A(1-k-1m)本文在建立還款模型的基礎上，利用數學軟件MATLAB R2013b（8.2）對計算結果進行演示、曲線分析，然后根據所得出的結果和曲線比較三種還款方式的不同以及利弊。能夠為有貸款需求的人提供指導，簡明易于理解。關鍵詞：貸款 數學歸納法 本金 利息 利率一、 問題重述隨著經濟的發展，人們生活水平的提高，對消費的需求也逐漸上升，消費心理也不再像過去那樣保守，越來越多的人開始貸款來滿足自己的消費需求，比如貸款買房、貸款買車、貸款創業等。但是提到貸款就自然會想到還貸問題。現在有很多種還貸方式，人們自然關心每種還貸方式的計算方法，很多人并不清楚不同還款方式

3、下的每月還款額、貸款利息如何計算？如果假設采用等額還貸，已知貸款總額、月利率、總貸款時間，如何計算每月還款額？更一般地，若已知貸款總額、月利率、總貸款時間，每月還款額這四個變量中的任意三個，能否求出另外一個？同樣的等額還款，還本還息方式不同的計算結果又一樣嗎？二、 問題分析在人們通過貸款進行經濟活動的同時又不得不關心貸款的利息以及每月還款額的問題。問題一：每月等額本息還款法我們已知貸款金額、貸款利率以及貸款時間來計算月還款額，等額本息還款法，每月以相等的額度平均償還貸款的本息，直至期滿還清，計算公式如下：每月等額還本付息額=貸款本金×月利率×1+月利率還款期數1+月利率還款

4、期數-1每個月還的本金在逐漸增多，每個月還的利息在逐漸減少，但每月還款額相同。問題二：利隨本清等本不等息還款法這種還款法也叫等額本金還款法，即每月償還貸款本金相同，而利息隨本金的減少而逐月遞減至期滿還清為止，計算公式如下：月還款額=本金÷貸款期限月+本金-已還本金×月利率前期還款壓力較大，但隨著時間的推移壓力會逐漸減小，前期還款本金較多，利息較少。問題三：等本、等息、等額還款法我們已知總貸款額、總貸款時間、和一定的月利率，需要求解每月還款額。這種還款法為不讓貸款者首期還款時面對巨額利息為難, 該行取了一個利息平均值, 平攤到每個月中。三、 符號變量說明A 為貸款總額；B 為

5、貸款總利息； 為銀行月利率；m 為貸款期數；k 為期數的序號，即代表第幾期；Bk 是第k個月的利息；X1 為等額本息還款法中每月的還款額；X2 為等本等額等息還款法中的每月還款額；用于在“3.模型求解”中的計算每月還款額；xk 表示第k個月的還款額；Y1 ， Y2 ，Y3 Yk Ym 代表推算過程中第1、2、3 k m 期結束時的仍然欠銀行的金額；1 是公積金貸款的月利率；2 是商業性貸款的月利率；Z1 是公積金貸款的每月還款額；Z2 是商業性貸款的每月還款額；四、 模型假設1. 在償還貸款期間銀行利率保持不變；2. 假定每月天數一致，即在建立求解模型過程中不考慮天數差異對于每月利息的影響；3

6、. 在還款期間，貸款人按時足額償還每月所需還款額；4. 其他外部條件保持不變。五、 模型建立與求解分析模型分為兩部分，還款模型與最優化模型。還款模型即是指根據貸款總額A、月利率 、總貸款期數m和相對應的還款方式求解對應每月還款額的數學表達式。最優化模型是指在綜合考慮各種因素情況下，在還款模型中變量不變的條件下，分析比較等額本息還款法、利隨本清等本不等息還款法、等本等息等額還款法三種還款方式的利弊，以及還款額度隨時間的變化曲線，為貸款者選擇還款方式提供更好的參考。1. 還款模型由于還款方式的不同，對應的還款數學表達式也是不同的，下面我們將就三種還款方式分別求解。1.1 等額本息還款法等額本息還款

7、法，即借款人每月按相等的金額償還貸款本息，其中每月貸款利息按月初剩余貸款本金計算并逐月結清。根據此種還款法可知各個月后所欠銀行貸款如下：第1個月：Y1 =A1+-X1 第2個月：Y2 =Y1 1+-X1=A1+-X11+-X1=A(1+)2-X11+(1+)  第3個月：Y3 =Y2 1+-X1=A(1+)3-X11+(1+)+(1+)2 第k個月：Yk =Yk-11+-X1=A1+k-X11+(1+)+1+2+1+k-1由上可知，遞歸公式為Yk =Yk-11+-X1 ，k=1，2, 3，m (1.1-1)將遞歸公式類似為xn=axn-1-b (1.1-2)注： 在上式中， a=1+

8、 ，b=X1 ，x0=1兩邊同時加上b(1-a) ，可使式(1.1-2)化為初始值為1公比為a的等比數列，結合數學歸納法可知第m個月后：Yk =A1+k-X11+k-1/ (1.1-3)由已知可得Ym =0 ，解得：X1=A(1+)m(1+)m-1 .(1.1-4)式(1.1-4) 為每月等額本息還款法的每月還款額.圖1-11.2 等本等息等額還款法每個月還的本金相同，每個月還的利息相等，則每個月還款額相等，本方法相當于把利隨本清還款法的總利息均分到每一個月。由式(1.1-3)中利息的計算方法得 總利息 (1.2-1)年均利息為每月所還本金為則 每月的還款額為X2=Am+m+12mA(1.2-

9、2)1.3 利隨本清的等本不等息還款法每月還款的本金相同，利息不等，每月還款額=每月所還本金+每月所還利息，則每月還款額不等。每月所還本金為第一個月還利息：第二個月還利息： 第個月還利息：則第個月還款額為Xk=Am+A(1-k-1m)(1.3-1)2.最優化模型2.1等額本息還款法第1個月的利息：B1=A 第2個月的利息：B2=Y1 第3個月的利息：B3=Y2 第個月的利息：Bk=Yk-1 其數學模型 Bk=A1+k-1-X1+k-1-1 k=1， 總利息為 (2.1-1)2.2利隨本清等本不等息償還法由式(1.2-1)可知總利息B=m+1A/22.3等本等息等額還款法 總利息 B=m+1A/

10、2(2.3-1)3.模型求解3.1問題1花旗銀行低息現金貸款廣告問題，此貸款用的是每期等額本息還款法，因為已經知道了總貸款額、總貸款時間、和每月還款額，需要求月利率。把A=50000，m=36，X1=1637代入(1.1-3)得0=50000(1+)36-16371+36-1/ (3.1-1)利用MATLAB R2013b 中求解一元多次函數，輸入語句：solve('50000*(1+x)36-1637*(1+x)36-1)/x=0') ，執行語句后，結合實際條件可以剔除不合理的解，則： ans= 。故=0.009170。3.2問題2 .本題用的是每期等額還款法，本題是已知總貸

11、款額、總貸款時間、年利率，需要求解每月還款額。把,由年利率為有:月利率，代入 (1.1-3)中得每月還款額： 解之得： （美元）甲每月大概還美元。圖1-2 .對于另一家公司，我們有半個月為一期，而且已經知道了總貸款額、月利率、每半個月還款額（因為這里是半個月為一期),需求總貸款時間的問題。 由(1.1-3)得：可以解得： (3.2-1)把,由年利率為有:月利率每一期的利率為，代入 (3.2-1)中可得：還款期 （月）提前還款時間為：（年）所以另一家公司仍然可以賺錢，相對于讓甲還年來說，此公司可以多賺兩年的錢，即（美元）5.3.3問題3. .對于省建行的“每月等額本息償還法”中，我們已將知道總貸

12、款額、總貸款時間、和一定的月利率，需要求解每月還款額。要知道月還款額，首先需要知道月利率。對于公積金貸款：把，代入中有： 仍然利用MATLAB R2013b 中求解方程功能，輸入語句：solve('80000*(1+x)180-660.88*(1+x)180-1)/x=0') ，執行語句后，結合實際條件可以剔除不合理的解，則：ans= 0.0047244933970807758030978363945164由此可得 .同理對于商業性貸款也可用上述方法先有，令同樣利用MATLAB可得： .現在再將，代入(1.1-3)中，利用MATLAB計算有： （元）同樣將，代入中有: (元)省

13、建行的每月還款額為（元）.圖1-3 .對于央行推出的“利隨本清等本不等息償還法”中，我們已經知道了總貸款額、總貸款時間、和一定的月利率，需要求解每月還款額。由模型中的(1.1-3)我們能推得： 即：每月還款額=（貸款本金貸款期月數）+（本金-已還本金累計額）月利率央行公積金還款額與貸款時間關系圖如下：圖1-4央行商業基金還款額與貸款時間關系圖如下：圖1-5還款總額為 (用到了等差級數求和公式）由(2.3-1)知市建行總利息為公積金貸款的總利息為（元）商業性貸款的總利息為（元）兩類貸款的總利息為（元）對省建行兩類貸款的總利息為（元）兩建行的總還款差為（元）這個結果很接近元.對于市建行的“等本、等

14、息、等額還款法”我們已知總貸款額、總貸款時間、和一定的月利率，需要求解每月還款額。由還款模型中的(1.2-2)可得出它的還款法為每月還款額 市建行公積金與商業基金還款額度與貸款時間無關，和圖1-2 變化趨勢相同，只不過相應縱軸的坐標不同4不同還款方式利弊等額本息還款法：這是目前最為普遍，也是大部分銀行長期推薦的方式，先還利息再還本金。作為還款人，每個月還給銀行金額固定，所以計算比較方便，但這種還款方式每月還款額中的本金比重逐月遞增、利息比重逐月遞減。采用這種還款方式，它的特點是：每月還相同的數額，作為貸款人，操作相對簡單。尤其是收入處于穩定狀態的家庭，經濟條件不允許前期投入過大，可以選擇這種方

15、式。公務員、教師等職業屬于收入相對穩定的群體，很適合這種還款方式。但是，它也有缺陷，由于利息不會隨本金數額歸還而減少，銀行資金占用時間長，還款總利息較大，利息總支出也幾乎是所有還款方式中最高的。利隨本清等本不等息還款法：貸款人將本金分攤到每個月內，但是每個月的利息不同，計算比較麻煩。但這種還款方式相對等額本息而言，總的利息支出較低，是可以節省大量利息支出，它的特點是：前期支付的本金和利息較多，還款負擔逐月遞減。使用利隨本清還款，開始時每月負擔比等額本息重。尤其是在貸款總額比較大的情況下，相差可能達千元。比如題目中采用央行的還款方式的圖線可以證明上述觀點。 但是，隨著時間推移，還款負擔逐漸減輕。

16、這種方式很適合目前收入較高，但是已經預計到將來收入會減少的人群。實際上，很多中年以上的人群，經過一斷時間事業打拼，有一定的經濟基礎，考慮到年紀漸長，收入可能隨著退休等其他因素減少，就可以選擇這種方式進行還款。 等本、等息、等額還款法：是將本金和總利息都取平均值，即把它們平攤到每個月中，計算起來比較簡單，這種還款方式的特點是：平均每一個月所還的本金和利息都相等，即每月還款額也是一定的，它也適用于收入較穩定的人群，因為它每個月的還款數是一個常數，而且在同樣的前提條件下，總利息較少。究竟采用哪種還款方式，專家建議還是要根據個人的實際情況來定。“等額本息還款法”每月的還款金額數是一樣的，對于參加工作不

17、久的年輕人來說，選擇“等額本息還款法”比較好，可以減少前期的還款壓力。對于已經有經濟實力的中年人來說，采用“等額本金還款法”效果比較理想。在收入高峰期多還款，就能減少今后的還款壓力，并通過提前還款等手段來減少利息支出。另外，等額本息還款法操作起來比較簡單，每月金額固定，不用再算來算去。總而言之，等額本息還款法適用于現期收入少，負擔人口少，預期收入將穩定增加的借款人，如部分年輕人，而等額本金還款法則適合有一定積蓄，但家庭負擔將日益加重的借款人，如中老年人。 六、 參考文獻1 婁飛鵬.基于動態博弈的商業銀行貸款還款方式比較分析J.區域金融研究,2013,(7):39-43.DOI:10.

18、3969/j.issn.1674-5477.2013.07.008.2 王玉梅.住房抵押貸款決策模型探討J.通化師范學院學報,2011,32(6):11-13.DOI:10.3969/j.issn.1008-7974.2011.06.005.3 郭蔚.等額本息還款法與等額本金還款法哪種更好J.遼寧行政學院學報,2005,7(3):69-70.DOI:10.3969/j.issn.1008-4053.2005.03.042.4 陳本毅.等額本金還款法下如何用Excel 計算每月還款額J.中國管理信息化,2006,9(2):63-63.DOI:10.3969/j.issn.1673-0194.2006.02.