1、第三十二講 萬有引力定律基礎知識學點一：萬有引力定律1、內容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個物體間的引力的大小跟它們的質量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比，力的方向在兩者的連線上。2、數學表達式：（1）式中、分別是兩個質點的質量；為兩質點的距離。（2）比列系數：稱為萬有引力常量；萬有引力常量是英國物理學家卡文迪許首先在實驗室里用扭秤測量出的。（3）在數值上等于：質量都是的物體，在相時的相互作用力的大小等于。3、萬有引力定律的適用條件：（1） 嚴格地說，萬有引力定律只適用于質點間的相互作用，其萬有引力。（2） 兩個質量分布均勻的球體間的相互作用也可以用萬有引力定律的表達式來計算，其中

2、應把理解為兩個球心的距離。（3）兩個質量分布均勻的球體間的相互作用也可用本定律計算，其中為兩球體球心間的距離，其萬有引力（4）一個均勻球體和球外一個質點的萬有引力也適用，其中為球心到質點間的距離。（5）兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，公式也近似使用，其中為兩質點間的距離.（6）萬有引力遵守牛頓第三定律，即它們之間的引力總是大小相等、方向相反.4、對萬有引力的理解（1）普遍性：萬有引力是普遍存在于宇宙中任何有質量的物體之間的相互作用力，它是自然界中物體之間的基本相互作用力。（2）相互性：兩個物體相互作用的引力是一對作用力和反作用力，它們大小相等，方向相反，分別作用在兩個物體上。（3）客觀

3、性：通常情況下，萬有引力非常小，它的存在可由卡文迪許扭稱來觀察，只有在質量巨大的天體間，它的作用才有宏觀的物理意義。（4）特殊性：兩個物體間的萬有引力，只與它們本身的質量有關，與它們之間的距離有關，和所在空間的性質無關，和周圍有無其它物體的存在無關。5、萬有引力定律建立的重要意義 萬有引力定律是17世紀自然科學最偉大的成果之一，他把地面上的物體運動規律和天體的運動規律統一起來，對以后物理學和天文學的發展具有深遠的意義，而且第一次揭示了自然界中的一種相互作用的規律，在人類認識自然的歷史上樹立了一座里程碑。基礎知識二：萬有引力定律的兩個重要推論1、推論一、在勻質球層的空腔內任意位置處，質點受到的萬

4、有引力的合力為零，即.2、推論二、在勻質球體內部距離球心處，質點受到的萬有引力就等于以半徑為,質量為的球體的引力基礎知識學點三：卡文迪許實驗1、實驗過程（1）牛頓發現了萬有引力定律后，沒有給出萬有引力恒量的數值，而用實驗測定的值很不容易，因為一般物體間引力非常小，很難精確測定. 直到1798年，牛頓發現萬有引力定律100多年以后，英國的卡文迪許巧妙地利用扭秤裝置，第一次在實驗室里比較精確地測出了萬有引力恒量的數值. （2）放大法測量弱作用力：實驗裝置如圖所示，卡文迪許扭秤的主要部分是一個輕而堅固的T形架，倒掛在一根石英絲的下端. T形架水平桿的兩端，各裝一個質量為的小球，在T形架的豎直桿上裝一

5、塊小平面鏡M，可以將射來的光線反射到一根刻度尺上. 實驗時，把兩個質量是的大球放在圖中所示的位置，它們跟小球的距離相等，由于受的吸引，石英絲被扭轉. 石英絲扭轉的角度可以由小鏡M的反射光在刻度尺上移動的距離求出，根據扭轉角度就可以算出與的引力. （3） 在實驗過程中，為了排除氣流對測量結果的影響，卡文迪許把扭秤裝置放到密閉室內，用室外的望遠鏡進行觀測.此實驗證明了牛頓的萬有引力定律是正確的，并且測出了萬有引力恒量是，與現代公認的等于很接近。2、相關知識：（1）物理意義：這個數值等于兩個質量各為的物體，相距時的相互吸引力. （2）測定引力常量的理論公式： 根據萬有引力定律: 宇宙間的一切物體都是

6、互相吸引的，兩個物體間的引力大小跟距它們距離的平方成反比，跟它們的質量乘積成正比. 表達式為: . 可得到：，單位：。（3） 引力常量測定的意義卡文迪許通過改變質量和距離，證實了萬有引力的存在以及萬有引力定律的正確性。第一次測出了引力常量，使萬有引力定律能進行定量的計算，顯示出真正的使用價值。標志著力學實驗精密程度的提高，開創了測量弱相互作用力的新時代。基礎知識學點四：重力、萬有引力以及物體在地球上運動的規律1、重力和萬有引力以及向心力的關系： 研究位于地球表面的物體，設物體的質量為，地球的質量為，地球的半徑為，物體隨地球轉動的角速度為。（1）由于地球在不停地自轉，地球上的一切物體都隨地球自轉

7、而繞地軸做勻速圓周運動。（2）地球表面的物體所受到的萬有引力是地球表面的物體的重力和繞地球作圓周運動的向心力的合力。反之也可以理解成地球表面所受到的萬有引力可以分解成物體隨地球自轉做勻速圓周運動的向心力和所受到的重力。（3）向心力和重力：地球上物體隨地球自轉的而繞地軸做勻速圓周運動的向心力就是垂直指向地軸的的分力，其大小為:，式中是物體距地軸的距離，是地球的自轉角速度，這個向心力是引力的一個分力。引力的另一個分力才是物體的重力（重量），所以說重力是地面附近的物體受到地球的萬有引力而產生的；地面上同一個物體的重力（重量），從赤道到兩極是逐漸增大的。（4）物體在一般位置（不在兩極和赤道上）時，向心

8、力為：，萬有引力、向心力、重力這三個力不在同一直線上，如圖所示。（5）當物體位于赤道上時，向心力最大，重力最小。（6）當物體位于兩極時，由于，則向心力為零，重力最大，即：。說明重力隨緯度的增高而增大。（7）黃金代換： 由于物體隨地球自轉的需要的向心力很小，所以重力隨緯度的變化是很小的，物體隨地球自轉所需的向心力也遠小于重力。因此在中學物理范圍內，常認為重力近似與萬有引力相等，即。 得到：，該式叫做黃金代換公式。在質量為，半徑為，重力加速度為的其它任何星球表面處重力都約等于萬有引力，即：，同樣得到黃金代換公式：。 在距離該星球表面一定高度處，具有：。2、物體在赤道上失重的四個重要規律： 地球在不

9、停地自轉，除兩極之外，地球上的物體由于地球做勻速圓周運動，都處于失重狀態，且赤道上的物體失重最多。設地球為勻質球體，半徑為，表面的引力加速度為，并不隨地球自轉變化.（1）物體在赤道上的視重等于地球的引力與物體隨地球自轉所需的向心力之差,由牛頓第二定律，有： 所以，物體在赤道上的視重為（2）物體在赤道上的失重等于物體繞地軸轉動所需的向心力（3）物體在赤道上完全失重的條件 設想地球自轉的速度加快，使赤道上的物體剛處于完全失重的狀態，即，有：，則，所以，完全失重的臨界條件是： 上述結果恰好是進地人造衛星的向心加速度，角速度，線速度和周期。（4）地球不因自轉而瓦解的最小密度 地球以的周期自轉，不發生瓦

10、解的條件是赤道上的物體受到的萬有引力大于或等于該物體做圓周運動所需的向心力，即。根據萬有引力定律，有；所以，地球的密度應為而地球平均密度公認值為，相比之下，足以保證地球處于穩定狀態。基礎知識學點五：重力加速度的基本計算方法設地球的質量為，地球的半徑為，地球上的重力加速度為。1、在地球表面附近處的重力加速度根據萬有引力定律，有（忽略自轉受到的向心力）： ，式中2、利用與地球平均密度的關系，得3、在地球上空距離地心處的重力加速度 得到，說明重力加速度隨高度的增高而減小。4、在地球內部距離地心處的重力加速度。 根據萬有引力的推論二，可以得到5、在質量為，半徑為的任意天體表面上的重力加速度.根據萬有引

11、力定律，有、兩式相比得到基本技能學點一：萬有引力定律與開普勒三定律的關系1、用牛頓的萬有引力定律推導開普勒第三定律： 行星繞太陽旋轉，萬有引力提供向心力，設太陽的質量為，行星的質量為，即有：，. 推導得： 通過上面的推導可以看出，在太陽系內研究太陽系內的行星運動，其半長軸的三次方跟它的運動周期的二次方的比是恒定不變的，它的大小決定于太陽質量。推理可知各個人造地球衛星的半長軸的三次方跟它的運動周期的二次方也是恒定的，其大小決定于地球的質量。但衛星繞地球旋轉的這個恒定比值與地球繞太陽轉的恒定值不同。開普勒第三定律適用于任何天體運動，但不同系統內的比值不一定相等。2、用開普勒第三定律和向心力公式推導萬有引力定律，得到：，同理有：，則得到.基本技能學點二：萬有引力定律的特殊應用填補法 如圖所示，半徑為的均質球質量為，球心在點，現在被內切的挖去了一個半徑為的球形空腔（球心在）。在、的連線上距離點為的地方放有一個很小的、質量為的物體，試求這兩個物體之間的萬有引力。模型分析：無論是“基本條件”還是“拓展條件”，本模型都很難直接符合，因此必須使用一些特殊的處理方法。本模型除了照應萬有引力的拓展條件之外，著重介紹“填補法”的應用。 空腔里現在雖然空無一物，但可以看成是兩個半徑為的球的疊加：一個的質量為，一個的質量為。然后，前者正好填補空腔和被挖除