1、31.3空間向量的數量積運算 知識點一 求兩向量的數量積如圖所示，已知正四面體O-ABC的棱長為 a，求.解 由題意知 | | = | | = | | = a，且，= 120， ，= 120， =（ ）= ,= a2cos120a2cos1200【反思感悟】 在求兩向量的夾角時一定要注意兩向量的起點必須在同一點，如，60時， ，120. 已知長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E為AB1的中點，F為A1D1的中點，試計算：（1） ；（2） ；（3） .解 如圖所示，設a，b，c，則|a|c|2，|b|4，abbcca0. （1） = b （c a ）+b= | b |2 =

2、 42 = 16 .(2) = （c a +b ）（ a + c ）= | c |2| a |2 = 22 22 = 0.（3） = (ca)b(ba)(abc)(ba)|a|2|b|22.知識點二 利用數量積求角如圖，在空間四邊形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA與BC所成角的余弦值解 . 因,所以 = =|cos ，| | | | cos , =84cos135 86cos120所以cos,=.即OA與BC所成角的余弦值為.【反思感悟】在異面直線上取兩個向量，則兩異面直線所成角的問題可轉化為兩向量的夾角問題需注意的是：轉化前后的兩個角的關系可能相等也

3、可能互補在二面角l中，A，B，C，Dl，ABCD為矩形，P，PA，且PAAD，M、N依次是AB、PC的中點(1)求二面角l的大小；(2)求證：MNAB；(3)求異面直線PA與MN所成角的大小(1)解 PA，lPAl，又ADl，PAAD=A，l平面PAD，lPD，故ADP為二面角-l-的平面角，由PA=AD得ADP=45.二面角-l-的大小為45.（2）證明 ，()， ， = = ，ADAB，APAB 0，0， MNAB.(3)解 設APa，由(2)得 a2，|a，| |a， cos，即異面直線PA與MN所成角為45.知識點三 利用數量積證明垂直關系如圖所示，m，n是平面內的兩條相交直線如果lm

4、，ln，求證：l . 證明 在內作任一直線g，分別在l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.因為m與n相交，所以向量m，n不平行由向量共面的充要條件知，存在惟一的有序實數對(x，y)，使gxmyn.將上式兩邊與向量l作數量積，得lgxlmyln.因為lm0，ln0，所以lg0, 所以lg.即lg.這就證明了直線l垂直于平面內的任意一條直線，所以l.【反思感悟】證明兩直線垂直可轉化為證明兩直線的方向向量垂直，即證明兩向量數量積為零已知：在空間四邊形OABC中，OABC，OBAC，求證：OCAB.證明 OABC，OBAC，= 0，= 0. (+) ( + )= = ()= ()0， ，OCAB.

5、課堂小結：空間兩個向量a，b的數量積，仍舊保留平面向量中數量積的形式，即：ab|a|b|cosa，b，這里a，b表示空間兩向量所成的角(0a，b)空間向量的數量積具有平面向量數量積的運算性質應用數量積可以判斷空間兩直線的垂直問題，可以求兩直線夾角問題和線段長度問題即(1)利用abab0證線線垂直(a，b為非零向量)(2)利用ab|a|b|cosa，b，cos，求兩直線的夾角(3)利用|a|2aa，求解有關線段的長度問題 一、選擇題1若a，b均為非零向量，則ab|a|b|是a與b共線的( )A充分不必要條件 B必要非充分條件C充要條件 D既非充分也非必要條件答案 A解析 ab|a|b|cosa，

6、b|a|b|cosa，b1a，b0，當a與b反向時，不能成立2已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a3b|等于( )A. B.C. D4答案 C解析 |a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos60913.3對于向量a、b、c和實數，下列命題中真命題是( )A若ab0，則a0或b0B若a0，則0或a0C若a2b2，則ab或abD若abac，則bc答案 B解析 A中若ab，則有ab0，不一定有a0，b0.C中當|a|b|時，a2b2，此時不一定有ab或ab.D中當a0時，abac，不一定有bc.4已知四邊形ABCD滿足：*60，0，0，*60，則該四邊形為( )A平行四邊形 B

7、梯形C平面四邊形 D空間四邊形答案 D5已知a、b是平面內的兩個不相等的非零向量，非零向量c在直線l上，則ca0且cb0是l的( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案 B二、填空題6已知向量a、b滿足條件：|a|2，|b|，且a與2ba互相垂直，則a與b的夾角為_答案 45解析 因為a與2ba垂直，所以a(2ba)0.即2ab|a|20，所以2|a|b|cosa，b|a|20，所以4cosa，b40cosa，b，所以a與b的夾角為45.7. 已知線段AB,BD在平面內,ABD=120,線段AC,如果AB=a,BD=b,AC=c,則| |為_答案 解析 |2|2

8、222222a2b2c22abcos60a2b2c2ab.|.8已知|a|3，|b|4，mab，nab，a，b135，mn，則_.答案 解析 由mn0，得(ab)(ab)0，列方程解得.三、解答題9. 如圖，已知E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中點，試求向量與所成角的余弦值. 解 設正方體的棱長為m，a，b，c，則|a|b|c|m.abbcca0.又ab，ca. (ab)(ca)acbca2aba2m2.又| |m，|m，cos ， = .10已知在平行六面體ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.(1)求AC的長(如圖所示)； (2) 求 與的夾角的余弦值解 (1)= + + ,|2 = (+ + )2=| |2 + | |2+ | |2 + 2 ( + + )= 42 + 32 + 52 +