1、高二數學雙曲線及其標準方程式教案課 題：雙曲線及其標準方程式地 點：微機室 輔助工具：微機（附軟盤）教學目的：1能根據條件利用工具會畫雙曲線2 常握雙曲線定義及標準方程3 利用定義會求雙曲線的方程4 利用標準方程的形式會求雙曲線的方程5 提高運算能力重 點：雙曲線的定義和及其標準方程難 點：標準方程中a與b的判斷和換元法教學過程：（詳見于課件） 一.回顧與引入主題橢圓定義是與兩定點的距離的和為常數的點軌跡是橢圓,那么與兩定點距離的差非零常數的點的軌跡是怎樣的曲線呢?二.實物演示與電腦演示工具: 圖釘,筆,拉鏈.方法: 將拉鏈拉開一部分,在拉開的兩邊上各選取一點,分別固定在,上,到的長為2a(a

2、>0).把筆尖放在處,隨著拉鏈逐漸拉開或閉攏，筆尖就畫出一條曲線（先用模型演示，后用電腦演示）。問：這條曲線是滿足什么條件的點的集合。答: 如果使點M到點F的距離減去到點F的距離所得差等于2a，就得到另一條曲線（電腦演示），這條曲線是滿足下例條件的點的集合，即 。名詞：這兩條曲線合起來叫做雙曲線，每一條叫做雙曲線的一支。（此時板書課題）上述演示中有幾個關鍵的地方：1、= 常數（=2a>0）2、=常數（=2a>0）3、a<c此時M的軌跡是雙曲線問：若a=c 或a>c時，則M的軌跡又是什么？請思考（先電腦演示后回答，再看結果）三雙曲線定義(電腦展示)為了給出雙曲線定義

3、，請再思考：1、與哪個大？2、點M與F、F點的距離之差應怎么表示？3、點M與F、F點的距離之差與的大小關系怎樣？回答后，電腦展示結果。通過上述討論得到雙曲線定義：定義(電腦展示和板書)把平面內與兩個定點的距離之差的絕對值是常數2a(小于)的點的軌跡叫做雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距。四求標準方程以過兩定點的直線為X軸，以線段的平分線為Y軸，建立直角坐標系，設雙曲線上任意一點的坐標為M（x,y），=2c,并設根據，得：（板書此處化簡的過程）化簡方程，得：由雙曲線定義可知，2c>2a，即c>a，所以>0。令，其中b>0，代入上式，得 ()（

4、板書）這個方程叫做雙曲線的標準方程。它的特點是焦點在X軸上，焦點是， ，這里。想一想：焦點在Y軸上，標準方程又怎樣嗎？（電腦演示）歸納：（方程與圖形都發生變化）（師生共同完成） 焦點是、，a、b的意義同上，那么只要將原方程的x、y互換，就可以得到它的方程 ()（板書）這個也是雙曲線的標準方程。小結：（師生共同完成）電腦展示結果。練習：(電腦展示)1.已知：求：a=_ ,b=_ ,c=_ .2.已知：求：a=_ ,b=_ ,c=_ .五例題(電腦展示)例1 已知雙曲線兩個焦點的坐標為，雙曲線上一點P到的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程。解：因為雙曲線的焦點在X軸上，所以設它的方程為 (

5、a>0,b>0) 2a=6,2c=10, a=3 , c=5， b=4所以所求雙曲線的標準方程為注：此題用雙曲線的定義和標準方程的特征來解的，也可以利用軌跡思想和兩點間的距離公式來解，但較繁。練習：(電腦展示)例2. 已知雙曲線的焦點在Y軸上，并且雙曲線上兩點的坐標分別為,求雙曲線的標準方程。解：因為雙曲線的焦點在Y軸上，所以設所求雙曲線的標準方程為 ( a>0,b>0 ) 因為點在雙曲線上，所以點的坐標適合上面方程,將分別代入其中，得方程組 令,則方程組化為解這個方程組，得 即所以所求標準方程為。注 ：本題解題方法是待定系數法，化簡是用了換元法。六. 練習(電腦展示)1、 求適合下列條件的雙曲線標準方程：(1)、a=4,b=3,焦點在x軸上；(2)、焦點為(0,-6),(0,6),經過點(2,-5)；2、填空：已知方程表示雙曲線，則的取值范圍是_.七. 小結：(電腦展示)本節課主要掌握： 概 念：雙曲線定義，焦點，焦距，長軸，短軸。 公 式：標準方程（兩種形式）。 幾何含義：a,b,c. 繪圖方式：拉鏈。 解題方法：定義法，待