1、高中物理變力做功問題摘要：在高中階段求變力做功問題，既是學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握的難點(diǎn)，也是教師教學(xué)的難點(diǎn)。本文舉例說明了在高中階段求變力做功的常用方法，比如用動(dòng)能定理、功率的表達(dá)式、功能關(guān)系、平均值、圖像、微元累積法、轉(zhuǎn)換參考系等來求變力做功。關(guān)鍵詞：功 変力 動(dòng)能定理 功率 功能關(guān)系 平均值 圖像 微元累積法 轉(zhuǎn)換參考系對(duì)于功的定義式W，其中的F是恒力，適用于求恒力做功，其中的s是力F的作用點(diǎn)發(fā)生的位移，是力F與位移s的夾角。在高中階段求變力做功問題，既是學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握的難點(diǎn)，也是教師教學(xué)的難點(diǎn)。求變力做功的方法很多，比如用動(dòng)能定理、功率的表達(dá)式、功能關(guān)系、平均值、圖像、微元累積法、轉(zhuǎn)換參考系等來求

2、變力做功。一、運(yùn)用功的公式求變力做功 求某個(gè)過程中的変力做功，可以通過等效法把求該変力做功轉(zhuǎn)換成求與該変力做功相同的恒力的功，此時(shí)可用功定義式W求恒力的功，從而可知該変力的功。等效轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵是分析清楚該変力做功到底與哪個(gè)恒力的功是相同的。圖1例1：人在A點(diǎn)拉著繩通過一定滑輪吊起質(zhì)量m=50Kg的物體，如圖1所示，開始繩與水平方向夾角為，當(dāng)人勻速提起重物由A點(diǎn)沿水平方向運(yùn)動(dòng)而到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)繩與水平方向成角，求人對(duì)繩的拉力做了多少功？【解析】人對(duì)繩的拉力大小雖然始終等于物體的重力，但方向卻時(shí)刻在變，而已知的位移s方向一直水平，所以無法利用W直接求拉力的功.若轉(zhuǎn)換一下研究對(duì)象則不難發(fā)現(xiàn)，人對(duì)繩的拉力

3、的功與繩對(duì)物體的拉力的功是相同的，而繩對(duì)物體的拉力則是恒力，可利用W求了！設(shè)滑輪距地面的高度為h，則：人由A走到B的過程中，重物上升的高度等于滑輪右側(cè)繩子增加的長(zhǎng)度，即：，人對(duì)繩子做的功為：二、運(yùn)用動(dòng)能定理求變力做功圖2動(dòng)能定理的表述：合外力對(duì)物體做功等于物體的動(dòng)能的改變，或外力對(duì)物體做功的代數(shù)和等于物體動(dòng)能的改變。對(duì)于一個(gè)物體在某個(gè)過程中的初動(dòng)能和末動(dòng)能可求，該過程其它力做功可求，那么該過程中変力做功可求。運(yùn)用動(dòng)能定理求變力做功關(guān)鍵是了解哪些外力做功以及確定物體運(yùn)動(dòng)的初動(dòng)能和末動(dòng)能。例2：如圖2所示，原來質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)L的細(xì)線懸掛而靜止在豎直位置.用水平拉力F將小球緩慢地拉到細(xì)線與豎直方

4、向成角的位置的過程中，拉力F做功為（ ）A. B. C. D. 【解析】很多同學(xué)會(huì)錯(cuò)選B，原因是沒有分析運(yùn)動(dòng)過程，對(duì)FLcos來求功的適用范圍搞錯(cuò)，恒力做功可以直接用這種方法求，但變力做功不能直接用此法正確的分析，小球的運(yùn)動(dòng)過程是緩慢的，因而任一時(shí)刻都可看作是平衡狀態(tài)，因此F的大小不斷變大，F(xiàn)做的功是變力功，小球上升過程中只有重力和拉力做功，而整個(gè)過程的動(dòng)能改變?yōu)榱悖捎脛?dòng)能定理求解：所以 ，故D正確。三、運(yùn)用求變力做功 涉及到機(jī)車的啟動(dòng)、吊車吊物體等問題，如果在某個(gè)過程中保持功率P恒定，隨著機(jī)車或物體速度的改變，牽引力也改變，要求該過程中牽引力的功，可以通過求変力做功。例3：質(zhì)量為5000K

5、g的汽車，在平直公路上以60kW的恒定功率從靜止開始啟動(dòng)，速度達(dá)到24的最大速度后，立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，汽車從啟動(dòng)到最后停下通過的總位移為1200m.運(yùn)動(dòng)過程中汽車所受的阻力不變.求汽車運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.【解析】牽引力是変力，該過程中保持功率P恒定，牽引力的功可以通過來求。汽車加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，由動(dòng)能定理得：汽車達(dá)到最大速度時(shí)，牽引力和阻力大小相等，則 即可求得汽車加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為關(guān)閉油門后，汽車在阻力作用下做勻減速直線運(yùn)動(dòng)至停止，由動(dòng)量定理得：可求得汽車勻減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為則汽車運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：tt1t250s48s98s四、運(yùn)用功能關(guān)系求變力做功做功是能量轉(zhuǎn)化的原因，做功是能量轉(zhuǎn)化的量度，我們可以根據(jù)能

6、量轉(zhuǎn)化的情況來判斷做功的情況，則給求変力做功提供了一條簡(jiǎn)便的途徑。運(yùn)用功能關(guān)系求変力做功，關(guān)鍵是分清研究過程中有多少種形式的能轉(zhuǎn)化，即有什么能增加或減少，有多少個(gè)力做了功，列出這些量之間的關(guān)系。.F圖3例4：一個(gè)圓柱形的豎直井里存有一定量的水，井的側(cè)面和底部是密閉的。在井中固定地插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底。在圓管內(nèi)有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動(dòng)。如圖3所示，現(xiàn)用卷揚(yáng)機(jī)通過繩子對(duì)活塞施加一個(gè)向上的力F，使活塞緩慢向上移動(dòng)。已知圓管半徑r=0.10m，井的半徑R=2r，水的密度=1.00103kg/m3 ，大氣壓P0=1.00105Pa ，求活塞上升H=9.00

7、m的過程中拉力所做的功（井和管在水面上及水面下的部分都足夠長(zhǎng)，不計(jì)活塞質(zhì)量，不計(jì)摩擦，重力加速度g=10m/s2）。【解析】大氣壓P0能夠支撐的水柱高度為 從開始提升到活塞至管內(nèi)外水面高度差為10m的過程中，活塞始終與水面接觸，設(shè)活塞上升，管外液面下降，則有：因液體體積不變，有：得 此過程拉力為変力，根據(jù)功能關(guān)系，對(duì)于水和活塞這個(gè)整體，其機(jī)械能的增量等于除重力以外其它力做功。根據(jù)題意，則拉力做功等于水的重力勢(shì)能的增量，即： 活塞從上升到H的過程中，液面不變，拉力F是恒力，則做功為： 所求拉力所做的總功為：五、運(yùn)用F-S圖像中的面積求變力做功圖4 某些求変力做功的問題，如果能夠畫出変力F與位移S

8、的圖像，則F-S圖像中與S軸所圍的面積表示該過程中変力F做的功。運(yùn)用F-S圖像中的面積求變力做功的關(guān)鍵是先表示出変力F與位移S的函數(shù)關(guān)系，再在畫出F-S圖像。例5：用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設(shè)阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比，每次擊釘時(shí)錘子對(duì)釘子做的功相同，已知第一次擊后釘子進(jìn)入木板1cm，則第二次擊釘子進(jìn)入木板的深度為多少？【解析】鐵錘每次做功都是用來克服鐵釘阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小與深度成正比，F(xiàn)=kx，以F為縱坐標(biāo)，F(xiàn)方向上的位移x為橫坐標(biāo)，作出Fx圖象，如圖4，函數(shù)線與x軸所夾陰影部分面積的值等于F對(duì)鐵釘做的功.由于兩次做功相等，故有：S1=S2(面積) 即：kx12=k(x

9、2+x1)(x2x1)得 所以第二次擊釘子進(jìn)入木板的深度為：六、運(yùn)用平均值求變力做功 求変力做功可通過求，但只有在変力F與位移S成正比例、或一次函數(shù)關(guān)系時(shí)，即成線性關(guān)系時(shí)，才成立。用平均值求變力做功的關(guān)鍵是先判斷変力F與位移S是否成線性關(guān)系，然后求出該過程初狀態(tài)的力和末狀態(tài)的力。圖5例6：如圖5所示，在盛有水的圓柱形容器內(nèi)豎直地浮著一塊立方體木塊，木塊的邊長(zhǎng)為h，其密度為水的密度的一半，橫截面積也為容器截面積的一半，水面高為2h，現(xiàn)用力緩慢地把木塊壓到容器底上，設(shè)水不會(huì)溢出，求壓力所做的功。【解析】木塊下降同時(shí)水面上升，因緩慢地把木塊壓到容器底上，所以壓力總等于增加的浮力，壓力是変力，當(dāng)木塊完

10、全浸沒在水中的下降過程壓力是恒力。本題的解法很多，功能關(guān)系、F-S圖像法、平均值法等均可求変力做功，現(xiàn)用平均值法求。木塊從開始到完全浸沒在水中，設(shè)木塊下降，水面上升根據(jù)水的體積不變，則： 得 所以當(dāng)木塊下降時(shí)，木塊恰好完全浸沒在水中，所以木塊恰好完全浸沒在水中經(jīng)到容器底部，壓力為恒力所以故壓力所做的功為：七、運(yùn)用微元法求變力做功求変力做功還可以用微元累積法，把整個(gè)過程分成極短的很多段，在極短的每一段里，力可以看成是恒力，則可用功的公式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代數(shù)和。由此可知，求摩擦力和阻力做功，我們可以用力乘以路程來計(jì)算。用微元累積法的關(guān)鍵是如何選擇恰當(dāng)?shù)奈⒃绾螌?duì)微元作恰當(dāng)?shù)?/p>

11、物理和數(shù)學(xué)處理，微元累積法對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的要求比較高。圖6例7：如圖6所示，質(zhì)量為m的小車以恒定速率v沿半徑為R的豎直圓軌道運(yùn)動(dòng)，已知小車與豎直圓軌道間的摩擦因數(shù)為，試求小車從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，克服摩擦力做的功。【解析】小車沿豎直圓軌道從最低點(diǎn)勻速率運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，由于軌道支持力是変力，故而摩擦力為一変力，本題可以用微元法來求。 如圖7，將小車運(yùn)動(dòng)的半個(gè)圓周均勻細(xì)分成n（）等分，在每段長(zhǎng)的圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可認(rèn)為軌道對(duì)小車的支持力不變、因而小車所受的摩擦力不變，摩擦力的功可以用計(jì)算。.xyOmgmgNiANiBBA圖7 當(dāng)小車運(yùn)動(dòng)到如圖所示的A處圓弧時(shí)，有 則 當(dāng)小車運(yùn)動(dòng)到如圖所示

12、的與A關(guān)于x軸對(duì)稱的B處圓弧時(shí)，有 則 由此，小車關(guān)于水平直徑對(duì)稱的軌道兩元段上摩擦力元功之和為：于是可知，小車沿半圓周從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，摩擦力做的總功為： 八、轉(zhuǎn)換參考系求變力做功在有些物理問題中，要用功能原理，其中求做功時(shí)要涉及到變力做功，但若通過轉(zhuǎn)換參照系，可化求變力做功為恒力做功，而大大簡(jiǎn)化解題過程。例8：宇宙中某一慣性參照系中，有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)A和B，質(zhì)量分別為m和M，相距L，開始時(shí)A靜止，B具有A、B連線延伸方向的初速度v，由于受外力F的作用，B做勻速運(yùn)動(dòng)。（1） 試求A、B間距離最大時(shí)的F值；（2） 試求從開始到A、B最遠(yuǎn)時(shí)力F做的功；【解析】此題中A在萬有引力作用下做變加速運(yùn)動(dòng)，要用功能原理來解。若用微元法求變力做功，會(huì)因數(shù)學(xué)知識(shí)的限制而不易找出F作用的位移和A、B間的距離的對(duì)應(yīng)關(guān)系而很難求解。而本題可通過變換參照系，在同樣滿足機(jī)械能守恒的條件下，避開求