1、 曲線積分與曲面積分（二） 課堂練習(xí)題一、填空題1cos, cos, cos是光滑閉曲面的外法向量方向余弦，所圍空間閉區(qū)域?yàn)閂，設(shè)u(x, y, z)在V上具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，則用高斯公式化曲面積分為重積分時(shí)有= 。2分片光滑閉曲面所圍成的空間區(qū)域的體積為V，則沿曲面外側(cè)的積分= 。3設(shè)函數(shù)在空間閉區(qū)域V上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又是V的光滑邊界曲面的外側(cè)，則由高斯公式有 。4設(shè)是一片分布著質(zhì)量的光滑曲面，其面密度為常數(shù)，則曲面對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iy = 。5圍成空間閉區(qū)域V的光滑閉曲面外法向量的方向余弦為cosa、cosb、cos，設(shè)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在

2、V上有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，則 。二、選擇題1設(shè)為球面，為其上半球面，則 式正確。A； B；C； D=0。2若為在xoy面上方部分的曲面，則等于 。A； B；C； D2p。3若為球面的外側(cè)，則等于 。A； B2；C0； D。4曲面積分在數(shù)值上等于 。A向量穿過曲面的流量； B向量穿過曲面的流量；C向量穿過曲面的流量； D面密度為z2的曲面的質(zhì)量。 5設(shè)是球面的外側(cè)，Dxy是xoy面上的圓域，下述等式正確的是 。A；B；C；D。三、計(jì)算題1求，是z=x2+y2、x2+y2=1和坐標(biāo)面在第一卦限所圍立體V的邊界外側(cè)。2求，是旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2 上介于0z4之間部分的上側(cè)。3求，是界于平面z=0及z

3、=h之間的圓柱面。4求曲面z=x2+y2含在x2+y2=2x內(nèi)的那部分面積。5求均勻曲面的重心的坐標(biāo)四、流體流速，求由z=1、x=0、y=0和z2=x2+y2所圍立體在第一卦限向外流的流量。五、設(shè)圍成空間閉區(qū)域V的曲面為，函數(shù)在V上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，是u(x, y, z)在上各點(diǎn)處沿外法線方向的方向?qū)?shù)，計(jì)算。選做題1設(shè)是柱面在之間的部分，則= 。2，為曲面(z0)的上側(cè)。3已知曲面2az=x2-y2上任意一點(diǎn)P(x, y, z)處的面密度為k|z| (a0)，求曲面被柱面x2+y2=a2截下的部分質(zhì)量。4是由xoy面上曲線x=ey (0ya)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面，曲面法向量與x軸正

4、向夾角大于/2，計(jì)算。5計(jì)算，是橢球面外側(cè)。6設(shè)分布著均勻物質(zhì)的曲面上半部為球面，下半部為柱面，底面為，欲使其重心落在球心處，試求底半徑a和柱面高h(yuǎn)之間的關(guān)系。7設(shè)u(x, y, z)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，是V的光滑邊界曲面，是沿外法線的方向?qū)?shù)，證明：。8證明：在整個(gè)xoy平面除去y的負(fù)半軸及原點(diǎn)的開區(qū)域G內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，并求出一個(gè)這樣的二元函數(shù)。9求向量通過閉區(qū)域W：0x1, 0y1, 0z1的邊界曲面流向外側(cè)的通量。10流體在空間流動(dòng)，流體的密度m處處相同，流速函數(shù)，試求流體在單位時(shí)間內(nèi)流過曲面的流量（流向外側(cè)）和沿曲線L：, z=1的環(huán)流量（從z軸正向看取逆時(shí)針方向）。供稿：陳巨龍 曲線積分與曲面積分（二）班級(jí) 姓名 學(xué)