1、第三單元小結(jié)一、 約數(shù)和倍數(shù)的意義（1） 兩個(gè)整數(shù)相除，如果用字母表示，可以這樣說(shuō)：整數(shù)a除以整數(shù)b（b0），除得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)a能被b整除（也可以說(shuō)b能整除a）。如：1.5÷30.5中1.5不能被3整除；15÷35中，15能被3整除。（2） 如果整數(shù)a能被整數(shù)b（b0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。如：15能被3整除，我們就說(shuō)15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)。 倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的，不能單獨(dú)說(shuō)某一個(gè)數(shù)是約數(shù)或倍數(shù)。 一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，其中最小的倍數(shù)是它本身；一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是它本身；一個(gè)數(shù)

2、既是它本身的約數(shù)，又是它本身的倍數(shù)。（3） 求一個(gè)數(shù)的約數(shù)和倍數(shù)的方法。 找一個(gè)數(shù)的約數(shù)時(shí)，應(yīng)從最小的約數(shù)找起，一直找到它本身（如24的約數(shù)有：1、2、3、4、6、8、12、24共8個(gè)）；也可以一對(duì)一的找，如24的約數(shù)有：（一對(duì)）（一對(duì)）1 2 3 4 6 8 12 24（一對(duì)）（一對(duì)） 找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，可以用這個(gè)數(shù)分別去乘自然數(shù)1、2、3、4、如2的倍數(shù)有：2×12、2×24、2×36、2×48、二、 能被2、5、3整除的數(shù)1能被2整除的數(shù)（1） 能被2整除的數(shù)的特征： 個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都能被2整除。如：72、20、56、38、94等數(shù)

3、都能被2整除。（2） 奇數(shù)和偶數(shù)的意義：能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。如：2、4、6、8、10、是偶數(shù)；1、3、5、7、9、是奇數(shù)。注意：因?yàn)?也能被2整除，所以0也是偶數(shù)。2能被5整除的數(shù)（1） 能被5整除的數(shù)的特征：個(gè)位上是0或者5的數(shù)，都能被5整除。如：10、55、75、150等數(shù)，都能被5整除。（2） 能同時(shí)被2和5整除的數(shù)的特征：個(gè)位上是0的數(shù)，能同時(shí)被2和5整除。如：10、70、90、250等數(shù)，都能同時(shí)被2和5整除3能被3整除的數(shù)（1） 能被3整除的數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除。如：81、405、15、69、39等數(shù)，都能被3

4、整除。（2） 能同時(shí)被2、5、3整除的數(shù)的特征：個(gè)位上是0，各位上的數(shù)的和能被3整除。如：30、120、990、4410等數(shù)，都能同時(shí)被2、5、3整除。三、 質(zhì)數(shù)和合數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)1質(zhì)數(shù)和合數(shù)（1）質(zhì)數(shù)和合數(shù)的意義：質(zhì)數(shù)的意義：一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)， 這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素?cái)?shù)）。如：2、3、5、7、11都是質(zhì)數(shù)。合數(shù)的意義：一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)的叫做合數(shù)。例如：4、6、8、9、10、12都是合數(shù)。（2）1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。（3）判斷一個(gè)數(shù)是否是質(zhì)數(shù)的方法： 檢查這個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)，看是否只有1和它本身這兩個(gè)約數(shù)； 查質(zhì)數(shù)表的方法。如果這個(gè)數(shù)在質(zhì)

5、數(shù)表內(nèi)，那么這個(gè)數(shù)就是質(zhì)數(shù)。否則，這個(gè)數(shù)就不是質(zhì)數(shù)。（4）按約數(shù)的個(gè)數(shù)分，我們把自然數(shù)分為1、質(zhì)數(shù)和合數(shù)。2分解質(zhì)因數(shù)（1）質(zhì)因數(shù)的意義：每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。如：因?yàn)?62×2×3×3，所以2、2、3、3都是36的質(zhì)因數(shù)。（2）分解質(zhì)因數(shù)的意義：把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。如：322×2×2×2×2、302×3×5等都是分解質(zhì)因數(shù)。（3）分解質(zhì)因數(shù)的方法：為了簡(jiǎn)便，通常用短除法來(lái)分解質(zhì)因數(shù)。23 621 83

6、93362×2×3×3這說(shuō)明，要把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，先用一個(gè)能整除這個(gè)合數(shù)的質(zhì)數(shù)（通常從最小的開始）去除，得出的商如果是質(zhì)數(shù)，就把除數(shù)和商寫成相乘的形式；得出的商如果是合數(shù)，就照上面的方法繼續(xù)除下去，直到得出的商是質(zhì)數(shù)為止，然后把各個(gè)除數(shù)和最后的商寫成連乘的形式。四、 最大公約數(shù)1公約數(shù)和最大公約數(shù)（1）公約數(shù)和最大公約數(shù)的意義：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。例如：1、2、4是8和12的公約數(shù)；4是8和12的最大公約數(shù)。還可以用下圖來(lái)表示。 8的約數(shù) 12的約數(shù)3、612、1、2、48（2）互質(zhì)數(shù)的意義：公約數(shù)

7、只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。例如：5和7、7和9、8和9等都是互質(zhì)數(shù)。2求幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)（1）求幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)時(shí)，為了簡(jiǎn)便，通常采用短除法的形式。例如：求18和30的最大公約數(shù) 2 1 8 3 0用公有的質(zhì)因數(shù)2除；3915用公有的質(zhì)因數(shù)3除；35除到兩個(gè)商是互質(zhì)數(shù)為止。把所有的除數(shù)乘起來(lái)，得到：18和30的最大公約數(shù)是2×36。（2）求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，一般先用這兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來(lái)。在除的過(guò)程中，有時(shí)也可以用兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)去除。例如，在求36和54的最大公約數(shù)時(shí)，也可以先用它們的公約數(shù)6或9去除，再看所得的商

8、還有沒(méi)有其它公有的質(zhì)因數(shù)。（3）求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的特例。 如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。如：12是24的約數(shù)，那么，12和24的最大公約數(shù)是12。 如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是1。如：12和13是互質(zhì)數(shù)，那么12和13的最大公約數(shù)就是1。五、 最小公倍數(shù)1公倍數(shù)和最小公倍數(shù)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的意義：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。例如，12、24、36、都是4和6的公倍數(shù)，12是4和6的最小公倍數(shù)。這也可以用下圖來(lái)表示。4的倍數(shù) 6的倍數(shù)12246、18、304、8、16、204和6的公倍數(shù)2求幾

9、個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)（1）求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)時(shí)，通常用分解質(zhì)因數(shù)的方法，為了簡(jiǎn)便，通常寫成短除法的形式。例如，求18和30的最小公倍數(shù)21 8 3 0用公有的質(zhì)因數(shù)2除；3915用公有的質(zhì)因數(shù)3除；35除到兩個(gè)商是互質(zhì)數(shù)為止。把所有的除數(shù)和商乘起來(lái)，得到：18和30的最小公倍數(shù)是2×3×3×590。（3） 求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，先用這兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除（一般從最小的開始），一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)和最后的兩個(gè)商連乘起來(lái)。（3）求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的特例。 如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。如：15是5的倍數(shù)，

10、那么15就是15和5的最小公倍數(shù)。 如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。如：21和31是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的乘積651就是21和31的最小公倍數(shù)。（4）求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，通常這樣做： 28 1 2 3 0用三個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)2除；46154和6還有公有的質(zhì)因數(shù)2，再用2除這兩個(gè)數(shù)， 把15移下來(lái)；23153和15還有公有的質(zhì)因數(shù)3，再用3除這兩個(gè) 數(shù)，把2移下來(lái)；2152、1和5，每?jī)蓚€(gè)數(shù)都是互質(zhì)數(shù)（即兩兩互質(zhì)），除到這里為止。8、12和30的最小公倍數(shù)是2×2×3×2×5120。（5）最大公約數(shù)和最小公

11、倍數(shù)的比較。求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的比較。兩數(shù)關(guān)系最大公約數(shù)最小公倍數(shù)互質(zhì)關(guān)系是1是兩數(shù)的乘積倍數(shù)關(guān)系較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。一般關(guān)系（也就是兩個(gè)數(shù)還有除1以外的公約數(shù)）用短除法分解質(zhì)因數(shù)。把所有除數(shù)連乘，積是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。用短除法分解質(zhì)因數(shù)，把所有的除數(shù)和最后的兩個(gè)商連乘，積是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。求三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的比較。求最大公約數(shù)求最小公倍數(shù)相同點(diǎn)用短除法分解質(zhì)因數(shù)用短除法分解質(zhì)因數(shù)不同點(diǎn)1除數(shù)必須是所有數(shù)公有的約數(shù)，除到所有數(shù)只有公約數(shù)1為止。2除數(shù)可以是合數(shù)。3把所有數(shù)的約數(shù)連乘，積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。1除

12、數(shù)可以是所有數(shù)的公有的約數(shù)，如果其中還有兩個(gè)數(shù)有公有的約數(shù)，就要繼續(xù)除，直到兩兩互質(zhì)為止。2除數(shù)必須是質(zhì)數(shù)。3把所有數(shù)的約數(shù)，兩個(gè)數(shù)的約數(shù)及最后的商連乘，就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。【素質(zhì)知識(shí)擴(kuò)展】1整除和除盡有什么關(guān)系？答：整除和除盡既有聯(lián)系又有區(qū)別，整除是除盡的一種特殊情況，除盡不一定是整除，它是相對(duì)于除不盡來(lái)說(shuō)的。 a÷bq，如果是除盡，那么a、b、q不一定是自然數(shù)；如果是整除，那么a、b、q應(yīng)該是自然數(shù)。它們的關(guān)系可用下圖表示： 除不盡（如2÷30.666）a÷b如40÷58整 除除盡 2÷50.440÷586÷0.2

13、302質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)和互質(zhì)數(shù)的區(qū)別三者的區(qū)別請(qǐng)看下表。質(zhì)數(shù)約數(shù)只有1和本身的自然數(shù)叫質(zhì)數(shù)，它是獨(dú)立的。如5是質(zhì)數(shù)。質(zhì)因數(shù)既是質(zhì)數(shù)，又是因數(shù)，它是不獨(dú)立的。如202×2×5，不能說(shuō)5是質(zhì)因數(shù)，必須說(shuō)5是20的質(zhì)因數(shù)。互質(zhì)數(shù)表示兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1這樣一種關(guān)系，如5和6。互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)可能都是質(zhì)數(shù)，但一定都是質(zhì)數(shù)，一般有四種情況：（1）質(zhì)數(shù)和質(zhì)數(shù)（如7和13）；（2）質(zhì)數(shù)和合數(shù)（如11和8）；（3）合數(shù)和合數(shù)（如9和10）；（4）1和任何自然數(shù)。3求幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，通常用短除法。為什么說(shuō)“通常”？答：因?yàn)榍髱讉€(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，不是只能用短除法，或一定要用短除法。兩個(gè)數(shù)（或三個(gè)數(shù)）之間的關(guān)系有三種情況：（1）互質(zhì)關(guān)系；（2）倍數(shù)關(guān)系；（3）一般關(guān)系。如果是互質(zhì)關(guān)系，那么最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積；如果是倍數(shù)關(guān)系，那么最大公約數(shù)是較小數(shù)，最小公倍數(shù)是較大數(shù)；如果是一般關(guān)系，通常用短除法。求一般關(guān)系的幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，還可以用“大數(shù)加倍”的方法。例如，求12和8；15和25；8、9和12的最小公倍數(shù)。第一組，把較大數(shù)12擴(kuò)大2倍得24，24能被8整除；24就是它們的最小公倍數(shù)；第二組，把25擴(kuò)大2倍，得50，不能被15整除，擴(kuò)大3倍，得7