1、誤 差 理 論 與 數 據 處 理 練 習 題第一章緒論1-7用二等標準活塞壓力計測量某壓力得 ioo.2Pa該壓力用更準確的辦法測得為 ioo.5Pa問二等標準活塞壓力計測量值的誤差為多少？【解】在實際檢定中，常把高一等級精度的儀器所測得的量值當作實際值。故二等標準活塞壓力計測量值的絕對誤差=測得值實際值=100.2 1005 0.3（ Pa）0 3相對誤差=一一100%0.3%100.5g的最大相對誤差為:如果(h h2)測出為( 1.04220t 0.0005 m,為使g的誤差能小于0.001m/s2,即：g 0.0014 22 T也即 g (hi h2)(1 hU 0.001求得：T

2、0.00055( s)1-10.檢定2.5級(即引用誤差為2.5%)的全量程為100V的電壓表，發現50V刻度點的示值誤差2V為最大誤差，問該電壓表是否合格？【解】 引用誤差=示值誤差/測量范圍上限。所以該電壓表的引用誤差為：rm VUm 二-2% 由于：2%<2.5%Um 100所以該電壓表合格。1-13多級彈導火箭的射程為10000km時，其射擊偏離預定點不超過0.lkm,優秀射手能在距離50m遠處準確地射中直徑為2cm的靶心，試評述哪一個射擊精度高？解：多級火箭的相對誤差為：0.1100000.00001 0.001%射手的相對誤差為:1cm50m0.01m50m0.0002 0.

3、002%多級火箭的射擊精度高附加1 1測得某三角塊的三個角度之和為180000' 02”，試求測量的絕對誤差和相對誤差解:絕對誤差等于180000 021800 20.000003086410.000031%相對誤差等于：2=2麗 180 60 60648000第二章誤差的基本性質與處理2-2.試述單次測量的標準差和算術平均值的標準差，兩者物理意義和實際用途有何不x同？【解】單次測量的標準差 表征同一被測量n次測量的測量值分散性的參數，可作為測量列中單次測量不可靠性的評定標準。221212Lnn1,，一-1 ,當測量中的概率。引入新變量t：tt，經變換上式成為:算術平均值的標準差是表征

4、同一被測量各個獨立列算術平均值分散性的參數，可作x為算術平均值不可靠性的評定標準在n次測量的等精度測量列中，算術平均值的標準差為單次測量標準差的 次數n愈大時，算術平均值愈接近被測量的真值，測量精度也愈高。2-3.試分別求出服從正態分布、反正弦分布、均勻分布誤差落在【解】(1)誤差服從正態分布時(2)誤差服從反正弦分布時因反正弦分布的標準差為:為2，所以區間22 , 22a, a，故:（3）誤差服從均勻分布時因其標準差為:a/r ,所以區間亞,我2 3a,236.51, 236.34, 236.392-4.測量某物體重量共8次，測得數據（單位為g）為236.45 236.37, 236.48,

5、 236.47, 236.4Q求其算術平均值及其標準差。【解】選參考值X0 236.00,計算差值為Xi 236.00、 X0和殘差Vi等列于表中1 8或依算術平均值計算公式，n=8,直接求得：X - Xi 236.43（g）0.02510.06(g)計算標準差：用貝塞爾公式計算:, n 18 12-6 測量某電路電流共 5次，測得數據（單位為mA）為168.41, 168.54 168.59 168.4Q168.50.試求算術平均值及其標準差、或然誤差和平均誤差。解：2-7在立式測長儀上測量某校對量具，重復測量5次，測得數據（單位為mm）為20. 0015, 20.0014 20.0013

6、20.0015 20.0011若測量值服從正態分布，試以 99%的置信概率確定測 量結果。解：求算術平均值x i 20.0015mm n求測量列單次測量的標準差用貝塞爾公式計算：產 0 8 2.55 10 4mmnVic nnnQ用別捷爾斯公式計算：1.253;1.2530.0008 2.24 10 4 mm,n(n 1)、5 4求算術平均值的標準差求單次測量的極限誤差和算術平均值的極限誤差做法1 :因n=5較小，算術平均值的極限誤差應按t分布處理。現自由度為：v=n1 = 4; aV0.99= 0.01,查t分布表有：t =4.60單次測量的極限誤差：算術平均值的極限誤差：寫出最后測量結果L

7、 x limx 20.0015 5.24 10 4 mm做法2 :因假設測量值服從正態分布，并且置信概率P=2=99%,則=0.495,查正態分布積分表，得置信系數t 2.6單次測量的極限誤差：算術平均值的極限誤差：寫出最后測量結果2-10用某儀器測量工件尺寸，已知該儀器的標準差（7= 0.001mmi若要求測量的允許極限誤差為土 0.0015mm,而置彳9概率P為0.95時，應測量多少次？解：根據極限誤差的意義，有根據題目給定得已知條件，有查教材附錄表3 有若 n = 5, v=4, a =0.05,有 t=2.78,若 n = 4, v=3, a =0.05,有 t=3.18,即要達題意要

8、求，必須至少測量5 次。2-11已知某儀器測量的標準差為0.5叩。若在該儀器上，對某一軸徑測量一次，測得值為26.2025mm， 試寫出測量結果。若重復測量10次，測得值 （單位為 mm） 為26.2025， 26.2028，26.2028， 20.2025， 26.2026， 26.2022， 20.2023， 26.2025， 26.2026， 26.2022，試寫出測量結果。若手頭無該儀器測量的標準差值的資料，試由中10次重復測量的測量值，寫出上述、的測量結果。解： 單次測量的極限誤差以3(7計算所以測量結果可表示為：26.2025t 0.0015 (mm)10 重復測量10次，計算其算

9、術平均值為：xxi 26.2025(mm)i 1取與相同的置信度，算術平均值的標準差0.0005 = 1.58 10-4 mm,10的測量結果為limX 3 x 3 1.5810-44.74 10-45 10-4 mm則測量結果為：X 3 x 26.2025 0.0005 (mm) 若無該儀器測量的標準差資料，則依 10次重復測量數據計算標準差和表示測量結果。選參考值X0 26.202 ,計算差值XiXi 26.202、x0和殘差Vi等列于表中。用貝塞爾公式計算:n 2Vi i 1 n 142 10 84:2.2 10 mm10 1算術平均值的標準差:2.2 10.104一 =0.00007

10、mm取與相同的置信度,則測量結果為：X此時的測量結果為26.2025 3 0.0002226.2025 0.0006626.2025 0.0007(mm);26.2025 3 0.00007 26.2025 0.00021 26.2025 0.0002 (mm).2-13測量某角度共兩次，測得值為a 1=24。13' 36"，2=24。13' 24"，其標準差分別為61=3.1 "，2=13.8 "，試求加權算術平均值及其標準差。【解】已知各組測量的標準差，可確定各組的權。取：p1 19044, p2 961選取一。24 1336'

11、;',可由公式直接計算加權算術平均值和標準差：加權算術平均值的標準差的計算，先求兩測量結果的殘余誤差：算術平均值的標準差為：2-15.試證明n個相等精度測得值的平均值的權為 n乘以任一個測量值的權。【證明】因為等精度測量，可設 n個測得值的標準差均為,且其算術平均值的標準差為：x、n又設各測量值的權相等，即：Pi P2PiP0。n個相等精度測得值的平均值的權為px,則：n個相等精度測得值的平均值的權 內與各測得值的權p(i 1,2.n)的比為11n 1,px : Pi 2:二一：n:1 x i2-17 對某量進行 1畋測量，測得數據為 14.7, 15.0, 15.2, 14.8, 1

12、5.5, 14.6, 14.9, 14.8, 15.1,15.0,試判斷該測量列中是否存在系統誤差。解：先計算算術平均值：x 14.96。各測量數據的殘余誤差分別為： 根據殘余誤差觀察法：計算出的殘余誤差符號正負個數相同， 且無顯著變化規律，因此可判斷該測量列無變化的系統誤差存在。 采用不同公式計算標準差比較法。按貝塞爾公式：1 J一，n 10.6240.26310 1用別捷爾斯法計算：2nv1.253LJn(n 1)1.2532_ 0.26410 9令：一年 1.00410.263因為：22n 110 10.6670.004 ,故無根據懷疑測量列存在系統誤差。（馬利科夫準則）按殘余誤差校核法

13、：前5個殘余誤差和與后5個殘余誤差的差值為兩部分之差顯著不為0,則有理由認為測量列中含有系統誤差。阿卑-赫梅特準則所以測量列中含有周期性系統誤差（為什么會得出互為矛盾的結論？問題出在本題給出的數據存在粗大誤差-這就提醒我們在判斷是否有系統誤差前，應先剔除粗大誤差，然后再進行系統誤差判斷。）2-18、對某一線圈電感測量10次，前4次是和一個標準線圈比較得到的，后4次是和另一個標準線圈比較得到的，測得結果如下（單位為mH）:50.82, 50.83, 50.87, 50.89;50.78, 50.78, 50.75, 50.85, 50.82, 50.81試判斷前4次和后6次測量中是否存在系統誤差

14、。【解】將兩組數據混合排列，用秩和檢驗法有：所以有根據懷疑存在系統誤差2-19等精度測得某一電壓1瓶 測得結果（單位為V）為25.94 25.97, 25.98, 26.01, 26.04, 26.02, 26.04, 25.98, 25.96, 26.07。測量完畢后，發現測量裝置有接觸松動現象，為判明是 否因接觸不良而引入系統誤差，將接觸改善后，又重新做了 10次等精度測量，測得結果（單 位為 V）為25.93, 25.94, 25.98, 26.0? 26.01, 25.90, 25.93, 26.04, 25.94, 26.02 試用 t檢 驗法（取a=0.05）判斷兩組測量值之間是否

15、有系統誤差。【解】計算兩組測量結果的算術平均值：由尸10+10-2=18及取a=0.05,查t分布表，得t 2.1因t 1.48 t 2.1,故無根據懷疑兩組數據間存在線性系統誤差。2-20.對某量進行了 12次測量,測得數據為 20.06, 20.07, 20.06, 20.08, 20.10 20.12 20.11,20.14, 20.18, 20.18, 20.21, 20.19,試用兩種方法判斷該測量列中是否存在系統誤差12【解】先計算算術平均值：x x 20.125。各測量數據的殘余誤差分別為: i 1 根據殘余誤差觀察法：計算出的殘余誤差有規律地遞增， 在測量開始與結束時誤差符號相

16、反，故可判斷該測量列存在線性系統誤差。（馬利科夫準則）按殘余誤差校核法：前6個殘余誤差和與后6個殘余誤差的差值為兩部分之差顯著不為0,則有理由認為測量列中含有線性系統誤差。 采用不同公式計算標準差比較法。按貝塞爾公式：1r產 n 112 10.054nVi用別捷爾斯法計算：2 1.253-1二.n（n 1）0.551.2530.0612 1122 0.603n 112 10.11,故無根據懷疑測量列存在系統誤差。阿卑-赫梅特準則因為：u2 ,所以測量列中含有周期性系統誤差（又出現互為矛盾的結論，如何解釋呢？）2-21對某量進行兩組測量，測得數據如下:Xi0.620.861.131.131.16

17、1.181.201.211.221.261.301.341.391.411.57V0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95試用秩和檢驗法判斷兩組測量值之間是否有系統誤差。解：按照秩和檢驗法要求，將兩組數據混合排列成下表:T123456789101112131415Xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.30V0.991.121.211.25T161718192021222324252627282930Xi1.341.391.411.57y1.311.311.381.4

18、11.481.501.591.601.601.841.95T=1+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174因ni n2 15 10,秩和T近似服從正態分布，N(n1(n1.1), Jn1n2912口2.12由 a（ni（ni n2 1）232.5（,82（，1.1） 24.11 求出：2:12選取卞S率2 （t） 0.95,即（t） 0.475,查教材附表1有t 1.96。由于t t ,因此, 可以認為兩組數據間有系統誤差。選取置彳S概率99% （顯著度0.01）,即取（t） 0.495,由附錄表1查得：t 2.60。由于t 2.43 t 2.60

19、,故無根據懷疑兩組數據間有系統誤差。2-22 對某量進行 15 次測量，測得數據為 28.53 28.52, 28.50, 29.52, 28.53, 28.53, 28.50, 28.49, 28.49, 28.51, 28.53, 28.5? 28.49, 28.40, 28.50,若這些測得值已消除系統誤差，試用萊以特準則、格羅布斯準則和狄克松準則分別判別該測量列中是否含有粗大誤差的測 量值。【解】將有關計算數據：平均值、殘差M等列于表中：直接求得15個數據的算術平均值及其標準差：用萊以特準則判別粗大誤差因V4 0.95 30.795,故第4個測量數據含測量誤差，應當剔除。再對剩余的14

20、個測得值重新計算，得：由表知第14個測得值的殘余誤差：|v'（14） 0.17 30.1011,故也含粗大誤差，應剔除。再重復驗算，剩下的13個測得值已不包含粗大誤差。0.265 。 用格羅布斯準則判別 已經計算出15個測量數據的統計特征量：X 28.57,將測得的數據按從小到大的順序排列，有：2-26對某被測量x進行間接測量得：2x 1.44,3 x 2.18,4x 2.90 ,其權分別為5:1:1,試求x的測量結果及其標準差？1.44_2.18_2.90【解】x10.72, x2 0.727, x3 0.725,234選取 P1 5, P2 1,P3 1可由公式直接計算加權算術平均

21、值和標準差：加權算術平均值的標準差的計算，先求殘余誤差：算術平均值的標準差為：2-28測量圓盤的直徑D (72.003 0.052)mm ,按公式計算圓盤面積S D2/4,由于選取的有效數字位數不同，將對面積 S計算帶來系統誤差，為保證 S的計算精度與直徑測量精度相同，試確定的有效數字位數？【解】測得D的平均值為72.003mm由S工，得： 4當D有微小變化 D、 有變化時，S的變化量為：取4位有效數字第三章誤差的合成與分配3-2為求長方體體積 V,直接測量其各邊長為：a 161.6mm,b 44.5mm,c 11.2mm,已知測量的系統誤差為 a 1.2mm, b 0.8mm, c 0.5m

22、m ,測量的極限誤差為a 0.8mm, b 0.5mm, c 0.5mm ,試求立方體的體積及其體積的極限誤差。【解】立方體體積：V abc,若不考慮測得值的系統誤差，則計算體積為:體積V的系統誤差為:考慮測量系統誤差后的立方體體積:又直接測量值存在極限誤差，則間接測量體積存在的極限誤差為:故測量結果為：VHmV 77795.70 3729.1(mm3)33長方體的邊長分別為a 1, 02,03測量時：標準差均為（T ；標準差各為（7 1、（2、C3 o試求體積的標準差。解：長方體的體積計算公式為：V a1 a2 a3體積的標準差應為:(V2)(V)2 ；a3現可求出:V一 a2a1a3aia

23、3aia2a2a3則有：V(I2 ( V)2 ( V)2aa2 a3若：1若:則有： V(a2a3 ) 1 (aia3) 2 (aia2) 33-4測量某電路的電流I 22.5mA ,電壓U 12.6V ,測量的標準差分別為i 0.5mA, u 0.1V,求所耗功率P UI及其標準差p o【解】若不考慮測得值的誤差，則計算所耗功率為：且U、I完全線性相關，故P=1,所以若電壓、電流的測量結果相互獨立，則所耗功率標準差為3-6已知x與y的相關系數xy 1 ,試求u x2 ay的方差2。【解】屬于函數隨機誤差合成問題。3-12按公式V=，h求圓柱體體積，若已知r約為2cm, h約為20cm,要使體

24、積的相對誤差等于1%,試問r和h測量時誤差應為多少？解： 若不考慮測量誤差，圓柱體積為根據題意，體積測量的相對誤差為1%,即測定體積的相對誤差為：即 V 1% 251.2 1% 2.51現按等作用原則分配誤差，可以求出測定r的誤差應為:測定 h 的誤差應為：第四章 測量不確定度評定與表示測量不確定度的步驟可歸納為1) 分析測量不確定度的來源，列出對測量結果影響顯著的不確定度分量。2) 評定標注不確定度分量，并給出其數值ui 和自由度 vi 。3) 分析所有不確定度分量的相關性，確定各相關系數p ij。4) 求測量結果的合成標準不確定度，則將合成標準不確定度uc 及自由度 v .5) 若需要給出

25、展伸不確定度，則將合成標準不確定度uc 乘以包含因子 k ，得展伸不確定度U=kuc 。6)給出不確定度的最后報告，以規定的方式報告被測量的估計值y及合成標準不確定度uc或展伸不確定度U ，并說明獲得它們的細節。根據以上測量不確定度計算步驟。41某圓球的半徑為r,若重復10次測量得r± cr =(3.132± 0.005)cm試求該圓球最大截面的圓周和面積及圓球體積的測量不確定度，置信概率P=99。【解】求圓球的最大截面的圓周的測量不確定度D2r2其標準不確定度應為：u , D 2. 2 1IU URRR2 r2,4 3.141592 0.0052r'= 0.031

26、4cm確定包含因子。查t分布表t0.99 (9) = 3.25,及K = 3.25故圓球的最大截面的圓周的測量不確定度為：U = Ku = 3.25X 0.0314= 0.102求圓球的體積的測量不確定度圓球體積為：V 3r33其標準不確定度應為：u J 24 4 r2 2 2V16 3.141592 3.1324 0.00520.616r確定包含因子。查t分布表t0.01 (9) =3.25,及K = 3.25最后確定的圓球的體積的測量不確定度為U = Ku = 3.25X 0.616= 2.0024-3測量某電路電阻R兩端的電壓U,由公式I % 算出電路電流I。若測得U u (16.50準

27、不確定度。【解】I U /R0.05)V、R r (4.26 0.02),相關系數 ur 0.36,試求電流I的標4-6某數字電壓表的說明書指出，該表在校準后的兩年內，其2V量程的測量誤差不超過土（14X 106讀數+1 X106X量程）V,相對標準差為20%,若按均勻分布，求1V測量時電壓表 的標準不確定度；設在該表校準一年后，對標稱值為1V的電壓進行16次重復測量，得觀測值的平均值為0.92857V并由此算得單次測量的標準差為 0.000036M若以平均值作為測 量的估計值，試分析影響測量結果不確定度的主要來源，分別求出不確定度分量，說明評 定方法的類別，求測量結果的合成標準不確定度及其自

28、由度。【解】（1）測量誤差 根據相對標準差為20%由B類評定，根據12.5, V服從均勻分布，2（）2 u且2V量程測量誤差 （14 106讀數1 106量程），所以在區間（x-a,x+a）中一年后，對標稱值為1V的電壓進行16次重復測量（2）不確定度評定影響測量結果不確定度的主要來源：A 16次重復測量誤差B電壓表的示值誤差C電壓表的穩定度A測量重復誤差引起的不確定度電壓重復性引起的標準不確定度Ux1屬于A類評定B標準電壓表的示值誤差引起的標準不確定度 Ux2示值誤差按均勻分布計算，屬于 B類評定C穩定度引起的標準不確定度ux3電壓表穩定度按均勻分布，屬 B類評定合成標準不確定度Uc忘Ux2

29、2Ux32J(9106)2(8.08 10 6)2(1.15 10 6)228.0 10 6 28.0 V 自由4度：c4一匕4 28.0 10 6 28.0 VUx1 Ux2Ux31234-9用漏電測量儀直接測量正常使用中微波爐的泄漏電流，5次測量的平均值為 0.320mA,平均值的標準差為0.001mA;已知漏電測量儀的示值誤差范圍為5%,按均勻分布，取相對標準差為10% ;測量時環境溫度和濕度的影響范圍為2%，按三角分布，其相對標準差為25%;試給出泄漏電流測量的不確定度報告(置信概率為99%)。【解】(1)不確定度評定對泄漏電流測量不確定度影響顯著的因素有：A泄漏電流測量重復性引起的不

30、確定度 uiB示值誤差引起的不確定度U2C環境溫度與濕度引起的不確定度U3求Ui、U2、u3A測量重復誤差引起的不確定度示值誤差(均勻分布)：環境溫度(三角分布)：(2)不確定度合成因不確定度各個分量相互獨立，即 j 0,合成的不確定度為:4自由度：c Uc4r 57.1UiU2 U3123根據“三分之一準則”，對標準不確定度進行修約得(3)展伸不確定度取置信概率P 99%, =57,查t分布表，得t0.99(57) 2.68 ,泄漏電流測量的展伸不確定度為根據“三分之一準則”，對展伸不確定度進行修約得(4)不確定度報告1)用合成標準不確定度評定泄漏電流，則測量結果為： 2)用展伸不確定度評定

31、泄漏電流，則測量結果為:第五章 最小二乘法原理參數最小二乘法估計矩陣形式的簡單推導及回顧：且要求 VTV 最小，則：VTV(LT所以： (LLTLV L AXV L AX則：(L AX )T(L AX )XTAT )(L AX )LTAX XTATL XTATAX理論基礎：5-1由測量方程試求x、y的最小二乘法處理及其相應精度。【解】方法一（常規）1、列出誤差方程組分別對x,y求偏導，并令它們的結果為0 門口 14x 5y 13.4 5x 14y4.6由上式可解得結果：x=0.9626 y=0.01522.直接列表計算給出正規方程常數項和系數1319132.98.72.921-214-20.9

32、0.9-1.832-349-61.93.8-5.71414-513.4-4.6可得正規方程將 x,y 的結果代入分別求得：222222vi2 v12 v22 v32( 0.003)2 ( 0.0322) 2 (0.0204)0.00146由題已知， n 3， t 2 得由不定乘數的方程組解得d110.0819 d22 0.0819方法二(按矩陣形式計算) ：由誤差方程上式可以表示為v1l13 1xv2l 212即yv3l323可得： X x C 1ATL(ATA) 1ATL所以：0.9626 0.0152將最佳估計值代入誤差方程可得,將計算得到的數據代入式中為求出估計量x,y的標準差，首先求出

33、不定常數dj(i, j 1,2)。由已知，不定常數dj的系數與正規方程的系數相同，因而 dj是矩陣C1中各元素，即則可得估計量的標準差為5-5測力計示值與測量時的溫度t的對應值獨立測得如下表所示15182124273043.6143.6343.6843.7143.7443.78設t無誤差，F值隨t的變化呈線性關系F ko kt ,試給出線性方程中系數 和k的最小 二乘估計及其相應精度。解法一：利用矩陣求解，誤差方程 V L AX可寫成即k可得 X 0 C 1ATL (ATA) 1ATLk式中所以將最佳估計值代入誤差方程V L AX,得為求出估計量kc, k的標準差，需要求出不定乘數dj的系數，

34、而不定乘數dj的系數與正規方程的系數相同，因而dj是矩陣C1中各元素，即可得估計量的標準差為解法二：，由ViFi(ko kti)得正規方程組:正規方程為:6ko 135k 262.15135ko 3195k 5900.19解得:ko 43.4324k 0.01152解得:d11 3.38095d22 0.00635d11 0.00647.3.38095 0.00119 狂 0.00647.0.00635 0.0005165-7不等精度測量的方程組如下:x 3y 5.6,P 14x y 8.1集 2 ,；2x 3y 0.5,P3 3試求x,y的最小二乘法處理及其相應精度解法一：利用矩陣計算145

35、11 1414 11451629141將最佳估計值代入誤差方程可計算又知可得估計量的標準差為解法二：正規方程為3Pa2i 13Pa22i 14514Paiai245xy14y解得:d11d22Panli 62.2代入正規方程得:31.562.231.5解得1.4352.3520.02230.07155 10 將下面的非線性誤差方程組化成線性的形式， 并給出未知參數x1， x2 的二乘法處理及 其相應精度。解：1. 由前面三個線性的誤差方程V L A X 可解得x1， x2 的近似估計值x10， x20利用矩陣形式求解：可得 Xx1 =C 1ATL(ATA)1ATLx2式中所以2.取 人, X2 得近似值 Xio= 5.0700, X20= 8.200,令可將誤差方程線性化，現分別對測量方程求偏導則誤差方程化成線性方程組 V' L' AS,可得>1 =C1ATL' (ATA) 1ATL&