1、實驗九 096160081 李杰峰1、完成下列兩題中的任一題，給出分析過程并對結果作出必要的解釋：書上173頁的習題3；書上173頁的習題4；2、 建模解決野兔的數量問題：在某地區野兔的數量在連續十年的統計量（單位十萬）如下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析該數據，得出野兔的生長規律，并指出在哪些年內野兔的增長有異常現象，預測T=10時野兔的數量。4在5.3節正規戰爭模型（3）中，設乙方與甲方戰斗有效系數之比為初始兵力相同. (1) 問乙方取

2、勝時的剩余兵力是多少,乙方取勝的時間如何確定. (2) 若甲方在戰斗開始后有后備部隊以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負. 解:用表示甲、乙交戰雙方時刻t的士兵人數,則正規戰爭模型可近似表示為: 現求(1)的解: (1)的系數矩陣為.再由初始條件，得又由其解為 (1) 即乙方取勝時的剩余兵力數為又令注意到. (2) 若甲方在戰斗開始后有后備部隊以不變的速率增援.則 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為2、建模解決野兔的數量問題：在某地區野兔的數量在連續十年的統計量（單位十萬）如下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.31969

3、4.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析該數據，得出野兔的生長規律，并指出在哪些年內野兔的增長有異常現象，預測T=10時野兔的數量。解：問題重述：野兔生長問題。首先，野兔是生長在自然環境中的。自然很復雜，存在著許多影響種群發展的因素。我們知道，假如給野兔一個理想的環境，野兔數量是呈J型增長的。現實情況中，種群一般是呈S型增長的，從題中表格看出，野兔的數量并不是單一地增長，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。第四年到第七年，這三年野兔的數量不增反降，說明其間有影響野

4、兔生長的因素存在。我們探討了其中的因素：（1），兔子內部因素，競爭，雄雌比利失去平衡，老化嚴重等。（1），自然災害，比如說草原火災，使野兔生長環境遭到破壞；再如氣候反常，使野兔的產卵，交配受影響。（2），天敵的捕食，狼，狐貍等天敵大量地捕食使野兔生存受到威脅。（3），疾病的侵擾，野兔種群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。（4），人類的影響，城市擴建，使其棲息地面積減少；捕殺。考慮到上述因素，野兔的生長就不能完全用一個Logistic模型來模擬 假設：上述，野兔生長問題，我們假設（1）,假設它使處于自然的情況（沒有人的作用）,人類活動對其生存不產生影響。（2），假設各個環境因素對野兔生長

5、的影響是互不影響的。（3），假設兔子的內部因素對其生存率的影響不大。（4），假設野兔在各年齡段中的分布率不變，即年齡結構不變，并采用各種措施維持這一結構；那它是可以用Logistic模型來模擬的。 分析與建立模型：對于生物模型，首先考慮的是logistic模型，考慮到logistic模型的增長曲線是單調的，而題目所給的數據中有一段是下降的，這是反常的情況，而正常情況應當是單調上升的。考慮到可能在這段時間內有使野兔減少的因素。不能在整個時間段進行擬合，我們應當在每個單調區間上進行擬合。第一個單調增區間T=0T=1T=2T=312.319694.508536.90568第一個單調減區間T=3T=4

6、T=5T=66.905686.005125.564955.32807 第二個單調增區間T=6T=7T=8T=95.328077.561018.93929.5817我們把野兔生長情況分成了上表三個區間，建立野兔生長的logistic模型。模型的求解：對于logistic連續模型，設微分方程為 ，, （1）其中參數a，b 需要通過擬合得到。（1） 的解為. （2）設已知連續三年的數據，其中，則由（2）得方程組 (3) 這三個方程中有三個未知量可以解出a,b如下: 將（3）中第一式代入第二、三式消去x0， 得 (4)消去a 后得b 滿足的方程 (5)解得 . (6)代入(4) 的第一式得a 滿足的方

7、程 (3)求參數a,b的MATLAB程序function a,b, q=hare(p,T)% 輸入單調的連續三年數量p和時間間隔T(本題T=1), 輸出參數 a, b和下一年的數量qa=log(p(3)*(p(2)-p(1)/(p(1)*(p(3)-p(2);b=(p(2)2-p(3)*p(1)/(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3)/p(2);q=1/(b+(1/p(3)-b)*exp(-a*T)）;在第一個上升階段, 對于連續三年（0，1，2）和（1，2，3）分別計算得到二組a，b值0.99999629543280 0.09999899065418 在下降階段，對

8、于連續三年（3，4，5）和（4，5，6）分別計算得到的二組a，b值0.49999951470301 0.20000005321601 0.49998396474656 0.20000085565547 在第二個上升階段，對于連續三年（6，7，8）和（7，8，9）分別計算得到的二組a，b值當取a, b為最后一組數據時，t=10 時由(2) 得到預測數為9.84193（十萬）,當取a=1，b=0.1 時，預測數為9.84194（十萬）.結論是： 在 T=0 到T=3 之間增長規律為logistic模型：.在 T=3 到T=6 之間增長規律有異常情況, 但仍為logistic模型；：.在 T=6 到

9、T=9 之間增長規律恢復為logistic模型：.在T=10 時, 在正常情況下, 野兔數量為 9.84194（或9.84193）（十萬）只.數學建模實驗九096160075 楊振亞 09數基1. 在5.3節正規戰爭模型（3）中，設乙方與甲方戰斗有效系數之比為a/b=4，初始兵力與相同。（1） 問乙方取勝時的剩余兵力是多少，乙方取勝時間如何確定。（2） 若甲方在戰斗開始后有后備軍以不變的速率r增援，重新建立模型，討論如何判斷雙方的勝負。解 由5.3節圖11，乙方取勝時的剩余兵力為又因為，所以要確定乙方取勝時間，需求解方程組，可得：。令，由可以算出與甲方戰斗有效系數b成反比。（2） 在這種情況下

10、，戰爭模型（3）的第一個方程改為，相軌線為5.3節圖11中的軌線上移r/2a，乙方取勝的條件為即。2、 建模解決野兔的數量問題：在某地區野兔的數量在連續十年的統計量（單位十萬）如下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析該數據，得出野兔的生長規律，并指出在哪些年內野兔的增長有異常現象，預測T=10時野兔的數量。解 問題重述：野兔生長問題。首先，野兔是生長在自然環境中的。自然很復雜，存在著許多影響種群發展的因素。我們知道，假如給野兔一個理想的環境，野

11、兔數量是呈J型增長的。現實情況中，種群一般是呈S型增長的，從題中表格看出，野兔的數量并不是單一地增長，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。第四年到第七年，這三年野兔的數量不增反降，說明其間有影響野兔生長的因素存在。 分析與建立模型：對于生物模型，首先考慮的是logistic模型，考慮到logistic模型的增長曲線是單調的，而題目所給的數據中有一段是下降的，這是反常的情況，而正常情況應當是單調上升的。考慮到可能在這段時間內有使野兔減少的因素。不能在整個時間段進行擬合，我們應當在每個單調區間上進行擬合。第一個單調增區間T=0T=1T=2

12、T=312.319694.508536.90568第一個單調減區間T=3T=4T=5T=66.905686.005125.564955.32807 第二個單調增區間T=6T=7T=8T=95.328077.561018.93929.5817我們把野兔生長情況分成了上表三個區間，建立野兔生長的logistic模型。模型的求解：對于logistic連續模型，設微分方程為 ，, （1）其中參數a，b 需要通過擬合得到。（1） 的解為. （2）設已知連續三年的數據，其中，則由（2）得方程組 (3) 這三個方程中有三個未知量可以解出a,b如下: 將（3）中第一式代入第二、三式消去x0， 得 (4)消去a

13、 后得b 滿足的方程 (5)解得 . (6)代入(4) 的第一式得a 滿足的方程 (3)求參數a,b的MATLAB程序function a,b, q=hare(p,T)% 輸入單調的連續三年數量p和時間間隔T(本題T=1), 輸出參數 a, b和下一年的數量qa=log(p(3)*(p(2)-p(1)/(p(1)*(p(3)-p(2);b=(p(2)2-p(3)*p(1)/(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3)/p(2);q=1/(b+(1/p(3)-b)*exp(-a*T)）;在第一個上升階段, 對于連續三年（0，1，2）和（1，2，3）分別計算得到二組a，b值0.

14、99999629543280 0.09999899065418 在下降階段，對于連續三年（3，4，5）和（4，5，6）分別計算得到的二組a，b值0.49999951470301 0.20000005321601 0.49998396474656 0.20000085565547 在第二個上升階段，對于連續三年（6，7，8）和（7，8，9）分別計算得到的二組a，b值當取a, b為最后一組數據時，t=10 時由(2) 得到預測數為9.84193十萬,當取a=1，b=0.1 時，預測數為9.84194十萬.結論是： 在 T=0 到T=3 之間增長規律為logistic模型：.在 T=3 到T=6 之

15、間增長規律有異常情況, 但仍為logistic模型；：.在 T=6 到T=9 之間增長規律恢復為logistic模型：.在T=10 時, 在正常情況下, 野兔數量為 9.84194（或9.84193）十萬只. 實驗九096160025 孫少波1、完成下列兩題中的任一題，給出分析過程并對結果作出必要的解釋：書上173頁的習題3；書上173頁的習題4；2、 建模解決野兔的數量問題：在某地區野兔的數量在連續十年的統計量（單位十萬）如下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93

16、929.5817分析該數據，得出野兔的生長規律，并指出在哪些年內野兔的增長有異常現象，預測T=10時野兔的數量。4.在5.3節正規戰爭模型（3）中，設乙方與甲方戰斗有效系數之比為初始兵力相同. (1) 問乙方取勝時的剩余兵力是多少,乙方取勝的時間如何確定. (2) 若甲方在戰斗開始后有后備部隊以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負. 解：(1) 即乙方取勝時的剩余兵力數為又令注意到. (2) 若甲方在戰斗開始后有后備部隊以不變的速率增援.則 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為3、 建模解決野兔的數量問題：在某地區野兔的數量在連續十年的統計量（單位十萬）如

17、下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析該數據，得出野兔的生長規律，并指出在哪些年內野兔的增長有異常現象，預測T=10時野兔的數量。解：對于logistic連續模型，設微分方程為 ，, （1）其中參數， 需要通過擬合得到。（1） 的解為. （2）設已知連續三年的數據，其中，則由（2）得方程組 (3) 這三個方程中有三個未知量可以解出a,b如下: 將（3）中第一式代入第二、三式消去x0， 得 (4)消去后得滿足的方程 (5)解得 . (6)代入(4

18、) 的第一式得滿足的方程 (3)求參數,的MATLAB程序function a,b,q=hare(p,T)a=log(p(3)*(p(2)-p(1)/(p(1)*(p(3)-p(2);b=(p(2)2-p(3)*p(1)/(p(2)*(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3);q=1/(b+(1/p(3)-b)*exp(-a*T)）;在第一個上升階段, 對于連續三年（0，1，2）和（1，2，3）分別計算得到二組值>> p=1;2.31969;4.50853;T=1;>> a,b,q=hare(p,T)a =1.0000 b =0.1000 q =6.9057>> p=2.31969;4.50853;6.90568;T=1;>> a,b,q=hare(p,T)a =1.0000 b =0.1000 q = 8.5849 在下降階段，對于連續三年（3，4，5）和（4，5，6）分別計算得到的二組值>