1、.余弦定理的前世 學夫子假如要算起最古老的數學定理，那自是勾股定理遠在幾千年前的巴比倫時期就已經存在；要算起證明方法最多的數學定理，那也是勾股定理有四五百種方法，愛因斯坦，美國總統這些人都參與進來。今日讓我們簡單回味一下勾股定理的前世今生，對這偉大的數學定理重新瞻仰。勾股定理的最早記錄，來自美索不達米亞時期的數學泥版。在一塊泥版上，刻著“構成直角三角形的各邊長，比方3,4,5，5,12,13等，這大概是最早的畢達哥拉斯數組的最早記錄，雖然其遠在畢達哥拉斯之前。不過，巴比倫人并沒有將之寫成統一的數學形式，他們只是將這些數組列成表格，方便計算。很顯然，這個時期的數學都是為理解決實際問題。而且嚴格來

2、說，巴比倫人也沒有發現真正的勾股定理，但這作為勾股定理的雛形是絕對有道理的，因為畢達哥拉斯本人都很有可能是從巴比倫人那里學到了勾股定理。這事一下子就得跳到古希臘時期，正如我們所知道的，由畢氏學派發現了勾股定理的一般形式。勾股定理在西方也就被冠以“畢達哥拉斯定理的稱號，在中國，最早記錄勾股定理的文獻，應該是?周髀算經?。不管怎么說，勾股定理的形式也就完全確定下來，至此以后就再也沒有變過。但對其不斷的證明和探究卻沒有停頓，直到如今仍然如此愛因斯坦就是因為他獨立證明出了勾股定理，產生出了對數學的興趣，由此走上科學之路，有不明真相的童鞋據此寫下這樣一個等式：E=Mc2=Ma2+b2。與我們知道的不同，

3、古時的勾股定理并非如我們如今的形式兩直角邊平方和等于斜邊的平方。古希臘人對幾何的崇拜，使得勾股定理的描繪形式在很長一段時間里都是幾何語言兩直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積。所以有后人對其表述形式作出了推廣，比方將正方形改成三個相似圖形。由于勾股定理作用在直角三角形中如此有效，人們自然會想到一般的三角形會不會由此類似的結論，對余弦定理的討論由此展開。當然，由于在古代尚未開展處“三角函數，甚至于連角度的概念都沒有完全形成，所以所出現的余弦定理都只是現代余弦定理的幾何等價形式。比方古希臘時期歐幾里得，在其?幾何本來?里就闡述了幾條余弦定理的等價命題：1：在鈍角三角形中，鈍角對邊上的正方

4、形，比鈍角兩夾邊上的正方形之和大一個矩形的兩倍，這個矩形就是由一銳角向對邊的延長線做垂線，垂足到鈍角之間一段與另一邊所構成的矩形。2：在銳角三角形中，銳角對邊上的正方形，比銳角兩夾邊上的正方形之和小一個矩形的兩倍，這個矩形就是由一銳角向對邊做垂線，垂足到原銳角頂點之間的一段與該邊所構成的矩形。將這兩個命題翻譯成幾何語言，就是在如以下圖所示的圖形中：到了希臘的“白銀時代，著名數學家帕普斯也對勾股定理進展了有意思的推廣：在一個任意三角形ABC中，帕普斯在AB邊上做一個平行四邊形ABDE，在BC邊上做平行四邊形BCFG，然后在AC邊上做一個平行四邊形，使其面積等于ABDE和BCFG之和。要實現這個目

5、的并不難，只需延長ED和FG，使其交于H點，連接HB并延長之并交AC于J，做AL平行HJ，CK平行HJ，交ED和GF于L點和F點，那么平行四邊形ALKC就是所作的。假如把兩個平行四邊形變成正方形，那這個結論就更像勾股定理的推廣了。十世紀左右阿拉伯的庫拉也有他的“余弦定理：庫拉的推廣非常有意思，這實際上是對歐幾里得證明勾股定理時所采用的紙風車圖所做的很優美的一般化，唐宋或更早之前，針對“經學“律學“算學和“書學各科目，其相應傳授者稱為“博士，這與當今“博士含義已經相去甚遠。而對那些特別講授“武事或講解“經籍者，又稱“講師。“教授和“助教均原為學官稱謂。前者始于宋，乃“宗學“律學“醫學“武學等科目

6、的講授者；而后者那么于西晉武帝時代即已設立了，主要協助國子、博士培養生徒。“助教在古代不僅要作入流的學問，其教書育人的職責也十清楚晰。唐代國子學、太學等所設之“助教一席，也是當朝打眼的學官。至明清兩代，只設國子監國子學一科的“助教，其身價不謂顯赫，也稱得上朝廷要員。至此，無論是“博士“講師，還是“教授“助教，其今日老師應具有的根本概念都具有了。如左圖所示，在三角形ABC各邊做正方形，并從A點畫兩條直線AF與AG交BC于F和G，且AFB=AGC=A，又作FH平行于GI平行于BD，那么有：AB和AC邊上的正方形面積之和，等于BC邊上的正方形面積減去矩形FGJH面積。雖然庫拉并沒有給出證明，但這個結

7、論很容易運用相似三角形的原理進展證明。庫拉時代早已具備這些內容。死記硬背是一種傳統的教學方式,在我國有悠久的歷史。但隨著素質教育的開展,死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學生才能開展的教學方式,漸漸為人們所摒棄;而另一方面,老師們又為進步學生的語文素養煞費苦心。其實,只要應用得當,“死記硬背與進步學生素質并不矛盾。相反,它恰是進步學生語文程度的重要前提和根底。其實,任何一門學科都離不開死記硬背,關鍵是記憶有技巧,“死記之后會“活用。不記住那些根底知識,怎么會向高層次進軍?尤其是語文學科涉獵的范圍很廣,要真正進步學生的寫作程度,單靠分析文章的寫作技巧是遠遠不夠的,必須從根底知識抓起,每天擠一點時間讓學生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會在有限的時間、空間里給學生的腦海里注入無限的內容。日積