1、第四章第四章 截交線和相貫線截交線和相貫線第二節第二節 平面與回轉體相交平面與回轉體相交第三節第三節 兩回轉體表面的相貫線兩回轉體表面的相貫線第一節第一節 平面立體的截交線平面立體的截交線4-1 4-1 平面立體被截切平面立體被截切 截切截切用一個與立體相交的平面， 截去立體的一部分。 截平面截平面用以截切立體的平面。 截交線截交線截平面與立體表面的交線。 截斷面截斷面因截平面的截切，在立體上形成的平面。截斷面概念：概念：截交線截平面 截交線的性質：截交線是一封閉的平面多邊形，它是截平面與立體表面的共有線。 實質：求兩平面的交線。 求截交線的方法 ： 空間分析：分析截平面與立體的相對位置，確定

2、截交線的形狀。分析截平面與投影面的相對位置。確定截交線的投影特性。 畫投影圖：求出平面立體上被截斷的各棱線與截平面的交點，然后順次連直線。 求各棱線與截平面的交點的方法是棱線法。4例1：求作四棱錐被截切后的水平投影和側面投影。分析：截平面為正垂面截交線的正面投影積聚為直線。截平面與四條棱線相交，從正面可直接找出交點。1122(4)33作出各對應點的投影，依次連接各點。 補全棱錐體的外形投影。4132 被截切后的投影圖：例2：正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。分析：由圖可知，截交線的正面投影積聚為一直線。水平投影，除頂面上的截交線外，其余各段截交線都積聚在六邊形上。112 （3）234 （

3、5）45123456（7）6767完成后的投影圖例3：作四棱柱被截切后的投影。a(b)baab分析：四棱柱的上部被一個正垂面和一個側平面所截切，因四棱柱的四個棱面均垂直于水平面，截平面與棱線的交點均在棱面的投影上。此題還應作出兩截平面的交線AB的投影。BA 完成后的投影圖4-2 4-2 平面與回轉體相交平面與回轉體相交截交線的性質： 截交線是截平面和回轉體表面的共有線，截交線上任意點 都是它們的共有點。 截交線是封閉的平面圖形。 截交線的形狀，取決于回轉體表面的形狀及截平面相對于 回轉體軸線的位置。求截交線的方法和步驟： 分析回轉體的表面性質、截平面與投影面的相對位置、截 平面與回轉體的相對位

4、置，初步判斷截交線的形狀及其投 影特性。 求出截交線上的點，首先找特殊點，然后補充一般點。 補全輪廓線，光滑地連接各點，得到截交線的投影。 截平面與圓柱面截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對位置。P 截平面與圓柱軸線平行，截交線為矩形一、平面與圓柱體相交一、平面與圓柱體相交PHP截平面與圓柱軸線傾斜截交線為橢圓P截平面與圓柱軸線垂直截交線為圓PvPv 例1：求斜切圓柱體的投影，已知正面和水平面 投影，完成側面投影。1 2 1 2 12 3(4) 4 343a a(b) b abc(d) c d cd 作圖過程： 求特殊點 即找最高、最低、最左、最右、最前、最后點可確定出橢圓長、短軸的端點。

5、 求一般點 從正面投影上選取A、B、C、D四點分別求出水平面和側面投影。 光滑地連接各點。例2：已知圓柱截斷體的正面和側面投影，求水平投影。分析：圓柱的軸線是側垂線，截斷體分別由側平面、正垂面、水平面截切圓柱體而成的。 側平面與圓柱軸線垂直，截交線為圓弧，其正面投影為直線，側面投影為圓弧。 正垂面與圓柱軸線傾斜，截交線為部分橢圓，正面投影為直線，側面投影與圓重合。 水平面與圓柱軸線平行截交線為矩形，正面、側面投影均直線。1 1 2 2(3) 2 33 4 (5) 4 4 5 56(7 )766 7 8 (9 ) 89 8 9 a (b ) a b a b 1 完成后的投影圖2例3：求開槽圓柱的

6、左視圖。分析：槽是由三個截平面形成的，左右對稱的兩個截平面是平行于圓柱軸線的側平面，它們與圓柱面的截交線均為兩條直素線，與上底面的截交線為正垂線。另一個截平面是垂直于圓柱軸線的水平面，它與圓柱面的截交線為兩段圓弧。三個截平面間產生了兩條交線，均為正垂線。1（2） 1 3（4） 45（6） 56 6 5 3 1 3 42 完成后的投影圖Pv 截平面與錐體的截切位置和軸線傾角不同，截交線的形狀不同。截平面垂直于圓錐軸線，傾角為=90，截交線為圓形。Pv截平面與圓錐軸線傾斜，傾角截交線為橢圓。二、平面與圓錐體相交二、平面與圓錐體相交PvPv截平面與圓錐軸線傾斜面，傾角=截交線為拋物線。截平面過錐頂截

7、交線為三角形。Pv截平面與圓錐軸線平行或傾角，截交線為雙曲線。 例1：已知圓錐體的正面投影和部分水平面投影，求斜切圓錐體的水平投影和側面投影。 圓錐體的軸線為鉛垂線，截平面與圓錐軸線的傾角大于圓錐母線與軸線的夾角，截交線為橢圓。截平面是正垂面，截交線的正面投影為直線。 aa b b a b c(d )c cd kl kkl d l 完成后的三視圖作圖：1.求特殊點 最低點A，最高點B；圓錐體的前后素線與截交線的正面投影的交點cd重影為一點，其余兩面投影根據投影關系，求出；截交線的最前點K和最后點L，正面投影重影于ab的中點。2.求一般點。3.光滑連接各點的同面投影。例2：已知頂尖被截切后的正面

8、和側面投影，求作水平投影。分析：頂尖頭是由相連的圓錐體和圓柱體被兩個平面截切而成，軸線為側垂線，截平面分別為側平面和水平面。 側平面與圓柱軸線垂直，與圓柱的截交線為圓弧，正面投影為直線，側面投影為圓弧的實形。 水平面與圓柱的截交線為開口矩形，與圓錐的截交線為雙曲線，其正面和側面投影均為直線 。a b (c) a a b c b cdede e d f f f gh g h g h 球被平面截切，截交線均為圓。由于截平面位置不同，截交線的投影有二種情況：Ph 截平面為平行面，在所平行的投影面上的投影為截交線圓的實形。三、平面與球體相交三、平面與球體相交Pv 截平面為垂直面，在所垂直的投影面上，截

9、交線的投影為直線。在其它投影面上截交線的投影為橢圓。例1：已知圓球體被截切后的正面投影，求作水平投影。ab ba efcd g(h ) gh分析：截平面為正垂面，截交線的正面投影為直線，水平投影為橢圓。作圖：1.求特殊點 截交線的最低點A和最高點B也是最左點和最右點，還是截交線水平投影橢圓短軸的端點，水平投影a、b在其正面投影輪廓線的水平投影上。 ef是截交線與球的水平投影輪廓線的正面投影的交點，其水平投影ef在球的水平投影輪廓線上。 ab的中點 c d是截交線的水平投影橢圓長軸端點的正面投影，其水平投影c、d投影在輔助緯圓上。2.求一般點 選擇適當位置作輔助水平面，與 ab的交點g 、h為截

10、交線上兩個點的正面投影，其水平投影g、h投影在輔助緯圓上。e (f ) c(d) 例2：已知帶通槽半球的正面投影，完成水平和側面投影。分析：半球的通槽由三個平面構成，一個水平面和兩個側平面截切圓球，它們與球面的截交線都是分別平行于投影面的圓弧。1、通槽的水平投影作圖：過槽底部作輔助水平面，水平投影為圓，并在圓周上截取與正面投影相對應的前后兩段圓弧。2、通槽側面投影的作圖：兩側平面距球心等遠，兩圓弧的半徑相等，兩段圓弧的側面投影重合。作圖的關鍵是確定截交圓弧的半徑，可根據截平面位置確定。4-3 4-3 兩回轉體表面的相貫線兩回轉體表面的相貫線 相貫線性質：相貫線性質： 共有性相貫線是兩立體表面的

11、共有線。 表面性相貫線位于兩立體的表面上。 封閉性相貫線一般是封閉的空間曲線。兩回轉體的相交叫相貫，其表面產生的交線叫相貫線。 作圖方法：作圖方法：找兩回轉體表面上的一系列共有點的投影。求共有點的方法有：積聚性法和輔助平面法。輔助平面法：輔助平面法：根據三面共點原理，利用輔助平面求出兩回 轉體表面上的共有點。 作圖步驟：作圖步驟：v 分析兩回轉體表面性質，即兩回轉體相對位置和相交情況。v 求相貫線上的特殊點。v 求相貫線上的一般點。假想用輔助平面截切兩回轉體，分 別得出兩回轉體表面的截交線，截交線的交點是相貫線上 的點。 選擇輔助平面的原則：選擇輔助平面的原則： 使輔助平面與兩回轉體表面的截交

12、線的投影是最簡單形狀（直線或圓）。一般選投影面平行面。相交兩回轉體的相互位置不同可分為正交、偏交、斜交。 例1：如圖示，求兩圓柱正交的相貫線。相貫線投影相貫線投影a ba b a b cdc (d)cd12 1 (2 ) 12分析：兩圓柱體軸線垂直相交，其軸線分別為鉛垂線和側垂線，因此小圓柱的水平投影和大圓柱的側面投影都具有積聚性。相貫線的水平投影積聚在圓周上，側面投影積聚于圓周的一部分。一、兩圓柱相交作圖：求特殊點：a、b就是兩圓柱表面共有點的正面投影，也是相貫線的最高點、最左點、最右點。從側面投影輪廓線的交點求得相貫線最前點、最后點的側面投影c、d，由從屬關系求出其余兩面投影。求一般點：作

13、輔助正平面，與兩圓柱的交線均為矩形，其側面投影1、2和水平面投影1、2分別在圓周與平面投影的交點上。完成后的投影圖例2：已知一圓柱體上有一圓柱孔，求相貫線。a b a ba (b) cd c (d)cd1 2 1(2) 12完成后的相貫線投影圖例：求圓柱和圓錐相貫線的正面和側面投影。分析：圓柱與圓錐的軸線相互垂直，圓柱的軸線是側垂線，圓錐的軸線是鉛垂線。相貫線的側面投影積聚在圓柱側面投影的圓周上。用輔助平面法作圖。作圖：求特殊點 A、B是最高點和最低點；過圓柱的最前、最后轉向輪廓線作輔助水平面，可求得相貫線最前、最后點的投影。 a b a a bb d ccd cd 求一般點 作輔助水平面。1

14、2 12 12 34 3 4 34連相貫線，判別可見性。二、圓柱與圓錐相交完成后的相貫線三視圖 1.兩回轉體共軸線相交 兩回轉體有一個公共軸線相交時，它們的相貫線都是平面曲線圓。圓柱與圓錐共軸圓柱與圓錐共軸圓柱與球共軸圓柱與球共軸三、相貫線的特殊情況2.兩圓柱體直徑相等且軸線相交相貫線為兩個相同的橢圓，橢圓平面垂直于兩軸線所決定的平面。例：已知兩軸相交圓柱孔的水平和側面投影，作出其相貫線的正面投影。分析：兩圓柱孔是等直徑孔，它們的相貫線為橢圓。兩回轉體的軸線都平行于正面，相貫線的正面投影為直線。小結：小結： 一、平面體的截交線一般情況下是由直線組成的封閉的平面 多邊形，多邊形的邊是截平面與棱面的交線。二、平面截切回轉體，截交線的形狀取決于截平面與被截立 體軸線的相對位置。 截交線是截平面與回轉體表面的共有線。三、解題方法與步驟1.空間及投影分析2）分析截平面與被截立體對投影面的相對位置以確定截交線 的投影特性。1）分析截平面與被截立體的相對位置，以確定截交線的形狀。