1、橢圓的標準方程及其幾何性質1.橢圓定義:（1）第一定義：平面內與兩個定點F,、F2的距離之和為常數 2a（2a |F2F21）的動點P的軌跡叫橢圓其中兩個定點F,、F2叫橢圓的焦點當PFPF2 =2aFiF2時，P的軌跡為橢圓；當PFPF2 =2a£F,F2時，P的軌跡不存在；當PF, PF2 2F,F2時，P的軌跡為 以F,、F2為端點的線段（2）橢圓的第二定義：平面內到定點F與定直線1（定點F不在定直線l上）的距離之比是常 數e（ 0 : e ： 1）的點的軌跡為橢圓（利用第二定義，可以實現橢圓上的動點到焦點的距離與到相應準線的距離相互轉化）.2.橢圓的方程與幾何性質標準方程2

2、2xy-+-2 =1(a >b A。)ab2 2yx-+-T =1(a >b a0)ab性質參數關系2 2 2 a =b +c焦占八 '、八、(c，0)，(-c，0)(0, c)，(0，-c)焦距2c范圍|x|蘭a,| y 匡b1 y匡 a,|x|蘭b頂點(-a,0),(a,0),(0T),(0,b)(0-a)，(0, a),(-b,0),(b,0)對稱性關于x軸、y軸和原點對稱離心率ce = * (0,1)a準線2x=±ac2y 士c2 23. 點P（xo, yo）與橢圓務當=i（a -b .0）的位置關系：a b2 222 2 2當 H 時，點P在橢圓外；當

3、丄時,點P在橢圓內；當工二,時，點P在22 才12.2才丨2.21a ba ba b橢圓上；4. 直線與橢圓的位置關系直線與橢圓相交0；直線與橢圓相切 =厶=0;直線與橢圓相離 =：-0例題分析：題1寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：兩個焦點坐標分別是（-4,0） 、（4，0），橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10;3 5兩個焦點坐標分別是（0， 2）和（0,2 ）且過（一上，上）.2 2（3）兩個焦點坐標分別是（-3 , 0） , （3 , 0），橢圓經過點（5 , 0）.（4）兩個焦點坐標分別是（0，5），（0,-5），橢圓上一點P到兩焦點的距離和為26.（5）焦點在y軸上，與y軸的一個

4、交點為P（0， 10），P到它較近的一個焦點的距離等于2.解：（1）因為橢圓的焦點在 X軸上，所以設它的標準方程為2 2x y ”2 2 " （a b 0） a b2a = 10,2c = 8.a = 5,c = 42 2 2 2 2.b a -c 5 -492 2所以所求橢圓標準方程為 -y 1259 因為橢圓的焦點在 y軸上，所以設它的標準方程為2 2每筈=1 （a b 0）a b由橢圓的定義知，3 2523 2522a（-2）（2 2）2 + ；（一2）（2一2）23 1=J10 += 2/102 2a = . 10 又 c = 22£2 X1062 二 a-422X

5、所以所求標準方程為另法：b2 二 a2 -c2可設所求方程上2ab2 二 a2 - c2 二10_4二63 52=1，后將點（- ,衛）的坐標代入可求出 a，從而求a-42 2出橢圓方程（3） 橢圓的焦點在 x軸上，所以設它的標準方程為:/ 2a =J(5+3)_ +0 +丁(53)_ +0 =10, 2c=6.二 a =5,=3 b2 =a2 -c2=52 _32 =162 2所求橢圓的方程為：x y =1.2516橢圓的焦點在 y軸上，所以設它的標準方程為2 2與 x -1(a b 0).a bb2 =a2 -c2 =144.2 2所求橢圓方程為：丄 x 1169144(5)t橢圓的焦點在

6、y軸上，所以可設它的標準方程為:2 y 2 ax2= 1(a b 0) p(o,io)在橢圓上， a =io 又 P到它較近的一焦點的距離等于2, - c ( 10)=2,故 c=8.b2 二a2 -c2 =36.2 2所求橢圓的標準方程是 丄 x 1.10036題2。已知B, C是兩個定點，丨BC | = 6，且 ABC的周長等于16,求頂點A的軌跡方程+解：以BC所在直線為x軸，BC中垂線為y軸建立直角yA坐標系，設頂點A(x, y)，根據已知條件得|AB|+|AC|=10 *再根據橢圓定義得 a =5, c =3,b = 4 +所以頂點A的軌跡方程為2 2= 1( y豐0)(特別強調檢驗

7、)2516因為A為厶ABC的頂點，故點 A不在X軸上，所以方程中要注明 y工0的條件. 題3。在厶ABC中, BC=24, AC AB的兩條中線之和為 39,求厶ABC的重心軌跡方程 分析：以BC所在直線為x軸，BC的中垂線為y軸建立如圖y所示的平面直角坐標系，M為重心，則2| MB+| MC= _ 33E39=26./ F根據橢圓定義可知，占八、M的軌跡是以B、C為焦點的橢1” mZJr JF22BO Cx圓，故所求橢圓方程為x+ y -1 ( y豐0)+ 169252題4。已知x軸上的一定點 A（ 1,0），Q為橢圓 乞 + y2 =1上的動點，求AQ中點M的軌跡方程4解：設動點 M的坐標

8、為（x,y），則Q的坐標為（2x_1,2y）.2因為點Q為橢圓y2 =1上的點,4所以有(2x 1)2(2y)2 =1，即(x-丄)2 4y2 =142yQ-M-2OA2*1 所以點M的軌跡方程是（x-丄）24y2 =1 .22 題5。長度為2的線段AB的兩個端點 A B分別在x軸、y軸上滑動，點M分AB的比為一，3求點M的軌跡方程+55解：設動點M的坐標為（x,y），則A的坐標為（x,0）. B的坐標為（0, y） +3 2因為 | AB |= 2，所以有 (5 x)2(5 y)2 = 4，即至 x225 y2 =43 29425 225 2所以點M的軌跡方程是£ x2 25 y2

9、 = 4 .94題6。已知定圓x2 y-6x-55 = 0，動圓M和已知圓內切且過 點P（-3，0），求圓心M的軌跡及其方程”分析：由兩圓內切，圓心距等于半徑之差的絕對值*根據圖形，用數學符號表示此結論：MQ = 8 MP上式可以變形為 MQ +MP =8，又因為PQ=6c8，所以圓心M的軌跡是以P, Q為焦點的橢圓解已知圓可化為：(x 3f+y2=64圓心Q(3, 0) , r =8，所以P在定圓內*設動圓圓心為 M(x,y)，貝U MP為半徑*又圓M即MQ +MP =8 ,故M的軌跡是以和圓Q內切，所以 MQ =8-MP ,P, Q為焦點的橢圓，且PQ中點為原點，所以2a =8 ,b2 =

10、7，故動圓圓心 M的軌跡方程是:2 2x y 167x4題7o ABC的兩個頂點坐標分別是B(0,6)和qo , -6),另兩邊AB AC的斜率的乘積是-,9求頂點A的軌跡方程.選題意圖：鞏固求曲線方程的一般方法，建立借助方程對應曲線后舍點的解題意思，訓練根據條件對一些點進行取舍 .解：設頂點A的坐標為(x, y).y6 y 6依題意得x x頂點A的軌跡方程為2 2丄=1( y = _6).81362 y 2說明：方程8136=1對應的橢圓與 y軸有兩個交點，而此兩交點為(0 ,6 )與(0 , 6)應舍去.題& P為橢圓2 2y 1上的點，且p與Fi,F2的連線互相垂直，求r259解

11、：由題意，得(5-電 X。)2 (5 4x。)2 = 6 xo, y255168116才的坐標為(口島,(445一7 9、/V,；)，(5.79THxx題9.橢圓- y 1上不同三點A(X1,yJ, B(4,9),C(X2，y2)與焦點F(4,0)的距離成2595等差數列，求證x1x 8 *4 44證明：由題意，得(5 xj * (5 x2) = 2(5 4 x1 - x2 =85 55題10.設P是以0為中心的橢圓上任意一點，f2為右-廠- 一P6A1 F10Qa2x焦點，求證：以線段 f2p為直徑的圓與此橢圓長軸為直徑的圓內切2 2證明：設橢圓方程為 x2=1,( a . b . 0),a

12、 b焦半徑F_P是圓的直徑,則由aPF< 2'PF<IPF<。知，兩圓半徑之差等于圓心距,2 2 2所以，以線段F2P為直徑的圓與此橢圓長軸為直徑的圓內切題11。已知橢圓的焦點是Fd-IQhFzO,。), P為橢圓上一點，且I F,F2 I是I PF, |和|PF2 |的等差中項.(1) 求橢圓的方程；(2) 若點P在第三象限，且/ PFiF2 = 120°,求tanFiPF2.選題意圖：綜合考查數列與橢圓標準方程的基礎知識，靈活運用等比定理進行解題解：(1)由題設 I PF1 | + | PF2 |=2| F1F2 |= 42a = 4 , 2 c=2,b

13、=2 2橢圓的方程為-y 1.43F1OF2(2)設/ F1PF -二，則/ PF2 F1 = 60°- 0由正弦定理得:證| _ |PF2| _|PF1sinsin120sin(60 -巧由等比定理得:證| _|pf+|pf2sin - sin 120 sin(60 -乃2_4sin r . 3+ si n(60 8)2整理得：5sin v - .3(1 cost)Sin3 故 tan 31 + cos 日522題12.已知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在坐標軸上，直線y=x+1與橢圓相交于點 P和點Q,且OP丄OQ, IPQF0，求橢圓方程.2解：設橢圓方程為 mx2+ny2=1

14、(m>0, n>0),設 P (X1, y1), Q (X2, y2),解方程組y=x+1,22mx +ny =1.消去y ,整理得(m+n) x2+2 nx+n 仁0. =4n 4 ( m+n) ( n 1) >0 ,即 m+n mn>0 , OP丄 OQ= x1x2+y1y2=0 ,即 X1x2+( X1+1)(X2+1) =0,2x1x2+(xi+x2)+1= 0,二 2n+1=0.m + n m nm+n=2.由弦長公式得224(m n mn)(m n)22,將m+ n=2代入,得 m2 n=4-1 m=,23 n=22橢圓方程為解得r 3m=2,1=_ .23

15、y2=12或 3x2+22乙=1.2題13.直線l過點M (1,1 ),與橢圓2X +24 L1相交于A B兩點，若AB的中點為試求直線I的方程.解：設 A (X1 , yj、B (X2, y2),2 2則乞+里=1,432 2X2y2,+ =1.4 3，得=0.(X1 X2)(X1 +X2) + (y1 y2)(y1 +y2)4 3yy = 32 為 +X2X1 -X24 y1 y2又 M為AB中點，二 X1 +X2=2, yi+y2=2.直線I的斜率為一4直線I的方程為y仁一(x 1),4即 3x+4y 7=0.題14。已知橢圓C的中心為坐標原點 O,個長軸端點為 0,1 ，短軸端點和焦點

16、所組成的四邊形為正方形，直線I與y軸交于點P(0, m)，與橢圓C交于相異兩點A、B，且AP二3PB .(1)求橢圓方程；(2 )求m的取值范圍.【解題思路】通過 AP =3PB，溝通A、B兩點的坐標關系，再利用判別式和根與系數關系 得到一個關于m的不等式、y2 x2解析(1 )由題意可知橢圓 C為焦點在y軸上的橢圓，可設2 = 1 (a b 0)a bJ2由條件知a =1且b = c ,又有a2 = b2 c2，解得a = 1 , b = c =2故橢圓C的離心率為ce =-a其標準方程為:2y2xry= kx+ mif2 22x + y = 1(2)設I與橢圓C交點為A (冷，y1), B

17、 (X2, y2)得(k2+ 2) x2 + 2kmx+( m2 1 )= 02 2 2 2 2=( 2km) 2 4 ( k2 + 2) ( m2 1 )= 4 ( k2 2m2 + 2) >0(* )2 kmm2 1X1 + X2 = i 2 丄 c , X1X2 = . 2 . o k十2k十2X1 + X2= 2X2T AP = 3 PB x1 = 3x2 .21X1X2 = 3X2消去 X2,得 3 ( X1 + X2 ) 2 + 4X1X2= 0,2 km2 q2 m 1 + 4 2 c k + 2整理得 4k2m2 + 2m2 k2 2= 02m2=1時，上式不成立； m2

18、 J1時，k2= 21444m 1cc22 2 2m1 亠2<m<1入=3 - - kJ 0k = 2 . >0， 1<m< 或4m 12容易驗證k2>2m2 2成立，所以(*)成立1 1即所求m的取值范圍為(一1, - -) U( - , 1)題15。設x、y R, i、j為直角坐標平面內 x、y軸正方向上的單位向量，若向量a=xi+(y+2)j，b=xi+( y- 2)j,且 |a|+|b|=8.(1) 求點M (x, y)的軌跡C的方程.(2) 過點(0, 3)作直線l與曲線C交于A、B兩點，設OP = OA + OB，是否存在這樣的直線I，使得四邊形

19、 OAPB是矩形？若存在，求出直線I的方程；若不存在，試說明理由.(1)解法一：I a=xi+ (y+2) j, b=xi + (y 2) j, 且 |a|+|b|=8,點M (x, y)到兩個定點 F1 (0, 2), F2 (0, 2)的距離之和為 8.2 2軌跡C為以F1、F2為焦點的橢圓，方程為 + =1.12 16解法二：由題知，.x2 (y 2)2x2 (y -2)2 =8,移項，得.x2 (y - 2)2 =8 -. x2 (y -2)2 ,兩邊平方，得2 2 2 2 2 2x + (y+2) =x + (y 2) 16 . x (y2) +64,整理，得 2 x2 (y -2)

20、2 =8 y,兩邊平方，得 4 x2+ (y 2) 2 = (8 y) 2,2 2展開，整理得+ =1.12 16(2).T過y軸上的點(0, 3),若直線I是y軸，則A、B兩點是橢圓的頂點. OP = OA+OB= 0, P與O重合，與四邊形 OAPB是矩形矛盾.直線l的斜率存在.設l方程為y=kx+3, A (x1, y1), B (x2, y2),y=kx+3,2 2x y 彳 + =1, 12 16(21)> 0恒成立，且Xi + x2 = 18k4 3k2X1X2= 214 3k2消 y 得(4+3k2) x2+18kx21=0.此時， = (18k2) 4 (4+3k2) O

21、P = OA+OB，四邊形 OAPB是平行四邊形 若存在直線I，使得四邊形 OAPB是矩形，則OA丄OB,即卩OA2 OB=0.OA=(冷，yj, OB= (X2, y2),- OA 2 OB =Xix2+yiy2=0, 即(i+k2) XiX2+3k (xi+X2)+9=0 ,即(1+k2)2 (-2i4 3k2)+3k2 (- i8k2 ) +9=0, 即卩 k2=f，得 k= ±4+3k2i6.54存在直線y=± 蘭x+3,4使得四邊形OAPB是矩形.橢圓作業班級：_題16。選擇題姓名:21. 已知Fi、F2是橢圓 + =i的兩個焦點，過Fi的直線與橢圓交于i6 9則

22、厶MNF2的周長為B.i6利用橢圓的定義易知B正確.BX222. 橢圓 +y =i的兩個焦點為Fi、4A.8解析:答案:x2M、N兩點,C.25D.32F2，過Fi作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P,則|PF2 I等于-.? 3A.-2解法一：（如下圖）設橢圓的右焦點為 圓在第一象限的交點為 P.B. 3c.72Fi,左焦點為D.4F2,過Fi垂直于x軸的直線與橢x2 _+y2=i, a=2 , b=i, c= 3 4 Fi ( , 3 , 0) 設 P (73 , yp)代入2x2“/曰+y =i，得41yp=,2 p ( 3 , ), |pFi|=.2 2又T |PF2|+|PFi

23、|=2a=4,1 7- |PF2|=4 |PFi|=4 =一.2 23.設Fi、F2為橢圓的兩個焦點,F2為圓心作圓且與橢圓相交于 M點，若直線MFi恰與圓F2相切，則該橢圓的離心率血43C.D.22F2,已知圓F2經過橢圓的中心,e為A. 3 1B.2 、32 2k焦點在y軸上，則->2，即 k<1.k又 k>0， 0<k<1.答案：0 v kv 12 23.橢圓詁 亍=1的離心率是，準線方程是解析：易知圓 F2 的半徑為 c, (2a c) 2+c2=4c2, ( - ) 2+2 ( C )- 2=0, £ =、. 3 1.aaa答案：A2 24.已

24、知P為橢圓- y 1上的一點，M , N分別為圓(x 3)2 y2 =1和圓2516(x-3)22+ y =4上的點，貝UPM+PN的最小值為()A.5B.7C .13D.15解析B.兩圓心C、D恰為橢圓的焦點，,| PC | + | PD |=10，PM + PN的最小值為10-1-2=75.橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點， 今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A、B是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點A的小球(小球的半徑不計)，從點A沿直線 出發，經橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經過的路程是A . 4a B. 2(a

25、 c) C. 2(a+c) D.以上答案均有可能解析按小球的運行路徑分三種情況：(1)A-C-A,此時小球經過的路程為2(a c);A-B - D - B - A,此時小球經過的路程為2(a+c);A-P-B-Q-A此時小球經過的路程為4a,故選D題17、填空題2 2已知F2為橢圓y 1的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于a、b兩點若259F2A +|F2B| =12，則 AB =。解析ABF2的周長為4a =20， AB =82.如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸的橢圓，那么實數k的取值范圍是 2 2解析：橢圓方程化為 + =1.4 525解析：由橢圓方程可得 a=5, b=3, c=4,

26、e=，準線方程為x= ± 一=± 一 .5 44答案：4 x=± 255 42 24. 已知P是橢圓 冷+爲=1 (a>b>0)上任意一點，P與兩焦點連線互相垂直, a2 b2且P到兩準線距離分別為 6、12,則橢圓方程為 .解析：利用橢圓的兩個定義結合勾股定理來求.2 2 答案：x_ + I = 145202 25. 點P在橢圓 + =1上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點259的橫坐標是.答案：25126.已知F1為橢圓的左焦點,當 PF1 丄 F1A, PO / AB剖析：求橢圓的離心率,即求解析：利用第二定義.A、 B分別為橢圓的右

27、頂點和上頂點，P為橢圓上的點,(O為橢圓中心)時，求橢圓的離心率 .-，只需求a、c的值或a、c用同一個量表示本題沒有 a具體數值，因此只需把a、c用同一量表示，由 PFF, PO / AB易得b=c, a= i 2 b.2解：設橢圓方程為篤a2+計2 2 2(a> b > 0), F i ( c, 0), c =a b ,則 P ( c, b.1 c2 ),即 P a(c,蛍).aAB/ PO,. kAB=kop, 即-b = . b=c.a ac又a= . b2c2 =、2 b.2 27.如圖，把橢圓 y 1的長軸AB分成8等份，過每個分點作X軸25 16的垂線交橢圓的上半部分

28、于 P,B,P3,巳，P5,F6,F7七個點，F是橢圓的一個焦點則 |rf| + P2f|+|pf|+|p4F +rf|+|p6f|+|bf =解析由橢圓的對稱性知：RF|+|P7F|=|P2F|+ F6F| = RF|+|RF| = 2a = 35題18.求橢圓的標準方程1.設橢圓的中心在原點，坐標軸為對稱軸，一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直, 且此焦點與長軸上較近的端點距離為4. 2 -4,求此橢圓方程.【解題思路】將題中所給條件用關于參數a,b,c的式子“描述”出來解析設橢圓的方程為22 2xyx22 = 1 或 一2a2b2b22-y = 1(a b - 0), ab =c貝Va c

29、 =4(72 -1),解之得:22 2a = 4. 2 , b=c= 4則所求的橢圓的方程為 11或32 161621322.已知方程X2cosr y2sinv -1（0,二），討論方程表示的曲線的形狀解析當二-（0,才）時，si nr : cost，方程表示焦點在 y軸上的橢圓,忙=4時，sin"c。沃，方程表示圓心在原點的圓,當”（4弓時，曲co-，方程表示焦點在x軸上的橢圓橢圓對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點構成一個正三角形，3.焦點到橢解析4.圓上的點的最短距離是.3，求這個橢圓方程a c = v'3aa =2ca=2后 b=3，所求方程為蘭+工=1或2c

30、= T312 92仝=1.912橢圓對稱軸在坐標軸上,短軸的一個端點與兩個焦點構成一個正三角形,焦點到橢圓上的點的最短距離是. 3，求這個橢圓方程解:由題設條件可知 a=2c,b= 3 c,又a- c= , 3，解得a2=12 , b2=9.二所求橢圓的方2程是X-+Y122一 =192 2或乞+1.912題19。已知實數X2x, y滿足42；"求x2r2-x的最大值與最小值【解題思路】 把x2 y2 -x看作x的函數2 2x 丄y解析由42.2 2_0. 2_x_22221 2123.x2y -x x2-x 2 (x-1)2 ,x = -2,22 2 23當x =1時,x2y2 -

31、 x取得最小值一，當x = -2時，x2亠y2 - x取得最大值622 2I： x y - 9 = 0的距離的最小值.題20。橢圓 乞乙=1上的點到直線169【解題思路】把動點到直線的距離表示為某個變量的函數解析在橢圓上任取一點|4cos) 3sin v -1212|5sin(二J 一9| _2.2.2P,設P(4cos3sinr).那么點P到直線I的距離為:412二 a2 =4b2'2 2出篤忙1由a by = x 1I 2得：(b24a2)x2-a2x a2- a2b2 =0' I 二a4(4b2a2)(a2a2b2) =0，即 a2 =44b2由得：a2 =2, b2 =

32、丄22 2故橢圓E方程為12 122 2題22。已知A、B分別是橢圓 篤 每=1的左右兩個焦點, a2 b2在橢圓上，線段 PB與y軸的交點M為線段PB的中點。O為坐標原點,點卩()2(1)求橢圓的標準方程;(2 )點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于sin A + sin BABC，求si nC的值。2 2題21。已知橢圓 務每=1 (a b 0)與過點A(2，0)，B(0，1)的直線I有且只有一個公 a2b2解析直線1的方程為：x 1；3共點T,且橢圓的離心率.求橢圓方程22 ,2由已知'a 一解析(1)V點M是線段PB的中點 OM是厶PAB的中位線又 OM _ AB PA _

33、 ABc =1 $=1解得 a2 =2,b2 =1,c2 =1a 2b2 2 2a -b c2橢圓的標準方程為 y2=12(2)v點C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個焦點 AC + BC = 2a = 2、2 , AB = 2c= 2在厶ABC中，由正弦定理,BC AC ABsin A sin B sin Csin A+sinB BC+AC 22 運 si nCAB2題23。已知長方形 ABCD, AB=2 ,2 ,BC=1.以AB的中點O為原點建立如圖8所示的平面直 角坐標系xoy .(I )求以A、B為焦點，且過 C、D兩點的橢圓的標準方程 (II )過點P(0,2)的直線l交(I )中橢圓于

34、M,N兩點,是否存在直線l，使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點？若存在，求出直線丨的方程;若不存在，說明理由圖8 解析(I )由題意可得點A,B,C的坐標分別為- .2,0,2,0, . 2,1 .2 2設橢圓的標準方程是 務+與=1(a a b > 0 ).a b則 2a = AC BC=2 2 * T _0 2.2 _2 21 _0 2=4 2 2a 二 2 b2 =a2 _c2 =4 _2 =2.2 2橢圓的標準方程是 =1.(n )由題意直線的斜率存在，可設直線l的方程為y = kx 2 k = 0 設M,N兩點的坐標分別為x1, y1 , x2, y2 .y聯立方程：丿x消去y整

35、理得,1 2k2 x2 8kx 0 有8k4有捲 x2 二一 2 ,x1x2 二21 +2k1 +2k若以mn為直徑的圓恰好過原點，則0M _ ON，所以x2 y1y0,所以,x1x! jkx12 kx22 =0,即 1 k2 x1x2 2k x-! x2 4=0"2 2所以,4=041k16k1 2k21 2k2即=0,1 2k2得 k = 2,k =. 2.所以直線l的方程為y - 2x 2，或y - - 2x 2.所以存在過P(0,2)的直線丨：y =< 2x 2使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點題 24。如圖，在 Rt ABC 中，/ CAB=90 ° , AB

36、=2 , AC='。一曲線 E 過點 C,動點 P2E交于M、N兩點。在曲線E上運動，且保持|PA|+|PB|的值不變，直線I經過A與曲線(1) 建立適當的坐標系，求曲線 E的方程；(2) 設直線I的斜率為k，若/ MBN為鈍角，求k的取值范圍。解：(1)以AB所在直線為x軸，AB的中點O為原點建立直角坐標系，(1, 0)由題設可得<2 nV2 2 V2 32廠|PA| |PB|=|CA| |CB|22()22 22 2 2 22 2動點P的軌跡方程為 篤每=1(a b - 0),a2b2貝U a - 2,c = 1.b 二 a22曲線E方程為y2(2)直線 MN 的方程為 y = k(x 1),設M (% , yj,設M (x1, y1,), N(x2, y2)"y=k(x+1)2222由22得(1+2k2)x2 +4k2x+2(k2 1)=0x +2y 2 = 0方程有兩個不等的實數根4k22 2k2XiX222(k -1)1 2k2BM =(為-1,yJ,BN =區-ly) 2BM BN =* -1