1、計算技巧及方法總結一、 一般來說，對于二階、三階行列式，可以根據定義來做1、二階行列式a11a12a11a 22a12 a 21a21a222、三階行列式a11a12a13a21a22a23 = a11a 22a33a12 a23 a31a13 a21a32 a13 a22 a31 a11a 23a32a12 a21a33 .a31a32a33123例 1 計算三階行列式405106123解4051 0 625(1)34030(1)150426106104858.但是對于四階或者以上的行列式， 不建議采用定義， 最常采用的是行列式的性質以及降價法來做 。但在此之前需要記憶一些常見行列式形式。以

2、便計算。a11a12a1n計算 上三角形行列式0a22a2 na11a22ann00anna1100下三角形行列式a 21a220a11a22a nn .an1an2anna1100a21a220a11a22ann對角行列式an1an2ann二、用行列式的性質計算1、記住性質，這是計算行列式的前提將行列式 D 的行與列互換后得到的行列式,稱為 D 的轉置行列式 ,記為 DT 或 D ,即若a11a12a1na11a21an1Da21a22a2 n則 DTa12a22a n2,.an1an2anna1na2 nann性質 1行列式與它的轉置行列式相等, 即 DDT .注 由性質 1 知道，行列式

3、中的行與列具有相同的地位，行列式的行具有的性質,它的列也同樣具有 .性質 2交換行列式的兩行(列 ),行列式變號 .推論若行列式中有兩行 (列 )的對應元素相同 ,則此行列式為零 .性質 3用數 k 乘行列式的某一行(列 ), 等于用數 k 乘此行列式 , 即a11a12a1na11a12a1nD1kai1kai 2kaink ai 1ai 2ainkD.an1an2annan1an2ann第 i 行 (列 )乘以 k ,記為 i k (或 Cik ).推論 1行列式的某一行 (列 )中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.推論 2行列式中若有兩行(列 )元素成比例 ,則此行列式為零 .性

4、質 4若行列式的某一行(列 )的元素都是兩數之和, 例如,a11a12a1nD bi 1ci1bi 2ci 2bincin .an1an2ann則a11a12a1na11a12a1nD bi1bi2binci1ci2cinD1 D2.an1an2annan1an2ann性質 5將行列式的某一行(列 )的所有元素都乘以數k 后加到另一行 (列 ) 對應位置的元素上 , 行列式不變 .注 : 以數 k 乘第 j 行加到第 i 行上 ,記作 rikr j; 以數 k 乘第 j 列加到第 i 列上，記作ci kc j .2、利用“三角化”計算行列式計算行列式時，常用行列式的性質，把它化為三角形行列式來

5、計算. 例如化為上三角形行列式的步驟是 :如果第一列第一個元素為0, 先將第一行與其它行交換使得第一列第一個元素不為然后把第一行分別乘以適當的數加到其它各行,使得第一列除第一個元素外其余元素全為再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式,如此繼續下去它成為上三角形行列式,這時主對角線上元素的乘積就是所求行列式的值.0;0;,直至使123110例2若D101, 則DT201D .012312121011例 3（1） 011121（第一、二行互換） .210210121112（2） 011011（第二、三列互換）210201110（3） 1100 （第一、二兩行相等）527211（4

6、） 4220 （第二、三列相等）733112例 4（1） 0150 因為第三行是第一行的2 倍 .222214102835,即第二列是第一列的4 倍 .（2）010 因為第一列與第二列成比例041457102204102例5若D 31 0, 則 31 0( 2)31 02D121121121402102又 121 04 31 04D .421121a11a12a136a112a1210a13例 6設 a21a 22a231, 求3a21a225a23 .a31a32a333a31a325a33解利用行列式性質，有6a112a1210a132a11a125a13a11a12a133a21a225

7、a 2323a21a225a232(3)5 a21a22a233a31a325a333a31a325a33a31a32a332(3)5130.2311301310例 7（1）111111.111 12511(2)51 1 5125（2）03 270327037027 .2121 21( 2)1 21 1 221例 8因為31224012, 而3212(9 2) (0 4) 15.123013132031223212.因此23013201注 :一般來說下式是不成立的a11b11a12b12a11a12b11b12a21b21a22b22a21a22b21.b22131131例 9（1） 141r

8、2r1 010,上式表示第一行乘以-1 后加第二行上去 , 其值不231231變.131130（2） 141c3c1 140 ,上式表示第一列乘以1 后加到第三列上去, 其值不變 .2312333612例 10 計算行列式 D 230 .512解先將第一行的公因子3 提出來：36121242303 230 ,512512再計算124124124122102D3 2303 07827 07854 07454 034543162.51209180120110013112例 115134計算 D01.2115331312c1c21534解D02115133r 2 r1r45 r11312084602

9、110162713120211r 34r 2r 2r30846r 48 r 201627131250211r44r300840.100005 2131202110081000101531111311例12計算 D13.111113解注意到行列式的各列4 個數之和都是6. 故把第 2， 3， 4 行同時加到第1 行，可提出公因子6，再由各行減去第一行化為上三角形行列式.66661111r2r11111r2 r3 r4 131113110200D r16r3r1 648.11311131r4r10020111311130002注：仿照上述方法可得到更一般的結果:abbbbabba ( n 1)b(

10、 a b) n 1.bbbaa1a100例 13計算0a 2a20 .00a3a31111解根據行列式的特點，可將第1 列加至第2 列，然后將第2 列加至第3 列，再將第 3列加至第4 列，目的是使 D 4中的零元素增多 .a1000c2 c10a2a 20D 400a3a31211a1000c3c20a20000a3a31231a1000c4 c3 0a20000a34a1a2 a3 .01234abcd例 14aababcabcd計算 D2ab3a2bc4a3b2c.ada3ab6 a3bc10a6b3cd解從第 4 行開始，后一行減前一行：r4r3abcd0aababr4 r3r3rDc

11、 .r2 r10 a 2ab 3a 2b c r3 r20a3ab6a3bcabcdr4 r3 0a a b a b ca4.00a2a.b000aabcd0aa ba bc0aa2a.b0aa2ab三、 行列式按行 (列)展開（降階法）1、行列式按一行 ( 列 ) 展開定義 1 在 n 階行列式 D 中 ,去掉元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列后 ,余下的 n1階行列式 ,稱為 D 中元素 aij 的余子式 , 記為 M ij , 再記Aij ( 1) i j M ij稱 Aij 為元素 aij 的代數余子式 .引理 （常用）一個 n 階行列式 D , 若其中第i 行所有元素除aij

12、 外都為零，則該行列式等于 aij 與它的代數余子式的乘積，即D aij Aij定理 1行列式等于它的任一行(列 )的各元素與其對應的代數余子式乘積之和, 即Dai1 Ai1ai 2 Ai 2ain Ain(i1,2, , n),或Da1 j A1 ja2 j A2 janj Anj( j1,2, , n).推論 行列式某一行 (列 )的元素與另一行(列 )的對應元素的代數余子式乘積之和等于零,即ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2ain Ajn0, ij ,或1i1 j2i2jninj0,ij.aAaAaA2、用降價法計算行列式（常用）直接應用按行(列 )展開法則計算行列式, 運算量較大

13、, 尤其是高階行列式. 因此 , 計算行列式時，一般可先用行列式的性質將行列式中某一行(列 )化為僅含有一個非零元素 ,再按此行 (列 )展開 ,化為低一階的行列式 , 如此繼續下去直到化為三階或二階行列式.3、拉普拉斯定理（一般少用）定義 2 在 n 階行列式 D 中 ,任意選定 k 行 k 列 (1k n ) , 位于這些行和列交叉處的k 2個元素 ,按原來順序構成一個k 階行列式 M , 稱為 D 的一個 k 階子式 ,劃去這 k 行 k 列 ,余下的元素按原來的順序構成n k 階行列式 ,在其前面冠以符號( 1) i1i k j1jk ,稱為 M 的代數余子式 ,其中 i1, ,ik

14、為 k 階子式 M 在 D 中的行標 , j1 , j2 , , j k 為 M 在 D 中的列標 .注：行列式 D 的 k 階子式與其代數余子式之間有類似行列式按行（列）展開的性質.定理 2( 拉普拉斯定理 ) 在 n 階行列式 D 中, 任意取定 k 行(列 ) (1kn 1) ,由這 k 行 (列 )組成的所有k 階子式與它們的代數余子式的乘積之和等于行列式D .例 15 求下列行列式的值 :213327（1） 121（2） 052412021213211313(1)12121)解1(1412412222( 41)(23)4( 16)65 2827.32752(2)05233(54)3.

15、210211234例 16 計算行列式1012D11.30120512341012解 D11031205r12r3r42r37014101231107025714602( 1) ( 1)3211r1r2122172r32r 201591(1)226261824.915312017252例 17 計算行列式D02310 .041400235053120531217252解D 02 3 1 0 (1)25202 31041400414023502350231r2 ( 2 )r12312541407210235r3 r106610 (2)7220( 42 12)1080.661234n1123n11

16、x12n2例18求證 1xx1n 3 ( 1)n 1 xn 2 .1xxx21xxx1r1 r2r 2 r3證 Dr3r4rn1rn01111101 x1111001 x1110001 x11100001x11xxx11111111 x1111( 1) n 101 x111001x110001 x1x00001xx000r1r201 xx00r2r3( 1) n 1 x n 2 .( 1) n 1001 x00r3 r4r n 1rn000x00001 x13521例19設D1105 , D 中元素 aij 的余子式和代數余子式依次記作M ij 和 Aij ,13132413求 A11A12 A13A14及 M11M 21M31 M41.解注意到 A11A12A13A14等于用 1,1,1,1代替 D 的第 1 行所得的行列式 ,即1111A11A12 A131105A1431312413r 4 r3r 3 r111111