1、2.7函數模型和函數的綜合應用高考數學高考數學 (北京專用)A A組自主命題組自主命題北京卷題組北京卷題組五年高考1.(2015北京,8,5分)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是()A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米B.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多C.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時,消耗10升汽油D.某城市機動車最高限速80千米/小時.相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油答案答案D對于A選項:由題圖可知,當乙車速度大于40 km/h時,乙車每消耗1升汽油,行駛里程都超過

2、5 km,則A錯;對于B選項:由題意可知,以相同速度行駛相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三輛車中甲車耗油最少,則B錯;對于C選項:甲車以80千米/小時的速度行駛時,燃油效率為10 km/L,則行駛1小時,消耗了汽油80110=8(升),則C錯;對于選項D:當行駛速度小于80 km/h時,在相同條件下,丙車的燃油效率高于乙車,則在該市用丙車比用乙車更省油,則D對.綜上,選D.思路分析思路分析 先認真審題,對燃油效率的定義要有清楚的認識,然后通過圖象中的信息,依次對選項進行判斷.2.(2015北京文,8,5分)某輛汽車每次加油都把油箱加滿,下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.注:“累計里程”指

3、汽車從出廠開始累計行駛的路程.在這段時間內,該車每100千米平均耗油量為()A.6升 B.8升 C.10升 D.12升加油時間加油量(升)加油時的累計里程(千米)2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600答案答案B根據題意可知5月1日至5月15日這段時間的行程為35 600-35 000=600千米,耗油48升,所以該車每100千米平均耗油量為48(100600)=8升.3.(2019北京文,14,5分)李明自主創業,在網上經營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進行

4、促銷:一次購買水果的總價達到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網上支付成功后,李明會得到支付款的80%.當x=10時,顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為 .答案答案13015解析解析本題通過生活中常見的網絡購物,考查函數的實際應用,利用促銷返利考查學生應用數學知識解決實際問題的能力.讓學生通過分析,把實際問題模型化,構建不等式,體現了社會生活與學習的密切聯系.x=10時,一次購買草莓和西瓜各1盒,共140元,由題可知顧客需支付140-10=130元.設每筆訂單金額為m元,則只需考慮m120時的情況.

5、根據題意得(m-x)80%m70%,所以x,而m120,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x,而=15,x15.所以x的最大值為15.8mmin8mmin8m解題關鍵解題關鍵 正確理解“每筆訂單得到的金額”與“促銷前總價的七折”是解題關鍵.4.(2010北京,14,5分)如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動.設頂點P(x,y)的縱坐標與橫坐標的函數關系式是y=f(x),則f(x)的最小正周期為 ;y=f(x)在其兩個相鄰零點間的圖象與x軸所圍區域的面積為 .說明:“正方形PABC沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動.沿x軸正方向滾動指的是先以頂點A為中心

6、順時針旋轉,當頂點B落在x軸上時,再以頂點B為中心順時針旋轉,如此繼續.類似地,正方形PABC可以沿x軸負方向滾動. 答案答案4;+1解析解析由題意知正方形分別以A、B、C、P為旋轉點滾動一次,P點軌跡重復出現,P點軌跡如圖所示,故f(x)的最小正周期為4.y=f(x)在其兩個相鄰零點間的圖形與x軸所圍區域如圖陰影部分所示.圖形由兩個半徑為1的圓及兩個邊長為1的正方形和一個半徑為的弓形組成,其面積S=212+2+()2-21=+2+-1=+1.142141421222命題立意命題立意 本題考查了周期的定義及不規則圖形的求解,分割法是求解此題的關鍵.考查了學生分析問題、解決問題的能力.B B組統

7、一命題組統一命題省省( (區、市區、市) )卷題組卷題組考點一函數的實際應用考點一函數的實際應用1.(2019課標全國理,4,5分)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業取得又一重大成就.實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系.為解決這個問題,發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行.L2點是平衡點,位于地月連線的延長線上.設地球質量為M1,月球質量為M2,地月距離為R,L2點到月球的距離為r,根據牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足方程:+=(R+r).設=.由于的值很小,因此在近似計算中3

8、3,則r的近似值為()A.R B.R C.R D.R12()MRr22Mr13MRrR345233(1)21MM212MM2313MM2313MM答案答案D將r=R代入方程可得+=(1+),即+=(1+)M1,=,即=,33,r=RR.故選D.12()MRR222M R12MR12(1)M22M2322(33 )(1)21MM21MM543233(1)21MM2313MM2313MM解后反思解后反思 題中內容豐富、字母較多,需要冷靜、沉思,抓住題的實質,進而轉化成數學運算問題.平時一定要注重培養良好的解題習慣.2.(2015四川,8,5分)某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:)

9、滿足函數關系y=ekx+b(e=2.718為自然對數的底數,k,b為常數).若該食品在0 的保鮮時間是192小時,在22 的保鮮時間是48小時,則該食品在33 的保鮮時間是()A.16小時 B.20小時 C.24小時 D.28小時答案答案C由已知得192=eb,48=e22k+b=e22keb,將代入得e22k=,則e11k=,當x=33時,y=e33k+b=e33keb=192=24,所以該食品在33 的保鮮時間是24小時.故選C.14123123.(2018浙江,11,6分)我國古代數學著作張邱建算經中記載百雞問題:“今有雞翁一,值錢五;雞母一,值錢三;雞雛三,值錢一.凡百錢,買雞百只,問

10、雞翁、母、雛各幾何?”設雞翁,雞母,雞雛個數分別為x,y,z,則當z=81時,x= ,y= .100,153100,3xyzxyz答案答案8;11解析解析把z=81代入方程組,化簡得解得x=8,y=11.19,5373,xyxy考點二函數的綜合應用考點二函數的綜合應用1.(2019課標全國文,12,5分)設f(x)是定義域為R的偶函數,且在(0,+)單調遞減,則()A. f f()f()B. f f()f()C. f()f()f D. f()f()f 31log432223231log423232232223231log423232231log4答案答案C本題主要考查函數的奇偶性、單調性,對數

11、與對數函數、指數與指數函數等知識,體現了數學運算的核心素養.f(x)是定義域為R的偶函數,f(-x)=f(x),f=f(-log34)=f(log34).log34log33=1,且10,log340.f(x)在(0,+)上單調遞減,f()f()f(log34)=f.故選C.31log423232223232232223231log4難點突破難點突破 同底指數冪比較大小,利用指數函數的單調性判斷;指數冪與對數比較大小,可考慮引入中間值,如0,1等.2.(2019課標全國理,12,5分)設函數f(x)的定義域為R,滿足f(x+1)=2f(x),且當x(0,1時, f(x)=x(x-1).若對任意

12、x(-,m,都有f(x)-,則m的取值范圍是()A. B.C. D. 899,47,35,28,3答案答案B本題考查了函數圖象的應用以及不等式恒成立;考查數形結合思想的應用;以函數間的遞推關系為背景考查邏輯推理及數據分析的核心素養.由題意可知,當x(0,1時,f(x)=x(x-1)=x2-x,則當x=時, f(x)min=-,且當x=時, f(x)=-.當x(1,2時,x-1(0,1,則f(x)=2f(x-1).當x(-1,0時,x+1(0,1,則 f(x)=f(x+1).若x(1,2,則當x=時, f(x)min=-,且x=時, f(x)=-.同理,若x(2,3,則當x=時, f(x)min

13、=-1,且x=時, f(x)=-.函數f(x)的大致圖象如圖所示.121413291232124349527389f(x)-對任意x(-,m恒成立,當x(-,m時, f(x)min-,由圖可知m.故選B.898973思路分析思路分析 由x(-,m時,f(x)-恒成立,可知f(x)min-.由遞推關系可作出y=f(x)的大致圖象.由圖可得m的范圍.8989疑難突破疑難突破 由x(0,1, f(x)=x(x-1),結合遞推關系f(x+1)=2f(x)得出xR時,y=f(x)的圖象是本題的難點.3.(2019天津理,8,5分)已知aR.設函數f(x)=若關于x的不等式f(x)0在R上恒成立,則a的取

14、值范圍為()A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e222 ,1,ln ,1.xaxa xxax x答案答案C本題主要考查分段函數及不等式恒成立問題,考查學生推理論證能力及運算求解能力,將恒成立問題轉化為求最值問題,考查了學生化歸與轉化思想及分類討論思想.(1)當x1時, f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2,若a1,則f(x)在(-,1上是減函數,所以f(x)f(1)=10恒成立;若a1,則f(x)f(a)=2a-a2,要使f(x)0在(-,1上恒成立,只需2a-a20,得0a2,0a1,綜合可知,a0時, f(x)0在(-,1上恒成立.(2)當x1時,ln x0,

15、f(x)=x-aln x0恒成立,即a恒成立.令g(x)=,g(x)=,令g(x)=0,得x=e,當x(1,e)時,g(x)0,g(x)為增函數,g(x)min=g(e)=e,ae.綜合(1)(2)可知,a的取值范圍是0ae,故選C.lnxxlnxx2ln1(ln )xx解后反思解后反思 求不等式恒成立時的參數取值范圍的方法:一是分離參數法,不等式f(x)a在R上恒成立f(x)mina, f(x)a在R上恒成立f(x)maxa;二是討論分析法,根據參數取值情況進行分類討論,從而確定參數的取值范圍.4.(2018課標全國,12,5分)設函數f(x)=則滿足f(x+1)f(2x)的x的取值范圍是(

16、)A.(-,-1 B.(0,+) C.(-1,0) D.(-,0)2 ,0,1,0,xxx答案答案D本題主要考查分段函數及不等式的解法.函數f(x)=的圖象如圖所示:由f(x+1)f(2x)得得x0,故選D.2 ,0,1,0 xxx20,21,xxx0,1.xx解題關鍵解題關鍵解本題的關鍵是利用數形結合思想,準確畫出圖象,利用圖象的直觀性來求解,這樣可避免分類討論.5.(2017課標全國,9,5分)已知函數f(x)=ln x+ln(2-x),則()A. f(x)在(0,2)單調遞增B. f(x)在(0,2)單調遞減C.y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱D.y=f(x)的圖象關于點(1,0)對

17、稱答案答案C解法一: f(x)的定義域為(0,2).由于f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(2x-x2),從而對f(x)的研究可轉化為對二次函數g(x)=2x-x2(x(0,2)的研究.因為g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,所以g(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,2)上單調遞減,直線x=1是y=g(x)的圖象的對稱軸.從而排除A,B,D,故選C.解法二:由于f(2-x)=ln(2-x)+ln x,即f(x)=f(2-x),故可得y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱,故選C.解法三:由于f(1)=0, f=lnf(1),故f(x)在(0,2)上不是單調遞增的,從而排除選項A.又

18、因為f=ln0;對于任意的a及任意不相等的實數x1,x2,都有n0;對于任意的a,存在不相等的實數x1,x2,使得m=n;對于任意的a,存在不相等的實數x1,x2,使得m=-n.其中的真命題有 (寫出所有真命題的序號).1212( )()f xf xxx1212( )()g xg xxx答案答案解析解析f(x)=2x是增函數,對任意不相等的實數x1,x2,都有 0,即m0,成立.由g(x)=x2+ax的圖象可知,當x時,g(x)是減函數,當不相等的實數x1、x2時,0,即n2x+a,此時h(x)在R上是增函數.若h(x1)=h(x2),則x1=x2,不成立.若m=-n,則有=-,f(x1)+g

19、(x1)=f(x2)+g(x2),令(x)=f(x)+g(x),則(x)=2x+x2+ax,(x)=2xln 2+2x+a.令(x)=0,得2xln 2+2x+a=0,即2xln 2=-2x-a.由y1=2xln 2與y2=-2x-a的圖象可知,對任意的a,存在x0,使xx0時y1y2,xx0時y1x0時,(x)0,xx0時(x)0,因此x=-1,故選D.(1)(1)pq2.(2015江蘇,17,14分)某山區外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進一步改善山區的交通現狀,計劃修建一條連接兩條公路和山區邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區邊界曲線為C,計劃修建的公路為l,如圖所

20、示,M,N為C的兩個端點,測得點M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標系xOy,假設曲線C符合函數y=(其中a,b為常數)模型.2axb(1)求a,b的值;(2)設公路l與曲線C相切于P點,P的橫坐標為t.請寫出公路l長度的函數解析式f(t),并寫出其定義域;當t為何值時,公路l的長度最短?求出最短長度.解析解析(1)由題意知,點M,N的坐標分別為(5,40),(20,2.5).將其分別代入y=,得 2axb40,252.5,400abab解得(2)由(1)知,y=(5x20),則點P

21、的坐標為,1 000,0.ab21 000 x21 000, tt設在點P處的切線l交x,y軸分別于A,B點,易知y=-,則l的方程為y-=-(x-t),由此得A,B.故f(t)=,t5,20.設g(t)=t2+,則g(t)=2t-.令g(t)=0,解得t=10.當t(5,10)時,g(t)0,g(t)是增函數;從而,當t=10時,函數g(t)有極小值,也是最小值,所以g(t)min=300,則f(t)min=15.當t=10時,公路l的長度最短,最短長度為15千米.32 000 x21 000t32 000t3,02t23 0000,t22233 0002tt326244 10tt644 1

22、0t6516 10t2222323評析評析 本題主要考查函數的概念、導數的幾何意義及其應用,考查運用數學模型及數學知識分析和解決實際問題的能力.考點二函數的綜合應用考點二函數的綜合應用1.(2017天津,8,5分)已知函數f(x)=設aR,若關于x的不等式f(x)在R上恒成立,則a的取值范圍是()A.-2,2 B.-2,2 C.-2,2 D.-2,2| 2,1,2,1.xxxxx2xa3333答案答案A令g(x)=,當a0時,如圖1所示,若f(x)g(x)恒成立,則g(0)2,得a-2,-2a0;圖1當a0,x1時,如圖2所示, f(x)=x+,則f (x)=1-,由f (x)=,得x=2,此

23、時f(2)=3,2xa2x22x12即點B(2,3),則g(2)=+a3,得a2,0-2,aR)有最大值,則f(x)B.其中的真命題有 .(寫出所有真命題的序號)21xx 答案答案解析解析命題正確,強調f(x)的值域為R即可.命題錯誤,如y=sin xB,但它無最大值和最小值.命題正確,f(x)A,g(x)B,f(x)+g(x) B.命題正確,當a=0時, f(x)=.(i)當x=0時, f(x)=0;(ii)當x0時, f(x)=.當a=0時, f(x).若a0,則當x越來越大時,aln(x+2)+,此時f(x)無最大值;若a0,對任意a0,b0,若經過點(a, f(a),(b,-f(b)的

24、直線與x軸的交點為(c,0),則稱c為a,b關于函數f(x)的平均數,記為Mf(a,b).例如,當f(x)=1(x0)時,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)為a,b的算術平均數.(1)當f(x)= (x0)時,Mf(a,b)為a,b的幾何平均數;(2)當f(x)= (x0)時,Mf(a,b)為a,b的調和平均數.(以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數即可)2ab2abab答案答案(1)(2)xx解析解析答案不唯一.(1)若Mf(a,b)是a,b的幾何平均數,則c=.由題意知,(a, f(a),(,0),(b,-f(b)共線,=,=,可取f(x)=.(2)若Mf(a,b)是a,b的調和平

25、均數,則c=,由題意知,(a, f(a),(b,-f(b)共線,=,化簡得=,可取f(x)=x.abab( )0f aaab0( )f babb( )f aa( )f bbx2abab2,0abab( )2f aabaab( )2f babbab( )f aa( )f bb6.(2014山東,15,5分)已知函數y=f(x)(xR),對函數y=g(x)(xI),定義g(x)關于f(x)的“對稱函數”為函數y=h(x)(xI),y=h(x)滿足:對任意xI,兩個點(x,h(x),(x,g(x)關于點(x, f(x)對稱.若h(x)是g(x)=關于f(x)=3x+b的“對稱函數”,且h(x)g(x

26、)恒成立,則實數b的取值范圍是 .24x答案答案(2,+)10解析解析函數g(x)=的圖象是以坐標原點為圓心,2為半徑的圓在x軸上及其上方的部分.由題意可知,對任意x0I,都有h(x0)+g(x0)=2f(x0),即(x0, f(x0)是點(x0,h(x0)和點(x0,g(x0)連線的中點,又h(x)g(x)恒成立,所以直線f(x)=3x+b與半圓g(x)=相離且b0,即解之得b2.所以實數b的取值范圍為(2,+). 24x24x220,|2,3( 1)bb 1010評析評析 本題考查新定義問題以及直線與圓的位置關系的應用.本題的易錯點有兩處:不能正確理解“對稱函數”的定義,造成題目無法求解;

27、忽視h(x)g(x)的隱含條件:直線 f(x)=3x+b與半圓相離,且直線f(x)=3x+b在y軸上的截距b0.7.(2016浙江,18,15分)已知a3,函數F(x)=min2|x-1|,x2-2ax+4a-2,其中minp,q=(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在區間0,6上的最大值M(a).,.p pqq pq解析解析(1)由于a3,故當x1時,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)0,當x1時,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以

28、,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍為2,2a.(2)(i)設函數f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,則f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定義知m(a)=minf(1),g(a),即m(a)=20,322,42,22.aaaa(ii)當0 x2時,F(x)f(x)maxf(0), f(2)=2=F(2),當2x6時,F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6).所以,M(a)= 348 ,34,2,4.aaa思路分析思路分析 (1)先分類討論去掉絕

29、對值符號,再利用作差法求解;(2)分段函數求最值的方法是分別求出各段上的最值,較大(小)的值就是這個函數的最大(小)值.評析評析 本題主要考查函數的單調性與最值、分段函數、不等式性質等基礎知識,同時考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力.三年模擬A A組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬考點基礎題組考點基礎題組考點一函數的實際應用考點一函數的實際應用1.(2019北京西城一模,7)團體購買公園門票,票價如下表:現某單位要組織其市場部和生產部的員工游覽該公園,若按部門作為團體,選擇兩個不同的時間分別購票游覽公園,則共需支付門票費為1 290元;若兩個部門合在一起作為一

30、個團體,同一時間購票游覽公園,則需支付門票費為990元,那么這兩個部門的人數之差為()A.20 B.30 C.35 D.40購票人上門票價格13元/人11元/人9元/人答案答案B假設市場部員工為x人,生產部員工為y人,不妨設yx,當市場部與生產部分別購票時,13x+11y=1 290元,當市場部與生產部一同購票時,9x+9y=990元,解得x=40,y=70,所以兩部門人數之差為y-x=30人,故選B.2.(2019北京懷柔一模,7)某學習小組調查鮮花市場價格得知,購買2支玫瑰與1支康乃馨所需費用之和大于8元,而購買4支玫瑰與5支康乃馨所需費用之和小于22元.設購買2

31、支玫瑰花所需費用為A元,購買3支康乃馨所需費用為B元,則A,B的大小關系是()A.AB B.ABC.A=B D.A,B的大小關系不確定答案答案A設購買1支玫瑰需要x元,購買1支康乃馨需要y元,由題意得且2x=A,3y=B,整理得x=,y=,將乘-2與相加,解得B6,將B8-中,解得A6,故AB,故選A.28,4522,xyxy2A3B8,35222,3BABA3B3.(2017北京平谷零模,8)某位股民購進某支股票,在接下來的交易時間內,他的這支股票先經歷了5次漲停(每次上漲10%),又經歷了5次跌停(每次下跌10%),則該股民購進的這支股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為()A.略有盈利B.略

32、有虧損C.沒有盈利也沒有虧損D.無法判斷盈虧情況答案答案B設該股民購進這支股票的價格為a元,則(1+10%)5(1-10%)5a=0.995a0.若x11,2,x21,2,使得f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2)成立,則a= .答案答案 32解析解析因為x11,2,函數f(x)=x0,所以=1,即=1.化簡得到x11,2,x21,2,使得(ax1-1)(ax2-1)=1成立.x11,2,顯然ax1-10成立,否則(ax1-1)(ax2-1)=1不能恒成立.化簡得到x11,2,x21,2,使得ax2-1=成立.構造函數M(x)=,則M(x)=0)在1,2上的值域為a-1,2a-1.11( )( )g xf x22()()g xf x2111axxx2222axxx111ax 11ax2(1)aax11ax11,211aa記A=,B=a-1,2a-1,要使x1