1、第一章光的電磁理論1.1 在真空中傳播的平面電磁波，其電場(chǎng)表示為Ex=0，Ey=0，Ez=( 10 2 ) ?os?×10 14?(?- ) + ，?2（各量均用國際單位） ，求電磁波的頻率、波長、周期和初相位。解：由 Ex=0，Ey=0 ，Ez=(10 2 ) ?os?×10 14 (?-?14?× 10×1014Hz，周) + ，則頻率 =0.5?22?2?期 T=1/ =2×10- 14s，初相位 0=+ /2（ z=0 ，t=0 ），振幅 A=100V/m ，波長 =cT=3 × 10 8× 2× 10-1

2、4=6 × 10- 6 m。1.2. 一 個(gè) 平 面 電 磁 波 可 以 表 示 為Ex=0 ，Ey= 2Cos 2?×1014 ( ?- t) + ? ，Ez=0 ，求：（ 1）?2該電磁波的振幅，頻率，波長和原點(diǎn)的初相位是多少？ （ 2）波的傳播和電矢量的振動(dòng)取哪個(gè)方向？ （ 3 ）與電場(chǎng)相聯(lián)系的磁場(chǎng) B 的表達(dá)式如何寫？?142? × 10解：（ 1 ）振幅 A=2V/m，頻率=2? =2?=1014 Hz，波長 =?3× 108?，原點(diǎn)的=1014 =3 ×10 -6初相位 0=+ /2 ；（ 2）傳播沿z 軸，振動(dòng)方向1?By=Bz=

3、0 ，沿 y 軸；（ 3）由 B= ( ?×?)，可得?Bx=2 ?os2?×10 14 ( ?-t) + ?21.3.一個(gè)線偏振光在玻璃中傳播時(shí)可以表示為Ey=0 ， Ez=0 ， Ex= 10 2 ?os?×10 15 ( 0.65c? - t) ，試求：（ 1 ）光的頻率； （ 2）波長； （ 3）玻璃的折射率。15解：（ 1 ） = ? =? × 10=5×1014Hz；2?2?2?2?2× 0.658（ 2 ） =×3×10?15=15m =? × 10 /0.65c103.9 ×10

4、 -7 ?= 390nm ；（ 3）相速度 v=0.65c ，所以折射率 n=? = 0.65c? 1.541.4 寫出：（1）在 yoz 平面內(nèi)沿與 y 軸成角的 ?方向傳播的平面波的復(fù)振幅； （ 2）發(fā)散球面波和匯聚球面波的復(fù)振幅。解 ：（ 1 ） 由 ?= ?exp(i?) ， 可 得 ?= ?exp?ik ( ?cos +zsin )；（ 2 ）同理：發(fā)散球面波?()(?，t)=?1= ?exp?ikrexp?( ikr ) ，?匯聚球面波 ?()(?， t)= ?exp?-ikr?1exp?( -ikr ) 。?1.5一平面簡諧電磁波在真空中沿正x 方向傳播。其頻率為 4 ×

5、;10 14 Hz，電場(chǎng)振幅為14.14V/m ，如果該電磁波的振動(dòng)面與xy平面呈45o，試寫出，E B表達(dá)式。解： ?= ?+ ?，其中2?2t)?=10exp ?( ?-?=10exp ?(2? ?-2 t)14=10exp ?(2? × 4× 102×4 ×1014 ?)3× 108?-86(?- 3 ×108)= 10exp ?( 3 ×10?)?，同理： ?86(8)?= 10exp ?( 3 ×10 ?)?- 3 ×10 ?。?=1 (?0 ×?) =-? + ?，其中?1086(8

6、)。?=3× 108 exp ?(3 ×103?) ?-×10 ? =?1.6 一個(gè)沿k 方向傳播的平面波表示為E=100exp()- 16 ×105? 2?+ 3y + 4z? ，試求 k方向的單位矢 ? 。?22+ 42=29 ，解： |? = 2+ 3又 ?= 2?+ 3 ?+ 4?，?1(2?+ 3 ? + 4?。) 0 =291.9 證明當(dāng)入射角 ?=45o時(shí)，光波在任何兩種介質(zhì)1分界面上的反射都有 ?2 。? =?證明： ?=sin ( ?1 -? 2 )sin 45 ocos ?2 -cos45 o sin ?2sin(?+? )=cos

7、? +cos45sin ?sin 45oo1222=cos ? -sin?1-tan?22= 1+tan2cos ? +sin?222tan ( ? - ?)12? =?tan ( ? + ?)12(tan45o- tan? )/(1+tan45otan? )1-tan?22=22=(21+tan? )=?(tan45 o+ tan? )/(1-tan45 o tan? )?2221.10證明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面時(shí)，下表面的入射角也是布儒斯特角。證明：由布儒斯特角定義，+i=90 o，設(shè)空氣和玻璃的折射率分別為?和?，先由空氣入12射到玻璃中則有?1 sin ?= ?

8、2 sin ?，再由玻璃出射到空氣中，有 ?，2sin ? = ?1 sin ?又? = ?， ?sin ?=? sin ? ?= ?，11即得證。1.11平行光以布儒斯特角從空氣中射到玻璃( ?= 1.5) 上，求：（ 1）能流反射率 ? 和 ?；（2）能?流透射率 ?和 ?。?解：由題意，得?= ?2 = 1.5，?1又?為布儒斯特角，則 ?+ ?=90°. ?1?=2 ?= ?. 由、得， ?=56.31 °，?= 33.69 °。2 ()（1）?=?-?= 0，2 ()?+?2 ()?-?= 0.148 = 14.8% ，?=2?(?+?)（ 2）由 ?

9、+ ? = 1，可得 ? = 1，? ?同理， ?=85.2 %。?1.12證明光波在布儒斯特角下入射到兩種介質(zhì)的分界面上時(shí)， ?1?。?=，其中 ?= ?2 ?1?證明： ?2 sin ?2 cos ?1，因?yàn)??為布儒斯特? =sin ( ?1+?2 ) cos ( ?1 -?2 )1角，所以 ?2 + ?1 = 90 °，2 sin ?2 cos ?1=2 sin ?2 cos ?1? =sin 90 ° cos( ?1 - ?2)cos( 90 ° - ?2 - ?2)2 sin ?2 cos ?12 sin ?2 cos ?1sin?2= sin (2?

10、2 )= 2 sin ?2 cos ?2 =sin?1，又根據(jù)折射定律，得 sin?2=?11 ，?1 sin ?1 = ?2 sin ?2sin?1?2 =?則? = 1 ，其中 ?= ? ?，得證。?21?1.17 利用復(fù)數(shù)表示式求兩個(gè)波?1 = ?cos( ?+ ?)和?2 = -? cos( ?- ?)的合成。解：?= ?1 + ?2 =?cos(?+ ?) -cos( ?- ?) () ()=?exp?+ ? - ?exp?- ?-?=?exp( ikx ) (?-? )=2?sin ( ?)exp( ?cos ?- sin ?)=-2?(?+ ?2) sin (?)。1.18兩個(gè)振

11、動(dòng)方向相同的單色波在空間某一點(diǎn)產(chǎn)生的振動(dòng)分別為?1= ?(1?1 - ?) 和 ?2=(?2-)15 Hz，?= 6V/m，1?2 cos?。若?= 2?×10? = 8V/m， ? =0， ? = ?2 ，求該點(diǎn)的合振動(dòng)212表達(dá)式。解：?=?()(-1+ ?2 = ?1?1 -?+ ?2cos ?2?)=6 cos( -2? ×1015 ?) + 8?( ?-2?×10 15 ?)2=6?( 2 ?×10 15 ?) + 8?( 2 ?×1015 ?)615=10?(?-2?×10?)10(15=10?53°7)48-2

12、?×10 ?。1.20求如圖所示的周期性三角波的傅立葉分析表達(dá)式。()()解：由圖可知，?0 < ?2)，? =(-? + ?2 < ? ?2?0=()? ? 0=2(? 2?(-? +?)?) =?+2，?0?22?=()()? ? 0=2（? 2()?）? cos ?()+ ? ? cos ?0?2222822?=?·(-22)=- ·2()2=-2 () 2 ，（ m 為奇? ? ?2?2?數(shù)）， ?2?()，? = ?=?0? 0所以 ?( ?) =?2?(cos ?2 )4-2 ?=1?=?2?cos ?cos 3?cos 5?4-2 (12

13、+32+52+···)。?1.21試求如圖所示的周期性矩形波的傅立葉級(jí)數(shù)的表達(dá)式。解：由圖可知，?(?) = 1 (-? ?< ?< ?)，2?2? ?4?0()( ?+ ?) = ? ?=? 0? 0?-? ?2?()()? = ? ? 0=2?( cos ?+cos ?)?-? ?022?，?2?)，=sin? =(? ?=?0? 0( )222?所以 ? =?+ ?=1?sin? cos ?。1.22 利用復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)如圖所示的周期性矩形波做傅里葉分析。解：由圖可知，?(?) = 1( 0 < ?< ?2) ，-1 (?2

14、< ?< ?)?02? 2?( -1 ) ?= 0，= ?(?) ?= ?+? 00? 22 ? = ?(?)?(?)?= 0 ，? ? 02 ? = ?( ?) ?，? ? 02?sin ?)= ( sin ?- ?0? 2= 1()? 2 - 2 cos ?，所以 ?(?) = 11()?=1 ?2 - 2 cos ?sin ?411= ?(sin ?+ 3 sin 3?+ 5 sin 5?+···)86放電管發(fā)出的紅光波長為1.23 氪同位素 ?= 605.7nm，波列長度約為 700mm，試求該光波的波長寬度和頻率寬度。解：由題意，得，波列長度

15、2?= 700?，22由公式 ?= ?=605.76 = 5.2 ×10 -4 nm ，2?700 ×10又由公式 2?=?/?，所以頻率寬度 ?=?3× 108=700 × 10-3 ?= 4.3 ×10 8 ?。2?1.24 某種激光的頻寬 ?= 5.4 ×10 4 Hz，問這種激光的波列長度是多少？解：由相干長度 D?=2c ，所以波列長度 2?=? =?2c8?3× 10=4 = 5.55 ×103?。?5.4 × 10第二章光的干涉及其應(yīng)用2.1 在與一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片，其厚度

16、 ? = 0.01mm ，折射率 ?= 1.5，若光波波長為 500nm，試計(jì)算插入玻璃片前后光束光程和相位的變化。解：由時(shí)間相干性的附加光程差公式?= ( ?- 1 )?= ( 1.5 - 1) ×0.01mm = 0.005mm ，2?2?=? ?= 500 × 10-6 ×0.005 = 20?。2.2 在楊氏干涉實(shí)驗(yàn)中，若兩小孔距離為0.4mm，觀察屏至小孔所在平面的距離為100cm，在觀察屏上測(cè)得的干涉條紋間距為1.5cm ，求所用光波的波。解：由公式 ?=?，得光波的波長?-331.5 × 10×0.4 ×10-7 ?=

17、600nm 。?=-2?= 6×10?100 × 102.3 波長為 589.3nm 的鈉光照射在雙縫上，在距雙縫 100cm的觀察屏上測(cè)量20 個(gè)干涉條紋的寬度為2.4cm ，試計(jì)算雙縫之間的距離。解：因?yàn)楦缮鏃l紋是等間距的，所以一個(gè)干涉條紋2.4?的寬度為?= 20cm。又由公式 ?=?，得雙縫間距離 ? = ?= 589.3-6×10 × 100 × 10mm =0.491mm 。?10× 2.4 202.4 設(shè)雙縫間距為 1mm，雙縫離觀察屏為1m，用鈉光照明雙縫。鈉光包含波長為?1 =589 nm和?2 =589.6nm 兩

18、種單色光，問兩種光的第10 級(jí)亮條紋之間的距離是多少？解：因?yàn)閮墒庀嗷オ?dú)立傳播，所以?光束第 101級(jí)亮條紋位置 ?=?1 ?，?光束第 10級(jí)亮條紋位1?2? ?置?2=2 ，所以間距 ?=?2 - ?1 =(?2 - ?)1?= 10 × 1000 ×( 589.6 - 589 ) ×10 -6= 6 ×10-3mm 。12.5 在楊氏雙縫干涉的雙縫后面分別放置?1 =1.4和 ?2 = 1.7 ，厚度同為 t 的玻璃片后，原來中央極大所在點(diǎn)被第 5 級(jí)亮紋所占據(jù)。設(shè) ?= 480 nm，求玻璃片厚度 t 以及條紋遷移的方向。解：由題意，得( ?-

19、 ?)1 ?=5?，2所以 ?= 5? =5× 480× 10-9= 8×10 -6 ?= 8?，?2 -? 11.7-1.4條紋遷移方向向下。2.6 在楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)裝置中，以一個(gè)長30mm的充以空氣的氣室代替薄片置于小孔?前，在觀察屏1上觀察到一組干涉條紋。繼后抽去氣室中空氣，注入某種氣體，發(fā)現(xiàn)屏上條紋比抽氣前移動(dòng)了25 個(gè)。已知照明光波波長為 656.28nm，空氣折射率 ?= 1.000276 ，試求注入氣室內(nèi)的氣體的折射率。解：設(shè)注入氣室內(nèi)的氣體的折射率為 ?，則( ?- ?) ? = 25?，所以 ?=25?+ ?25 ×656.28

20、15;10 -9+ 1.000276=-330 ×10= 5.469 ×10 -4 + 1.000276 = 1.000823 。2.7 楊氏干涉實(shí)驗(yàn)中，若波長 ?=600nm，在觀察屏上形成暗條紋的角寬度為 0.02 °，（ 1）試求楊氏干涉中二縫間的距離？（ 2）若其中一個(gè)狹縫通過的能量是另一個(gè)的 4 倍，試求干涉條紋的對(duì)比度？解：角寬度為 ?=0.02 ° ×180 ，?所以條紋間距 ?=? =600180 = 1.72mm 。?0.02 °× ?由題意，得?= 4?，所以干涉對(duì)比度12?=2?2 ×4? ?

21、12 =22= 4?5= 0.81 + ?1?21 + 4?2?22.8 若雙狹縫間距為0.3mm，以單色光平行照射狹縫時(shí)，在距雙縫1.2m 遠(yuǎn)的屏上，第5 級(jí)暗條紋中心離中央極大中間的間隔為11.39mm，問所用的光源波長為多少？是何種器件的光源？解：由公式 ?= (? +1)?，所以 ?=12?(?+ 2 )=11.39-3-3? = 632.8nm 。×10 ×0.3 ×1012 ×(4+0.5)此光源為氦氖激光器。2.12 在楊氏干涉實(shí)驗(yàn)中， 照明兩小孔的光源是一個(gè)直徑為 2mm的圓形光源。光源發(fā)光的波長為 500nm，它到小孔的距離為 1.5m

22、。問兩小孔可以發(fā)生干涉的最大距離是多少？解：因?yàn)槭菆A形光源，由公式?= 1.22?，1.22?1.22 × 500 ×-6× 1.53則? =10× 10=2= 0.46mm 。?2.13 月球到地球表面的距離約為3.8 ×10 5 km，月球的直徑為 3477km，若把月球看作光源，光波長取500nm，試計(jì)算地球表面上的相干面積。2解：相干面積?= ?(0.61 × ?)0.61 ×500 ×10 -6×3.8 ×10 112)= ?×(3.477 ×10 9= 3.49

23、×10-32? 。2.14 若光波的波長寬度為?，頻率寬度為 ?，試?證明： | ?| = | ?| 。式中， ?和 ?分別為光波的頻率和波長。對(duì)于波長為 632.8nm 的氦氖激光，波長寬度為 ?= 2 ×10 -8 nm ，試計(jì)算它的頻率寬度和相干長度。解：證明：由 ?2，則有?= c?=? ?2-?-?=? ?=?=?-?-?=（頻率增大時(shí)波長減小） ，取絕對(duì)值得證。?相干長度 ?2632.8 2=-8 = 2.0×?= ? ?2× 1010 13 nm = 20km ，頻率寬度 ?=?3× 108=3 ?20× 10= 1.5

24、 ×10 4 Hz。2.15 在圖 2.22 （a）所示的平行平板干涉裝置中，若平板的厚度和折射率分別為? = 3mm 和?= 1.5，望遠(yuǎn)鏡的視場(chǎng)角為6°，光的波長 ?= 450nm ，問通過望遠(yuǎn)鏡能夠看見幾個(gè)亮紋？解：設(shè)能看見 ?個(gè)亮紋。從中心往外數(shù)第?個(gè)亮紋對(duì)透鏡中心的傾角? ，成為第 N個(gè)條紋的角半徑。?設(shè) ?0 為中心條紋級(jí)數(shù)，?為中心干涉極小數(shù)，令?0 = ?+ ?( ? ?, ?0 ?< 1) ，從中心往外數(shù)，第N個(gè)條紋的級(jí)數(shù)為?-(?- 1) = ?0 - (?- 1) - ?，則=2?+?()?= ? ?=?+ ?中20?() ? =+? -? =?

25、- 1 ?2? 2，兩式相減，可得()2? 1 - cos ? )?-?=1 + ?，利用折射定律和小角度近似，得? =1?- 1 + ?，( ?為平行平板周圍介質(zhì)的折?射率 )對(duì)于中心點(diǎn)，上下表面兩支反射光線的光程差為?= 2? +?= (2 ×1.5 ×3 ×106+450) nm =22(2 ×10 4 + 12 ) ×450nm 。因此，視場(chǎng)中心是暗點(diǎn)。h?23× 106?×3°2由上式，得 ?=×()?=180 °= 12.1 ，因此，?1.5 × 450有 12 條暗環(huán)，

26、11 條亮環(huán)。2.16 一束平行白光垂直投射到置于空氣中的厚度均勻的折射率為 ?= 1.5 的薄膜上，發(fā)現(xiàn)反射光譜中出現(xiàn)波長為 400nm和 600nm的兩條暗線，求此薄膜的厚度？解：光程差 ?= ( ?- 1 )? = ? - ?，21所以? =? -?1( 600-400) × 10-32=?= 0.4?-11.5-12.17 用等厚條紋測(cè)量玻璃光楔的楔角時(shí)，在長5cm的范圍內(nèi)共有 15 個(gè)亮條紋，玻璃折射率 ?= 1.52 ，所用單色光波長 ?= 600nm ，問此光楔的楔角為多少？解：由公式 ?=? ，所以楔角 ?=? ，2?2?又?= 5cm =1?3cm ，15所以 ?=

27、600 × 10-9rad = 5.92 ×10 -5 rad 。13× 10-2× 1.522.18 利用牛頓環(huán)測(cè)透鏡曲率半徑時(shí)，測(cè)量出第10個(gè)暗環(huán)的直徑為2cm，若所用單色光波長為500nm，2.21 有兩個(gè)波長 ?和?，在 600nm附近相差120.0001nm，要用 F-P 干涉儀把兩譜線分辨開來，間隔至少要多大？在這種情況下，干涉儀的自由光譜范圍是多少？設(shè)反射率 ?= 0.98 。? 2解：由分辨極限公式(?) ?=?1-? ，得2? ?21-?F-P 干涉儀間隔? =?( )2? ? ?600 2×10 -91 -0.98=

28、5;mm = 11.58mm2?×0.00010.98()?26002自由光譜范圍?=6=?.?=2?12× 11.58 × 10透鏡的曲率半徑是多少？解：由曲率半徑公式?=2?0.0155nm 。?22-2(×10)=10 × 500 × 10-9 ? = 20m 。2.19F-P 干涉儀兩反射鏡的反射率為0.5 ，試求它的最大透射率和最小透射率。若干涉儀兩反射鏡以折射率 ?= 1.6的玻璃平板代替， 最大透射率和最小透射率又是多少？（不考慮系統(tǒng)吸收）解：當(dāng)反射率 ?=0.5時(shí)，由光強(qiáng)公式( ?)( ?)(1 -)2(?)=? =

29、?，?4?+( 1 -?)2可得最大透射率 ? = 1；最小透射率 ?=( 1-? )2= 0.11 。() 24?+ 1-?當(dāng)用玻璃平板代替時(shí)，?=1.6，則?= (?-1 2=1.6- 1 2)()?+ 11.6+1(1-?) 2?0.81 。所以? = 1 ，? =() 2?1-?4?+?2.20 已知一組 F-P 標(biāo)準(zhǔn)具的間距分別為1mm和120mm，對(duì)于 ?= 550.0nm的入射光而言，求其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)具常數(shù)。如果某激光器發(fā)出的激光波長為632.8nm，波長寬度為0.001nm，測(cè)量其波長寬度時(shí)應(yīng)選用多大間距的標(biāo)準(zhǔn)具？25502解：( ?= 0.15?，61 ) ?.?=2? 12&

30、#215; 1×10( ?) =2=2=0.0013nm ，?55062?.?2? 22× 120× 10 2632.8 2?3 =?= 2 ×10 8 nm = 200mm 。2(?3)?.?2× 0.0015?2.22 在照相物鏡上通常鍍上一層光學(xué)厚度為04（ ?0 = 550nm ）的介質(zhì)膜。問：（ 1）介質(zhì)膜的作用？（ 2）求此時(shí)可見光區(qū)（ 390 780nm）反射最大的波長？解：（1）作用：因?yàn)樯舷卤砻婀獬滩??= 2 ×5? =41，所以該介質(zhì)膜對(duì)?的反射達(dá)到最小， 為(2 + 2) ?00增透膜；（ 2）由?= 5?0

31、，可知，對(duì)波長為 ?，?= 5?，40() 22? ?22?0cos+(0 ?sin?=-? ?2?-?)2，反射最大的波長滿2cos 2? ?2?(? +? )2+(0 ?+?) sin0?2?25?5?足2?= 2 × 4=?，則 ?=2?0 ?，取 ?= 2,3?時(shí)則符合條件的可見光的波長分別為687.5nm 和458.3nm 。2.23 在玻璃基片上鍍兩層光學(xué)厚度為?0 4的介質(zhì)薄膜，如果第一層的折射率為1.35 ，為了達(dá)到在正入射下膜系對(duì) ?全增透的目的，第二層薄膜的折射0率應(yīng)為多少？（玻璃基片的折射率? = 1.6 ）解：由題意，得 ?1= 1.35，? =1.6 ，?0

32、 = 1，要使膜系對(duì) ?全增透，由公式0?1.6?2 = ?0 ?1 = 1×1.35= 1.71。第三章光的衍射與現(xiàn)代光學(xué)3.1 波長 ?= 500nm的單色光垂直入射到邊長為3cm的方孔，在光軸（它通過方孔中心并垂直方孔平面）附近離孔 z 處觀察衍射，試求出夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)德大致范圍。222?(?+? )? ?，又 ?=，解：要求 ?11?2?22-2)2? 2所以 ?( ?1+?1 ) ?(3× 10?= 900m?=500 × 10 -9。3.5 在白光形成的單縫的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣中，某色光的第 3 級(jí)大與 600nm的第 2 極大重合，問該色光的波長是多少？解：單縫衍射明紋公式： ?sin ?= ( 2?+ 1) ?( ?)2當(dāng)?1 = 600nm時(shí)，?