1、第六節向心加速度【知能準備】1 加速度是表示 的物理量，它等于 的比值。在直線運動中，V0表示初速度，V表示末速度，則速度變化量 Av=。加速度公式a=，其方向與速度變化量方向 。2 .在直線運動中，取初速度vo方向為正方向，如果速度增大，末速v大于初速度v0,則Av=v v00(填“>或“<”其方向與初速度方向 ;如果速度減小，Av=v v00,其方向與初速度方向 。3 .在曲線運動中，速度變化量Av與始末兩個速度 vo、v的關系： 。4 .在圓周運動中，線速度、角速度的關系是 。【同步導學】1.研究勻速圓周運動向心加速度的方法(1) 觀察分析自然現象以及日常生活中的勻速圓周運動

2、實例，研究做勻速圓周運動的物體的受力情況，將牛頓第二定律遷移到勻速圓周運動這一曲線運動中來，獲得向心加速度的大小和方向。(2) 根據加速度的定義 a=，求出勻速圓周運動中速度的增量A v的大小和方向，運用微積分的思Lt想，求出向心加速度的大小和方向。2 .曲線運動速度增量 A v=v2-vi的求法(1) 將矢量減法轉化為矢量加法計算：如A v2=v2-vi=v2+(-vi)(-vi就是與矢量vi大小相等方向相反的量)，運用平行四邊形法則可以求得。(2) 矢量三角形法：將表示 vi、v2的兩個矢量，保持原來的大小和方向，使它們的始端重合，然后從初態矢量v的箭頭端向末態矢量 v2的箭頭端做一有向線

3、段，此有向線段就是所要求的矢量A v=v2-vio3 .向心加速度 定義：做勻速圓周運動的物體，加速度指向圓心，這個加速度稱為向心加速度。 方向：總是沿著圓周運動的半徑指向圓心，即方向始終與運動方向垂直，方向時刻在改變，不論加速度an的大小是否變化，an的方向是時刻改變的，所以圓周運動一定是變加速度的運動。幾種表達式：2除了教材P51介紹的an=、an=rw2外，向心加速度還有另外幾種形式：r242聯系 3 =n =2 n f,代入 an=r3 2可得：an= r 和 an =4 n 2f2r，再根據 v= 可得：an=v®TT2至此，我們常遇到的向心加速度表達式有以上五種。由向心加

4、速度的表達式和勻速圓周運動的特點可知：勻速圓周運動是一個加速度大小不變、方向時刻 變化的變加速曲線運動。例1 一質點沿著半徑r = 1 m的圓周以n = 1 r/s的轉速勻速轉動，如圖，試求:(1) 從A點開始計時，經過 丄s的時間質點速度的變化；4(2) 質點的向心加速度的大小。1解析(1)求出一 s的時間連接質點的半徑轉過的角度是多少;4 求出質點在A點和一s末線速度的大小和方向。4(3) 由矢量減法作出矢量三角形。(4) 明確邊角關系，解三角形求得 v的大小和方向。2V2 根據an=或an= 3 r求出向心加速度的大小。r答案 v=2、2 n m/s 方向與OA連線成45°角指

5、向圓心 O (2)a=4 n 2m/s例2 一小球被細線拴著做勻速圓周運動，其半徑為R,向心加速度為a，則()A .小球相對于圓心的位移不變B .小球的線速度為.RaC.小球在時間t內通過的路程s= .a/RtD .小球做圓周運動的周期 T=2 n R/a解析 小球做勻速圓周運動，各時刻相對圓心的位移大小不變，但方向時刻在變2 由a=得v2=Ra，所以v= Ra , 在時間t內通過的路程s=vt=t、JRaR做圓周運動的周期 T=空= = 2 n =2 n , R尬 v v Ra Ya答案：BD物理意義：因為向心加速度方向始終指向圓心，與線速度方向垂直，只改變線速度的方向，不改變其大小，所以

6、向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量。例3關于向心加速度，下列說法正確的是()A .它是描述角速度變化快慢的物理量B .它是描述線速度大小變化快慢的物理量C .它是描述線速度方向變化快慢的物理量D .它是描述角速度方向變化快慢的物理量解析(1)從勻速圓周運動的特點入手思考，勻速圓周運動其角速度不變，線速度的大小不變，線速度方向總是與半徑垂直在不斷變化，半徑轉過多少度，線速度的方向就改變多少度。故答案為Can=r 3 2看，向心加速度與半2思考 從公式an= 看，向心加速度與圓周運動的半徑成反比；從公式 r徑成正比，這兩個結論是否矛盾？2分析 我們注意到，在公式y=kx中，說y與x成正比的

7、前提條件是 k為定值。同理，在公式an=中, r當v為定值時，an與r成反比；在公式an=r 3 2中，當3為定值時，an與r成正比。因此，這兩個結論是在小齒輪后輪（圖1）不同的前提下成立的，并不矛盾。思考 如圖1所示，自行車的大齒輪、小齒輪、后輪三個輪子的半徑不一樣，它們的邊緣上有三個點A、B、C。其中哪兩點向心加速度的關系適分析大、小齒輪用鏈條相連，因此兩輪邊緣上的點線速度必相等，即有 va=vb=v。又 aA= ，aB=2所以A、 B兩點的向心加速度與半徑成反比。小齒輪與后輪共軸，因此兩者有共同的角速度，即有3 B= 3 C= 3,又aB=rBw 2, aC=rC3 2,所以B、C兩點的

8、向心加速度與半徑成正比。4 .勻速圓周運動的向心加速度的大小與線速度、角速度、圓周半徑的關系。 由 an= 知：r 一定時，an* v2； v 一定時，a.* - ; 一定時，v2* r;rr（2）由 an=r 3 2 知：r 一定時， 為* 3 2; 3 定時，a“* r,一定時,例4如圖所示為質點 P、Q做勻速圓周運動時向心加速度隨半徑變化的圖線，表示質點P的圖線是雙曲線，表示質點 Q的圖線是過原點的一條直線。由圖線可知（）A .質點P線速度大小不變B .質點P的角速度大小不變C .質點Q的角速度隨半徑變化D .質點Q的線速度大小不變解析 根據圖象提供的曲線的性質建立起質點做勻速圓周運動的

9、向心加速度系，再根據這個函數關系，結合向心加速度的計算公式作出判斷。答案：A（例4）a隨半徑r變化的函數關點評 在利用圖象解決物理問題時，要注意充分挖掘圖象中所攜帶的信息，如：一個量隨另一個量如何變化；變化的確切數量關系；斜率多大，其物理意義是什么？截距、面積各有什么意義等。同時還要注意把物理圖象和具體的物理情景結合起來，考慮應該選取哪一個規律或公式解決問題。例5如圖所示，一球體繞軸 0-02以角速度3旋轉，A、B為球體上兩點。下列說 法中正確的是（）A. A、 B兩點具有相同的角速度B. A、 B兩點具有相同的線速度C. A、 B兩點具有相同的向心加速度D. A、 B兩點的向心加速度方向都指

10、向球心解析 A、B都隨球體一起繞軸 0-02旋轉，轉一周所用時間相等，故角速度相等，有（例5）3 A= 3 B= 3 , A做圓周運動的軌道平面與軸垂直，交點為圓心，故A的軌道半徑a=OAsin60°,同理，B的軌道半徑3rB=0B Sin30°，所以兩者的線速度VA=rA3盲0A 3，-VB=rB 3 = 0B 3，顯然，VA>VB 。23 2 2 - 0A 3, aB=r B3 =2 2又兩者的向心加速度指向各自的圓心，所以并不指向球心。答案：兩者的向心加速度aA=r A30B 32,顯然，兩者的向心加速度也不相等,例6如圖所示，0、0-為兩個皮帶輪，0輪的半徑為

11、r, 0-輪的半徑為R,且R>r, M點為0輪邊，則（）緣上的一點，N點為0-輪上的任意一點，當皮帶輪轉動時（設轉動過程中不打滑）A . M點的向心加速度一定大于N點的向心加速度B . M點的向心加速度一定等于N點的向心加速度C . M點的向心加速度可能小于N點的向心加速度D . M點的向心加速度可能等于N點的向心加速度解析 因為兩輪的轉動是通過皮帶傳動的，而且皮帶在傳動過程中不打滑，故兩輪邊緣各點的線速度2大小一定相等。在大輪邊緣上任取一點Q,因為R>r，所以由a=可知，r3相等。aQ<aM，再比較Q、N兩點的向心加速度的大小，因為 知，aQ>aN，綜上可見，Q、N是

12、在同一輪上的兩點，所以角速度 aM>aN，因此A選項正確。又因為Rq>Rn,則由【同步檢測】1.由于地球的自轉,地球表面上各點均做勻速圓周運動，所以（A .地球表面各處具有相同大小的線速度B .地球表面各處具有相同大小的角速度C 地球表面各處具有相同大小的向心加速度D .地球表面各處的向心加速度方向都指向地球球心2 .下列關于向心加速度的說法中，正確的是（A .向心加速度的方向始終與速度的方向垂直B .向心加速度的方向保持不變C .在勻速圓周運動中，向心加速度是恒定的D .在勻速圓周運動中，向心加速度的大小不斷變化3.由于地球自轉，比較位于赤道上的物體1與位于北緯60 °

13、的物體2，則（A .它們的角速度之比 3 1 : 3 2=2 : 1B .它們的線速度之比 V1 : V2=2 : 1C.它們的向心加速度之比a1 : a2=2 : 1D .它們的向心加速度之比a1 : a2=4 : 14.關于質點做勻速圓周運動的下列說法正確的是（2a=v/r，知a與r成反比a= 3 r，知a與r成正比A 由B 由C .由3 =v/r，知3與r成反比D 由3 =2 n n,知3與轉速n成正比的轉速為A . 1: 1B. 2: 1C. 4: 1D. 8: 16.如圖所示皮帶傳動輪，大輪直徑是小輪直徑的 C是大輪上一點，C到圓心01的距離等于小輪半徑, 則A、B、C三點的角速度之

14、比 3 A : 3 B : 3 c=_3倍，A是大輪邊緣上一點，B是小輪邊緣上一點， 轉動時皮帶不打滑。_，向心加速度大小之比 aA : aB : ac=（第 6 題）B兩小球都在水平面上做勻速圓周運動，A球的軌道半徑是 B球軌道半徑的2倍，A30r/min , B的轉速為15r/min。則兩球的向心加速度之比為（m的瞬間，滑輪邊緣上的P點的角速度3 =rad/s，向心加速度 a=m/s2。&如圖所示，摩擦輪 A和B通過中介輪C進行傳(第 7 題)動，A為主動輪，A的半徑為20 cm , B的半徑為10 cm.則A、B兩輪邊緣上的點，角速度之比為;向心加速度之比7.如圖所示，定滑輪的半

15、徑 r=2 cm,繞在滑輪上的細線懸掛著一個重物，由靜止開始釋放，測得重 物以加速度a=2 m/s2做勻加速運動。在重物由靜止下落【綜合評價】1.做勻速圓周運動的物體，下列哪個物理量是不變的A .線速度B .加速度C.角速度D .相同時間內的位移2 .勻速圓周運動特點是（）A 速度不變，加速度不變B.速度變化，加速度不變C .速度不變，加速度變化D.速度和加速度的大小不變,方向時刻在變3 .關于向心加速度，下列說法正確的是（A .向心加速度是描述速率變化快慢的物理量B .勻速圓周運動中的向心加速度恒定不變C .向心加速度是描述物體運動方向變化快慢的物理量D .向心加速度隨軌道半徑的增大而減小4

16、 .關于地球上的物體隨地球自轉的向心加速度的大小，下列說法正確的是A .在赤道上向心加速度最大B .在兩極向心加速度最大C .在地球上各處向心加速度一樣大D .隨著緯度的升高向心加速度的值逐漸減小5 .關于北京和廣州隨地球自轉的向心加速度，下列說法中正確的是（A .它們的方向都沿半徑指向地心B .它們的方向都在平行赤道的平面內指向地軸C .北京的向心加速度比廣州的向心加速度大D .北京的向心加速度比廣州的向心加速度小6.如圖所示的皮帶傳動裝置中， 輪A和B同軸，A、B、C分別是三個輪邊緣上的質點,且A=rc=2B,則三個質點的向心加速度之比aA : aB： aC等于（）A . 4:2:1B.

17、2:1:2C. 1:2:4D. 4:1:47 .如圖所示為繞軸 0轉動的偏心輪，則輪上各點（A .線速度大小均不相同B .向心加速度與到軸 O的距離成正比C 角速度均不相同D .向心加速度大小相同&如圖所示為一皮帶傳動裝置。右輪的半徑為（第8題）小是。嚴A11.如圖為甲、ZiA乙兩球做勻速圓徑變化的圖象，其rTn中甲的圖線為雙動時，線速度大小（填“變化”或度；乙球運（第10題）動時，線速度大12 .物體以30m/s的速率沿動，當物體從 A運動到B時，物體相對圓心轉過的角度為周運動時向心加速度隨半 曲線，由圖象可知，甲球運“不變”、下同），角速 小，角速度。半徑為60 m的圓形軌道運90

18、°，在這一過程中，試求:r，a是它邊緣上的一點，左側是一輪軸，大輪的半徑 為4r，小輪的半徑為2r, b點在小輪上，距小輪中心的距離為 r ,c點和d點分別位于小輪和大輪的邊緣上, 若在傳動過程中皮帶不打滑，則（）A . a點與b點的線速度大小相等B . a點與b點的角速度大小相等C. a點與c點的線速度大小相等D . a點與d點的向心加速度相等9. 一物體在水平面內沿半徑R=20 cm的圓形軌道做勻速圓周運動，線速度v=0.2m/s,那么，它的向心加速度為 m/s2，它的角速度為 rad/s，它的周期為 s。10. 一圓環，其圓心為 0,若以它的直徑 AB為軸做勻速轉動，如圖所示，圓環上P、Q兩點的線速度大小之比是 ;若圓環的半徑是 20cm，繞