1、超市收銀臺設置問題摘要超市中存在著這樣一個問題，收銀臺的設置與成本成正比，但是在實際過程中，顧客的數量是變化的，如何設置收銀臺的數量以達到最小的成本。調查后我們發現，超市顧客的數量，在一周內變化有規律性，在一天內變化也后周期性，所以我們要研究這個特性以安排出最佳方案。建立K個M/M/k的排隊系統的數學模型，通過擬合手段，計算出最佳方案。最后由本文中數據得到在周一至周五時開設3個收銀臺；而周六和周日開設5個收銀臺。1.問題重述在許多大型超市中，存在著這樣一個問題：開的收銀臺少時，人多會排長隊，顧客滿意度下降；開的收銀臺多時，人少會導致收銀員空閑，人力資源浪費。這就關系到一個如何合理安排收銀臺數量

2、的問題。現在收集到某家大型超市人流量數據：時間8-9點9-10點10-11點11-12點12-13點13-14點14-15點15-16點人數1949604720356159表2 全部工作日到達總人數周內分布日期周一周二周三周四周五周六周日人數2472161932642314674182.問題的分析基于在超市收銀系統中涉及到的顧客滿意率、超市成本等直接聯系到整個服務系統良好的運營。因此通過采集、查閱超市收銀系統中的有關數據進行分析研究，擬合出數據呈現的規律或概率；也可以擬合出在超市服務系統中的顧客等待時間、顧客隊列長等隨機事件的規律或概率，而這些擬合出來的規律或概率對在考慮超市成本情況下，應該采

3、用何種服務系統來提高顧客滿意率，服務效率提供了可行的參考。2.1 有用數據1的收集（1）對超市的顧客到達情況進行統計，統計了某大型超市一個工作日個時段顧客到達總人數和周內各天到達總人數分布；（2）對當地超市進行觀察，并采樣數據，可得出該收銀臺的平均服務率，實際平均到達率的得出以便后面模型的實際檢驗。2.2 數據規律的研究及排隊理論（1） 運用數學軟件MATLAB編程對收集到的數據進行分析，得出數據布規律（如：在排隊系統中顧客的人流量一般服從泊松分布；顧客服務時間一般服從定長分布或負指數分布等）；（2）查閱相關文獻，學習并掌握排隊理論1知識。2.3 模型實際運用 根據實際數據代入數學模型計算得出

4、相應數值，這些數值則反映出服務系統的服務效率；2.4 模型的進一步分析（1）根據已建立的模型和檢驗數據，并結合實際情況，假設更多的實際因素代入到模型中去，實現模型的進一步優化。3.模型假設1、顧客中沒有插隊現象的發生。2、顧客一旦進入隊伍中就不會中途離開。3、收銀臺進行服務時，排除因為意外情況的發生而影響到的服務時間。4、各收銀臺服務時間基本一致，不考慮各窗口工作人員自身原因引起的服的改變。5、收銀臺數量為考慮超市成本的主要因素。6、本模型只考慮工作日超市的人流數量，排除特別節假日時期的情況。8、周一至周五每日的人流量可以看同等分布。9、收銀臺服務時間服從均勻分布。4.符號說明: 表示排成一大

5、隊列時的平均等待時間；: 表示排成一大隊列時的平均隊列長；: 表示排成k個小隊時的平均等待時間；: 表示排成k個小隊時的平均隊列長；: 表示顧客的平均到達率(稱為顧客到達速率)；: 表示系統的平均服務率(即服務臺的平均服務速率)；k: 窗口數量 ；：平均每日顧客到達人數；：周一至周五平均每日各時段顧客到達人數；：周六周日平均每日各時段顧客到達人數；：窗口完全空閑的概率；：系統中有n個客戶的概率；: 表示服務強度，其值為有效的平均到達率與平均服務率之比，即=/。其中主要性指標是，。主要性指標其值越小，說明系統排隊越少，等待時間越少，因而系統性能越好。顯然，它們是顧客與服務部門都很關注的，顧客希望

6、等待時間和隊列長越短越好，當然對服務員來說，服務強度越小越好。5.模型建立5.1 排隊理論系統說明所謂M/M/k的排隊系統是指這樣的一種服務：顧客的到達服從參數為的泊松分布；顧客的服務時間服從參數為的指數分布；有k個服務臺（窗口），顧客按到達的先后次序接受服務。泊松分布： (為常數，k=0,1,2,)即在時間T內有k位客服的到達的概率為：其中是在時間內顧客到達的平均顧客數，平均到達率。負指數分布： 其中為大于0的常數，代表單位時間內的平均服務率。服務強度：=/；平均對長： ；平均隊列長：； ；5.2 模型的求解與分析5.2.1 模型建立假定顧客到達均勻分布于k個小隊，該問題可歸結為k個獨立的M

7、/M/1/排隊系統，當服務強度< 1時：顧客的平均等待時間為：=每對顧客的平均隊列長為：=5.2.2 實際數據代入模型計算的檢驗分析 通過題目提供的數據表1 時間8-9點9-10點10-11點11-12點12-13點13-14點14-15點15-16點16-17點人數194960472035615934通過程序分析驗證表1數據得出顧客的到達服從泊松分布（程序代碼見附1），并求出泊松分布中的值： =0.7851 每小時到達人數： =45.5 對于單排對單窗口排隊系統，即M/M/1型系統，考慮實際情況我們可以假設服務時間是服從（3,6）均勻分布，根據概率論知識，當顧客到達量服從泊松分布時顧客

8、到達時間間隔服從負指數分布。現用模擬（程序代碼見附2），人數n取30，得到的仿真結果如表4，并計算出負指數分布中的值：0.2391表4 服務時間仿真結果人數12345服務時間5.67813.27783.87755.46575.9821平均等待時間01.93074.18227.40129.8877人數678910服務時間3.20345.91935.76845.87624.6895平均等待時間11.648911.029117.734519.100421.1655人數1112131415服務時間5.85163.95473.79773.18333.9983平均等待時間22.659626.307727.

9、301428.759228.5365人數1617181920服務時間3.87734.20753.10233.86243.6589平均等待時間33.178436.244739.785834.368341.8564人數2122232425服務時間4.69785.61033.76504.77544.5681平均等待時間44.056047.546548.678552.763952.7551人數2627282930服務時間4.04693.48764.61935.77004.3114平均等待時間54.998157.944563.616162.861966.2415由分析可知，超市的顧客的到達服從泊松分布，

10、顧客服務時間服從負指數分布。并計算出：=0.7851，0.2391(1) 當開設窗口數k=1時：=3.2835>1；(2) 當開設窗口數k=2時: =1.6417>1,(3) 當開設窗口數k=3時:=1.0945>1所以當k=1,2,3時，服務強度大于1，即系統內顧客的到達率大于系統的平均服務率，可見系統不存在平衡狀態，且排隊的人會越來越多，排隊等候的時間也會越來越長，因此此超市開設2個窗口無法滿足顧客需要，需要增開窗口才能滿足顧客需求。(4) 當開設窗口數k=4時:=0.8208<1,服務強度小于1，即系統內顧客的到達率小于系統的平均服務率，隊長可以避免無限增長而達到

11、平衡狀態。平均等待長度：=1.1489平均等待時間：=1.5031系統的平均等待時間和平均等待長度較窗口數為3時明顯降低，不存在排長隊的現象，顧客滿意率提高。(5) 當開設窗口數k=5時:=0.5303<1，服務強度小于1，系統同樣可以達到平衡狀態。此時平均等待長度：=0.2794平均等待時間：=0.3816開設窗口數為5個時等待時間和排隊長度均不超過1，所以基本不會存在排隊現象。K=5時對于顧客來說，滿意率更為提高，但考慮超市成本，開設5個窗口是不合理的。而開設4個窗口時，客服的平均等待時間、平均等待隊長已經較短了且顧客滿意度也較高，因此綜合各種因素考慮超市開設4個窗口最為合理。6.模

12、型的改進6.1 模型的改進一：表2 全部工作日到達總人數周內分布日期周一周二周三周四周五周六周日人數247216193264231467418我們從第二個表格看出，周六周日的人數明顯比周一到周五的多，因此我們將周六周日與周一到周五分開考慮窗口的設置，系統的平均服務率=0.2319保持不變，周一到周五時改變為：=0.4385當窗口數量為3時=0.8017=1.9391周六周日時改變為： =0.8314當窗口數量為5時=0.6724=1.6743所以建議該超市在周一至周五時開設3個收銀臺；而周六和周日開設5個收銀臺。6.2 模型的改進二：表1 周一至周五平均每日各時間段顧客的到達人數分布及其值時間

13、8-9點9-10點10-11點11-12點12-13點13-14點14-15點15-16點16-17點人數1949604720356159340.1160.5180.6430.5010.1940.3690.6910.6210.347（a）周六周日時：（1）8：00到9：00時間段 當窗口數量2為時 =2.6941（2）9：00到10：00時間段當窗口數量為6時 =1.2013（3）10：00到11：00時間段當窗口數量為7時 =1.3016（4）11：00到12：00時間段當窗口數量為5時 =3.7139（5）12：00到13：00時間段當窗口數量為5時 =0.8120（6）13：00到14：

14、00時間段當窗口數量為5時 =0.4519（7）14：00到15：00時間段當窗口數量7為時 =1.4017（8）15：00到16：00時間段當窗口數量為7時 =1.2104（9）16：00到17：00時間段當窗口數量為4時 =2.9301（10）17：00到18：00時間段當窗口數量為3時 =1.3318（b）周一至周五時：（1）8：00到9：00時間段當窗口數量為1時 =5.0148（2）9：00到10：00時間段當窗口數量為3時 =2.2007（3）10：00到11：00時間段當窗口數量為4時 =0.9124（4）11：00到12：00時間段當窗口數量為3時 =1.8177（5）12：0

15、0到13：00時間段當窗口數量為3時 =0.7113（6）13：00到14：00時間段當窗口數量為2時 =3.6657（7）14：00到15：00時間段當窗口數量為4時 =1.0556（8）15：00到16：00時間段當窗口數量為4時 =0.9482（9）16：00到17：00時間段當窗口數量為3時 =0.6151（10）17：00到18：00時間段當窗口數量為2時 =0.9421可以看出各時段以上窗口數時為最優，所以得出下表：表1 周六，周日各時間段窗口數量安排表時間8：009：00-10:0011：00-13:0014：00-15:0016：00-17:00人數26574表2 周一至周五各

16、時間段窗口數量安排表時間8：009：00-12:0013：0014：00-15:0016：00-17:00人數132437.模型優缺點分析7.1 優點：（1） 全文的模型求解都運用了計算機模擬，使求解更接近現實.（2） 對基礎模型進行多次改進，考慮因素依次增加（3） 將模型進行細化，模型改進三把時間段從每天細化成每小時，使收銀臺設置更加優化，節省超市開支。7.2 缺點：（1） 部分數據通過實際觀察假設得來，沒有確鑿的文獻作為依據。（2） 考慮的因素不是十分充分，與實際情況存在一定差距。8.參考文獻 1 浙江工業大學圖書館，全文數據庫。 2 孫榮恒，李建平，排隊論基礎仁MI.北京:科學出版社，2

17、002。 3 劉同娟，郭 鍵，劉 軍編著；MATLAB建模、仿真及應用；中國電力出版社；2009。 4 陸傳賚排隊論北京郵電學院出版社，1993：3-675 何健，李丹，李海航，服務系統窗口設置的優化；現代電子技術；20096 潘向東，超市排隊服務效率問題研究。9.附錄附件1：驗證數據是否符合泊松分布函數A=19 49 60 47 20 35 61 59'alpha=0.05;lamda=poissfit(A,alpha);p3=poisscdf(A,lamda);H3,s3=kstest(A,A,p3,alpha)n=length(A);if H3=0disp('該數據服從泊

18、松分布') elsedisp('該數據不服從泊松分布') end附件2：仿真計算顧客平均等待時間for n=1:30a=zeros(1,n);for i=2:na(i)=a(i-1)+exprnd(1/30);endb=zeros(1,n);for i=1:nif (i=1)b(i)=0; else servetime=unifrnd(3,6); if (a(i-1)+servetime+b(i-1)>a(i) b(i)=a(i-1)+servetime+b(i-1)-a(i); else b(i)=0; end endend meantime=mean(b)end;附件3：=0.7851，0.2391編程求P及P的程序a=0.7851; %輸入變量 b=0.2391; %輸入變量 uc=3; %輸入變量 kn=30; %輸入變量 模