1、邯鄲學院本科畢業論文高 昌摘 要 調和級數是數學分析中一個典型的正項發散級數，證明它發散性的方法有很多本文主要給出了證明調和級數發散的11種比較常見的方法筆者將搜集到的證明調和級數發散的方法進行了進一步的整理，使之成為一套具有簡單邏輯性的體系根據各種方法的特點，筆者把這些方法分別歸在了比較類、柯西類、積分類和級數和為無窮大類四個大類下在每個大類下都有兩個到四個不同的證明方法為了方便將各種方法放在一起進行比較，筆者在對各種方法進行整理時，對原來有些方法的書寫和步驟都有所改動，呈現形式與原證不同關鍵詞 調和級數 發散性 判別 收斂Proofs of the divergency of harmon

2、ic series Gao chang Directed by Associate Prof. Lou XijuanAbstract Harmonic series is the mathematical analysis of a typical positive divergent series, proof it divergent method has a lot of. This article mainly gives proof harmonic diverges 11 kinds of common methods. The author will gather to proo

3、f method of harmonic diverges underwent further consolidation, make it become a set of has a simple logical system. According to the characteristics of various methods, the author put these methods shall compared respectively in classes, cauchy class, integral classes and series and four categories

4、such as infinite. In each categories below two to four different methods of proof. In order to facilitate the comparison of various methods, the author put together in various methods to the original collation, some methods of writing and steps are varies, present form and the original license diffe

5、rent. Keywords Harmonics SeriesDivergency Discriminate Convergency 目 錄摘要I外文頁II1引言12調和級數發散性的證明方法12.1 比較類12.2 柯西類32.3 積分類42.4 和為無窮大類53總結7參考文獻8致謝9調和級數發散性的多種證明方法引言調和級數是級數中具有代表性的一個級數，很早人們就開始對它發散性的證明進行研究并且不少知名的學者和大數學家都參與其中最早證明調和級數發散的是法國學者尼古拉奧雷姆，在極限概念完全理解之前400年證明的后來，大數學家伯努力也給出了一種經典的證明隨著科學的不斷發展，到現在證明調和級數發散的

6、方法有近二十種本文主要講搜集到的比較常見的證明調和級數發散的11種方法并進行了進一步的整理，按照比較、柯西、積分、和為無窮大四個條件進行簡單歸類，使之形成一套比較完備的體系，更方便讀者對各種證明方法的閱讀和比較為了方便比較，有些方法采取了與原證不同的呈現形式本論文對數學分析中級數斂散性學習和研究，尤其是初學者，會有很大幫助2調和級數發散性的證明方法2.1 比較類比較判別法是證明正項級數斂收斂或發散最常用的方法多數情況下，利用我們所熟知的收斂或發散的級數與未知的級數進行比較，就能得出結論對于調和級數，利用比較法證明其發散的思路主要有兩類一是利用加括號法則，把原級數變形，再通過放縮或其它方法得到一

7、個熟悉的并且使它大于調和級數的發散級數通過比較判別法得出結論二是找到一個發散級數，并且它的通項與調和級數的通項比是一個非零常數，這就可以由找到的級數的發散性判定調和級數的發散性下面給出的前兩種方法用的是第一種思路，后兩種是第二種思路 方法1依次將一項，一項，二項，四項，八項，十六項括在一起得，這是一個新級數，斂散性與原級數相同它的各項均大于級數 的對應項顯然，第二個級數是發散的由比較判別法知，調和級數發散.（此方法是法國學者尼古拉奧雷姆在極限概念被完全理解之前的400年證明的）方法2依次將九項，九十項，九百項，括在一起得，這是一個新級數，斂散性與原級數相同它的各項均大于級數 的對應項顯然，第二

8、個級數是發散的由比較判別法知，調和級數發散方法3利用不等式：，它的各項均大于下面級數的對應項.假設上面的級數是收斂的，則它的和大于它的部分和。它的部分和為.所以，第二個級數是發散的通過比較判別法可知，調和級數發散方法4應用級數（其中與級數有相同的收斂性取 ，而級數 發散故調和級數發散2.2 柯西類柯西準則及其相關推論也是證明級數收斂或發散的常用方法證明調和級數發散，我們可以用級數發散的柯西準則，也可用級數收斂的柯西準則得出矛盾結論（反證法）本節中方法一用的是級數發散的柯西準則，方法二用的是級數收斂的柯西準則方法1級數發散的充要條件：存在正數，對任何正整數，以及存在正整數和，有. 對于調和級數，

9、令，則有.因此，取，對任何正整數和符合上述條件，所以調和級數是發散的（此方法被多本大學數學教材采用，做為應用柯西準則證明級數發散的典型例題）方法2 級數收斂的柯西準則：任意正數，存在正整數，以及任意正整數和，有 .假設調和級數收斂，則存在使 .令，有（不以0為極限）,從而得出矛盾，故調和級數發散2.3 積分類方法1定理設為上非負遞減函數，那么正項級數與非正常積分同時收斂或發散取，則在上為非負遞減函數則由定理知級數與同時收斂或發散因為，故調和級數發散方法2采用數形結合的方法利用積分的幾何意義，根據面積大小，得出調和級數的部分和發散調和級數的部分和由上圖的陰影部分面積可知第一塊矩形的面積,第二塊矩

10、形的面積,第三塊矩形的面積,第塊矩形的面積.所以，陰影部分的總面積為，它顯然大于曲線下在到之間的那一塊面積，即 .可見，調和級數部分和沒有極限，故調和級數發散2.4 和為無窮大類 和為無窮大是證明級數發散的最直接的方法和可以是整個級數的和，也可以是級數的部分和利用和為無窮大證明調和級數和為無窮大一般利用反證法，得出調和級數和或調和級數的部分和是一個有限數為假本節給出的前兩種方法證明的是整個調和級數的和為無窮大，最后一種方法證明的是調和級數的部分和為無窮大方法1以為基礎，先證明這個等式， ， . 設，則, .所以有，沒有一個有限數會大于等于自己，所以是無窮大即調和級數發散（此方法是大數學家約翰伯

11、努利作出的經典證明）方法2以不等式為基礎先證明這個不等式由得，所以有,.如果是一個有限數，不會大于自己即為正無窮大，故調和級數發散方法3利用反證法，假設，則，因此有 （1）但另一方面，由于對一切有，可知 （2） 顯然，結論（1）與結論（2）矛盾,所以，假設錯誤.因此，調和級數發散.3 總結該論文給出了證明調和級數發散的11種常見的證明方法，并按照一定的方法進行了歸類，讓讀者在閱讀時有一定的整體性證明調和級數發散性的方法，除了本文給出的11種，還有許多比如說利用高斯判別法、歐拉常數等有關知識也可以將其證明調和級數發散性的證明對其它正項級數的證明起到了“尺子”的作用對調和級數發散性的研究不僅豐富了

12、調和級數的證明方法，同時也為一般正項級數發散性的證明提供了更廣闊的空間在對級數發散性的證明時，用到的有可能不僅僅是文中所給的幾種方法，而是需要將幾種方法綜合運用所以證明級數發散時，沒有固定的方法，要靈活參考文獻：1 華東師范大學數學系數學分析（下冊）（第三版）M. 北京：高等教育出版社，2004:1-242 任親謀數學分析習題解析 (下冊)M.陜西：陜西師范大學出版社，2004 3 裴禮文數學分析典型問題與方法 M.北京：高等教育出版社，1993 4 夏曉峰. 調和級數發散的幾種證明J.本溪冶金高等專科學校院報，2000（12）:44-455 馬艷寶. 關于調和級數發散性的五種證明方法J. 商業文化（下半月），2010（2）.1276 張竟成. 關于調和級數發散的幾種證明方法以及它的應用J. 岳陽職業技術學院學報，2006（5）.217 姜洪文. 對調和級數的分析J. 沈陽師范學院院報，2002（