1、走進四邊形的幾何變換在近幾年的各地中考中，幾何變換作為一種數學思想與方法，不斷地被命題者青睞與關注，在現行的初中數學課本中，主要存在平移、旋轉和軸對稱(即翻折)三種幾何變換. 它們最大的特征都是不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形位置的變換。而四邊形作為初中階段最核心最重要的內容，越來越被作為呈現知識和能力的載體。為此，讓我們結合2009年各地中考試題，一同走進四邊形中的變換世界，感受它的魅力與亮點。一、在平移中構造與發現例1：(2009年咸寧市)如圖，將矩形沿對角線剪開，再把沿方向平移得到（1）證明；CBAD（2）若，試問當點在線段上的什么位置時，四邊形是菱形，并請說明理由思路點撥：在平移過程

2、中對應的邊與角的大小不變，僅僅是位置發生改變，借助邊角邊可證出兩個三角形全等；同時AB與CD始終平行且相等，可知四邊形ABCD平行四邊形，要使其為菱形，需滿足AB=BC，而ACB=30°，ABC=90°，可得AB=AC，即點C是線段AC的中點。 解析：(1)矩形沿對角線剪開，再把沿方向平移得到 得=BC=AD，ADBC，AA=CC，DAC=BCA，AADCCB。（2）當點C是線段AC的中點時，四邊形ABCD是菱形，理由如下：四邊形ABCD是矩形， 由平移得到，CD=CD=AB，由（1）知AD=CB，四邊形ABCD是平行四邊形。在RtABC中，點C是線段AC的中點，BC=AC

3、，而ACB=30°，AB=AC，AB=BC，四邊形ABCD是菱形。點評：決定平移后圖形位置的兩個基本因素是平移的方向和距離，本題通過“平移不改變圖形的形狀和大小”的性質，再結合平移前后圖形的相應位置進行分析、綜合、探究與解答。圖形的切割是指通過對相關圖形或實物（紙片）操作，如剪、擺、移、畫等，讓同學們在具體情境中抽象出圖形的形狀、位置、大小關系并最終解決實際問題的一類數學問題。它最明顯的特征是動手操作與實驗。它主要是培養我們的實踐操作能力、動手動腦能力、空間想象能力以及數學應用能力，在操作過程中全面了解和體驗數學活動的過程，從而達到創新思維的目的。二、在折疊中體驗與發現例2： （20

4、09山西省太原市）問題解決如圖（1），將正方形紙片折疊，使點落在邊上一點（不與點，重合），壓平后得到折痕當時，求的值方法指導：為了求得的值，可先求、的長，不妨設：=2圖（2）NABCDEFM圖（1）ABCDEFMN類比歸納在圖（1）中，若則的值等于 ；若則的值等于 ；若（為整數），則的值等于 （用含的式子表示）聯系拓廣 如圖（2），將矩形紙片折疊，使點落在邊上一點（不與點重合），壓平后得到折痕設則的值等于 （用含的式子表示）思路點撥：沿MN對折的兩個圖形全等，點落在邊上一點，構造直角三角形，借助勾股定理列方程求解BN、AM的長，從而得到的值；解析：問題解決：如圖（1-1），連接 由題設，得四邊

5、形和四邊形關于直線對稱N圖（1-1）ABCDEFM 垂直平分 四邊形是正方形， 設則 在中， 解得，即 在和在中， 設則 解得即 類比歸納（或）； ，聯系拓廣 點評：本題以折疊為背景進行課題學習題，圖形的折疊問題是近兩年中考試題涌現出的一類新題型。在解答此類問題時，要明白折痕兩邊的圖形是軸對稱圖形，然后再利用軸對稱變換的性質解題。它要求我們能根據題目中的折疊發現其中的變量與不變量，或者變化的趨勢與內在聯系，挖掘隱含其中的規律或相關的結論，使猜想的結論盡可能與實際情況相吻合，必要時可進行驗證或證明。關鍵是要靈活地從不同角度、不同層次、不同方向運用分類的數學思想方法提出新的問題或解決與之相關的問題

6、或否定不存在某一規律的數學思維能力。先探討簡單情景下存在的某個結論，然后進一步推廣到一般情況下，原來結論是否成立，這是探究問題的一種經驗或一種模式，這種思維方式或者說解題方法應引起我們的關注與重視。解題的關鍵是由特殊到一般或由簡單到復雜的模式，這些本質相同的問題解決辦法是都進行歸納推理，即從列舉對象的一切特殊情形的前提中，推出關于全部對象的一般結論的推理方法。三、在旋轉中構造與探究例3：（2009河南)如圖，在RtABC中，ACB=90°, B =60°，BC=2點0是AC的中點，過點0的直線l從與AC重合的位置開始，繞點0作逆時針旋轉，交AB邊于點D.過點C作CEAB交直

7、線l于點E，設直線l的旋轉角為. (1)當=_度時，四邊形EDBC是等腰梯形，此時AD的長為_； 當=_度時，四邊形EDBC是直角梯形，此時AD的長為_； (2)當=90°時,判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說明理由思路點撥：直線l繞AC的中點O旋轉，始終保持著AOD和EOC全等， 探究四邊形EDBC是等腰梯形的條件，執果索因，應讓B =EDB=60°或ED=BC=2，所以當直線l的旋轉角為30°時，便有EDB=60°；此時AD=1；探究四邊形EDBC是直角梯形，則只需讓EDB=90°即可，所以當直線l的旋轉角為60°時便成立；當直線

8、l的旋轉角=90°時,便可得DECB，便不難發現和證明四邊形EDBC為菱形解析：（1）30，1；60，1.5； （2）當=900時，四邊形EDBC是菱形. =ACB=900，BC/ED. CE/AB, 四邊形EDBC是平行四邊形. 在RtABC中，ACB=900，B=600,BC=2,A=300.AB=4,AC=2.AO= . 在RtAOD中，A=300，AD=2.BD=2.BD=BC.又四邊形EDBC是平行四邊形，四邊形EDBC是菱形 點評：在旋轉變換中要把握好三要素：旋轉中心、旋轉角和旋轉方向，對于圖形的旋轉變換，以及在變化過程中的不變量、變化量以及由此蘊釀構造出的新圖形的形狀、

9、位置、大小關系要引起高度重視解決這類問題的關鍵是樹立聯系、發展的動態觀點，化動為靜，進行適當動手操作與實驗，動中求靜，運用發散思維，化一般為特殊，尋找出變量關系式和不變量，運用數學轉化與化歸數學思想進行探究與思考，捕捉和確定某些特殊圖形或位置，便會發現意想不到的思路、方法和思維亮點。 例4：（2009德州）已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG（1）求證：EG=CG；（2）將圖中BEF繞B點逆時針旋轉45º，如圖所示，取DF中點G，連接EG，CG問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理

10、由 （3）將圖中BEF繞B點旋轉任意角度，如圖所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論？（均不要求證明）DFBACE例3題圖FBADCEG例3圖FBADCEG例3圖 FBADCEGMNN圖 （一）思路點撥：在（1）中，利用直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，證出EG=CG；在（2）中，BEF繞B點逆時針旋轉45º后，充分利用G為DF中點，通過添加輔助線，分別構造DMGFNGDAGDCGAMGENG從而得證；解析：（1）證明：在RtFCD中， G為DF的中點， CG=FD 同理，在RtDEF中， EG=FD CG=EG（2）（1）中結論仍然成立，

11、即EG=CG 連接AG，過G點作MNAD于M，與EF的延長線交于N點在DAG與DCG中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG FBADCE圖G在DMG與FNG中， DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN 在RtAMG 與RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG EG=CG （3）（1）中的結論仍然成立，即EG=CG其他的結論還有:EGCG點評：本題涉及的知識多，構思獨特，能力較高，在解題時要充分挖掘相關圖形的信息，關注圖形的性質，定理，讓題目中的某些隱含信息發揮作用，并適當

12、添加輔助線，化一般為特殊，化未知為已知。對于（3）中的結論探索，一般從條件出發，用從特殊到一般的思想，歸納猜想出結論。實戰演練（請編輯根據需要選用）1、（2009年煙臺市）如圖，將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值8，那么菱形周長的最大值是 2、（2009年煙臺市）利用兩塊長方體木塊測量一張桌子的高度首先按圖方式放置，再交換兩木塊的位置，按圖方式放置測量的數據如圖，則桌子的高度是（ ）A73cmB74cmC75cmD76cm80cm70cm3、（2009仙桃）將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、EF為折痕，BAE30&

13、#176;，AB，折疊后，點C落在AD邊上的C1處，并且點B落在EC1邊上的B1處則BC的長為（ ）A、 B、2 C、3 D、4、(2009年義烏)如圖，一塊磚的外側面積為，那么圖中殘留部分墻面的面積為（ ）A B C D5.（2009年蘭州）如圖所示，將一張正方形紙片對折兩次，然后在上面打3個洞，則紙片展開后是（ ）ABCDa"6、（2009四川綿陽）如圖，把一個長方形的紙片對折兩次，然后剪下一個角，為了得到一個銳角為60° 的菱形，剪口與折痕所成的角a 的度數應為（ ）A15°或30° B30°或45° C45°或60&

14、#176; D30°或60°7、（2009年安徽）學校植物園沿路護欄紋飾部分設計成若干個全等菱形圖案，每增加一個菱形圖案，紋飾長度就增加dcm，如圖所示已知每個菱形圖案的邊長cm，其一個內角為60°60°dL（1）若d26，則該紋飾要231個菱形圖案，求紋飾的長度L；（2）當d20時，若保持（1）中紋飾長度不變，則需要多少個這樣的菱形圖案？8、（2009年北京市）閱讀下列材料：小明遇到一個問題：5個同樣大小的正方形紙片排列形式如圖1所示，將它們分割后拼接成一個新的正方形.他的做法是：按圖2所示的方法分割后，將三角形紙片繞AB的中點O旋轉至三角形紙片處，依此方法繼續操作，即可拼接成一個新的正方形DEFG.請你參考小明的做法解決下列問題：（1）現有5個形狀、大小相同的矩形紙片，排列形式如圖3所示.請將其分割后拼接成一個平行四邊形.要求：在圖3中畫出并 指明拼接成的平行四邊形（畫出一個符合條件的平行四邊形即可）；（2）如圖4，在面積為2的平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，分別連結AF、BG、CH、DE得到一個新的平行四邊形MNPQ，請在圖4中探究平行四邊形MNPQ面積的