1、10.618法與法與Fibonacci法法單谷函數單谷函數(Unimodal Function)-定義定義20.618法與法與Fibonacci法法單谷函數單谷函數-性質性質注：注：通過計算區間通過計算區間,ba內兩個不同點的函數值，就可以內兩個不同點的函數值，就可以確定一個包含極小點的子區間確定一個包含極小點的子區間. .30.618法與法與Fibonacci法法單谷函數單谷函數-性質性質40.618法與法與Fibonacci法法(3)(1);(2)數數; ;? t如何尋求如何尋求問題的提出問題的提出50.618法與法與Fibonacci法法通過選取試探點使包含極小點的區間不斷縮短，通過選取

2、試探點使包含極小點的區間不斷縮短，值均接近極小值。值均接近極小值。直到區間長度小到一定程度，此時區間上各點的函數直到區間長度小到一定程度，此時區間上各點的函數0.6180.618法法( (黃金分割法黃金分割法)- )- Golden Section Search 思路思路6下面推導黃金分割法的計算公式下面推導黃金分割法的計算公式. .,., kkkkkkkkbabak 且且取取試試探探點點，為為進進一一步步縮縮短短搜搜索索區區間間次次迭迭代代時時，搜搜索索區區間間為為設設第第分兩種情況：分兩種情況：和和計算計算, )()(kk ,)()(. 1kk 若若情情形形;,11kkkkbaa 則則令令

3、.,11kkkkbba 則則令令？與與如何確定如何確定kk 0.618法與法與Fibonacci法法0.6180.618法法( (黃金分割法黃金分割法) ),)()(. 2kk 若若情情形形 計算公式計算公式7. )1(k中中的的位位置置對對稱稱在在區區間間和和kkk,ba 件：件：要求其滿足以下兩個條要求其滿足以下兩個條kakbk ku0.618法與法與Fibonacci法法0.6180.618法法( (黃金分割法黃金分割法) )1(. 121 , )(,k11 kkkkkkkkkababab)()(akkkkkkkkkkabbab )2()3()(1()(akkkkkkkkkkabaab

4、計算公式計算公式 縮短率縮短率8. 1k)2(一一個個新新的的試試探探點點只只增增加加的的試試探探點點，次次迭迭代代中中，保保留留一一個個舊舊為為減減少少計計算算量量，在在第第 0.6180.618法法( (黃金分割法黃金分割法) )情情每次迭代區間長每次迭代區間長度的縮短率相同度的縮短率相同1 1 計算公式計算公式90.618法與法與Fibonacci法法0.6180.618法法( (黃金分割法黃金分割法) )注：注： 縮短率縮短率 恰為黃金分割數，即它滿足恰為黃金分割數，即它滿足 .11 幾何意義：幾何意義：黃金分割數黃金分割數 對對應的點在單位長區間應的點在單位長區間 0,1中的位置相當

5、于其對中的位置相當于其對稱點稱點 在區間在區間0， 中中的位置的位置(如圖如圖6.2.2所示所示) -1 ).ab(abb,a1-N111NNNNN的長度次迭代后的搜索區間第注注 計算公式計算公式0.618法與法與Fibonacci法法0.6180.618法法( (黃金分割法黃金分割法) ) 算法步驟算法步驟0.618.= =Step3若若, kkab則則停；停； 否則否則轉轉StepStep. .,2kkba 11例例 用黃金分割法求函數用黃金分割法求函數 22 xxxf在區間在區間 3, 1 上的極小點。上的極小點。要求最終區間長度不大于要求最終區間長度不大于原始區間長度的原始區間長度的0

6、.080.08倍倍解解函數函數 xf在區間在區間 3, 1 上為單谷函數，且上為單谷函數，且 32. 008. 013 0.618法與法與Fibonacci法法0.6180.618法法( (黃金分割法黃金分割法) ) 舉例舉例12第一次迭代第一次迭代 3, 1 ba ,528. 0382. 0 aba .751. 11 f ,472. 1618. 0 aba .695. 22 f,21ff 縮短后區間為縮短后區間為 .472. 1, 1 第二次迭代第二次迭代 472. 1, 1 ba,21ff 縮短后區間為縮短后區間為 .472. 1,056. 0 .059. 21 f ,056. 0382.

7、 0 aba 0.618法與法與Fibonacci法法0.6180.618法法( (黃金分割法黃金分割法) ) 舉例舉例 ,528. 0618. 0 aba .751. 12 f迭代迭代次數次數0.5280.5281.4721.4721.7511.7512.6952.695否否-0.056-0.0560.5280.5282.0592.0591.7511.751否否0.5280.5280.8880.8881.7511.7511.9011.901否否0.3050.3050.5280.5281.7881.7881.7511.751否否0.5280.5280.6650.6651.7511.7511.7

8、771.777否否0.4430.4430.5280.5281.7531.7531.7511.751否否0.5280.5280.5800.5801.7511.7511.7571.757是是 ba , 1f2f ab 3,1 472.1 ,1 472. 1 ,056. 0 888. 0 ,056. 0 888. 0 ,305. 0 665. 0 ,305. 0 665. 0 ,443. 0 554.02/665.0443.0* x140.618法與法與Fibonacci法法Fibonacci法法當事先給定搜索算法的迭代次數當事先給定搜索算法的迭代次數N時，問按何種規則選取時，問按何種規則選取試探點

9、可以使給定的搜索區間長度最快地縮短試探點可以使給定的搜索區間長度最快地縮短?思路思路問題的提出問題的提出).ab(abb,a1-N618. 0111NNNNN 的的長長度度次次迭迭代代后后的的搜搜索索區區間間法法知知：經經由由 由由0.6180.618法的推導過程知：在一般搜索算法的迭代過程法的推導過程知：在一般搜索算法的迭代過程中，縮短率滿足中，縮短率滿足 且且 . 121k).ab(abb,a1-N11121NNNN N 的的長長度度次次迭迭代代后后的的搜搜索索區區間間又又知知：經經150.618法與法與Fibonacci法法Fibonacci法法待解決的問題轉化待解決的問題轉化為優化問題

10、：為優化問題：思路思路. 1,.,2 , 1, 121 , 2,.,2 , 1,1 .min1121 NkNktskkkkN 可以證明，此優化問題的最優解為可以證明，此優化問題的最優解為 , 1,.,2 , 1,1 NkFFkNkNk 其中其中 FN-k 為為Fibonacci數數，即，即 ,.2 , 1, 11110iFFFFFiii160.618法與法與Fibonacci法法Fibonacci法法Fibonacci 法迭代公式法迭代公式=170.618法與法與Fibonacci法法Fibonacci法法注意事項注意事項(1) 迭代次數迭代次數n-1的確定的確定若原始區間為若原始區間為 ,b

11、a要求最終區間長度要求最終區間長度, ) 0( nnab則則,)(1)()(132211121 abFabFFFFFFabFFabnnnnnnn可確定可確定n-n-1 1. . b-aFn 即即，(2) (2) 第第n n-1-1次迭代中兩個試點的選取方式次迭代中兩個試點的選取方式.0,21111為為辨辨別別常常數數其其中中 nnnnnnba 1111111 . 0,2/ nnnnnnnnabba 或或Fibonacci法法算法步驟算法步驟1 k ,k +Fibonacci法法算法步驟算法步驟0.618法與法與Fibonacci法法 1111111 . 0,2/ nnnnnnnnabba 或或

12、20例例 用用FibonacciFibonacci法求函數法求函數 22 xxxf在區間在區間 3, 1 上的極小點。上的極小點。要求最終區間長度不大于要求最終區間長度不大于原始區間長度的原始區間長度的0.080.08倍倍解解： 函數函數 xf在區間在區間 3, 1 上為下單峰函數，上為下單峰函數， 32. 008. 013 由由,5 .1208. 0/1 nF可知可知n應取應取 .136 F0.618法與法與Fibonacci法法Fibonacci法法舉例舉例21第一次迭代第一次迭代： 3, 1 ba abFFa 64 41351 538. 0 462. 14138165 abFFa 675

13、. 2,751. 121 ff,21ff 縮短后區間為縮短后區間為 462. 1, 1 0.618法與法與Fibonacci法法Fibonacci法法舉例舉例22第二次迭代第二次迭代： 462. 1, 1 ba538. 0 751. 12 f 077. 01462. 1153 FF 083. 21 f,21ff 縮短后區間為縮短后區間為 462. 1,077. 0 0.618法與法與Fibonacci法法Fibonacci法法舉例舉例23第三次迭代第三次迭代： 462. 1,077. 0 ba538. 0 751. 11 f 846. 0077. 0462. 1077. 043 FF 870.

14、 12 f,21ff 縮短后區間為縮短后區間為 846. 0,077. 0 第四次迭代第四次迭代： 846. 0,077. 0 ba538. 0 751. 12 f 231. 0077. 0846. 0077. 031 FF 822. 11 f,21ff 縮短后區間為縮短后區間為 846. 0,231. 00.618法與法與Fibonacci法法Fibonacci法法舉例舉例24第五次迭代：第五次迭代：0.618法與法與Fibonacci法法Fibonacci法法舉例舉例 846. 0,231. 0 ba75148. 1,5385. 0)846. 0231. 0(2/11 f 5386. 0001. 0 8148. 12 f,21ff 縮短后區間為縮短后區間為0.231, 0.5386.25Fibonacci方法評價方法評價FibonacciFibonacci法的優點法的優點 效率最高，有限個試點的情況下，可將效率最高，有限個試點的情況下，可將最優點所在最優點所在的區間縮小到最小的區間縮小到最小0.618法與法與Fibonacci法法26FibonacciFibonacci法的缺點法的缺點（）搜索前先要計算搜索的步數；（）搜索前先要計算搜索的步數；（）每次搜索試點計算的公式不