1、對定積分的對定積分的補充規定補充規定:（1）當）當ba 時，時，0)( badxxf；（2）當當ba 時時， abbadxxfdxxf)()(. 在下面的性質中，在下面的性質中，假定定積分都存在假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小且不考慮積分上下限的大小說明說明四、定積分的性質四、定積分的性質 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg（此性質可以推廣到有限多個函數作和的情況）（此性質可以推廣到有限多個函數

2、作和的情況）性質性質1 1 banibainiidxxfdxxf11)()(性質性質2 2證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk baninibaiiiidxxfkdxxfk11)()(即線性組合的定積分等于定積分的線性組合即線性組合的定積分等于定積分的線性組合說明說明定積分也具有定積分也具有線性運算性質線性運算性質假設假設bca badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補充補充：不論：不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,例例 若若, cba ca

3、dxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)(則則 cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定積分對于積分區間具有可加性）（定積分對于積分區間具有可加性） 性質性質3 3dxba 1dxba ab .性質性質5 5（非負性）（非負性）如如果果在在區區間間, ba上上0)( xf， 證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixfiinixf )(lim10 . 0)( badxxf 性質性質4 4性質性質5 5（非負性）（非負性）如如果果在在區區間間, ba上上0)( xf， （補充（補充1 1）

4、（補充（補充2 2）0)(, 0)(),(c, 0)(,)(abdxxfcfbaxfbaCxf則使得若，且“設a( ) , ( )0,( )0,( )0bf xC a bf xf x dxf x“設，且若則性質性質5 5的推論：（比較定理）的推論：（比較定理）則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba （1）如如果果在在區區間間,ba上上)()(xgxf ，（2）dxxfba )(dxxfba )(. )(ba 說明：說明： 可積性是顯然的可積性是顯然的.|)(xf|在區間在區間,ba上的上的,xex0, 2 xdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 解

5、解設設M及及m分分 別別 是是 函函 數數)(xf在在區區間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，則則 )()()(abMdxxfabmba . .證證,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質可用于估計積分值的大致范圍）（此性質可用于估計積分值的大致范圍）性質性質6 6（估值定理）（估值定理）如如果果函函數數)(xf在在閉閉區區間間,ba上上連連續續，則則在在積積分分區區間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 積分中值公式積分中值公式證證)()()(abMdxxfa

6、bmba Mdxxfabmba )(1由介值定理知由介值定理知性質性質7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理）在在區區間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 即即注：注：1）定理條件）定理條件f(x)在在a,b連續不能消弱！連續不能消弱！ 2）積分中值公式的幾何解釋：）積分中值公式的幾何解釋：xyoab )( fbaf(x)a,b1f( )f(x)dxba此時，亦稱為在上的平均值 積分中值公式積分中值公式解解,sin)(xxxf 2,4 x2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 0 ,22

7、)4( fM,2)2( fm,422sin4224 dxxx解解 由積分中值定理知有由積分中值定理知有,2, xxdttfttxx 2)(3sin使使),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 4定積分的性質定積分的性質（注意估值性質、積分中值定理的應用）（注意估值性質、積分中值定理的應用）典型問題典型問題（）估計積分值；例（）估計積分值；例5.1.2， 習題習題4（）不計算定積分比較積分大小習題（）不計算定積分比較積分大小習題3小結小結 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上可上可積，不能斷言積，不能斷言)(),(xgxf在在,ba上都可積。上都可積。注意：注意： 為無理數為無理數，為有理數