1、數學試題一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有項是符合題目要求的.請把答案填在答卷頁的表格內.1.已知集合A=1,2,3,4,B=y|y=3x2,xCA),則APB等于()A.1B.4C.1,3D.1,4【答案】D【解析】因為集合B中，xCA,所以當x=1時，y=3-2=1;當x=2時，y=3X22=4;當x=3時，y=3X32=7;當x=4時，y=3X42=10.即B=1,4,7,10.又因為A=1,2,3,4,所以AHB=1,4.故選D.匚視頻二I-l2.設提純虛數，若是實數，則()zI2A.B.閆C.D.卜|【答案】A試題分析：設K- EU,1

2、-i（1一以一如十2）2-a-（2+a）i-Ai+i十？（所+2）4二/，考點：復數概念及其運算【易錯點晴】在復數的四則運算上，經常由于疏忽而導致計算結果出錯.除了加減乘除運算外，有時要結合共軻復數的特征性質和復數模的相關知識，綜合起來加以分析.在復數的四則運算中，只對加法和乘法法則給出規定，而把減法、除法定義為加法、乘法的逆運算.復數代數形式的運算類似多項式的運算，加法類似合并同類項；復數的加法滿足交換律和結合律，復數代數形式的乘法類似多項式乘以多項式，除法類似分母有理化；用類比的思想學習復數中的運算問題.3 .已知命題p：“？xC1,2,x2-a>0",命題q：“？xoCR

3、,使小十2ax。十=。"，若命題“p且q”是真命題，則實數a的取值范圍是()A.a|aw2或a=1B.a|a>1C.a|aw2或1waW2D.a|-2<a<1【答案】A【解析】【分析】先求解命題b，q為真命題時，實數a的范圍，再由命題P且q為真命題，即可求解實數a的取值范圍【詳解】由題意，命題p為真命題，則般卜2,所以卜力，命題q為真，則也->0,解得a>或強三-二，若命題且工為真命題，則日的取值范圍是卜_二或出,即實數a的取值范圍是陽白三二或;1lj|,故選A.【點睛】本題主要考查了復合命題的真假判定及應用，其中正確求解命題p.q為真命題時，實數”的范

4、圍，再由命題p且q為真命題求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.4 .已知條件pY-A-mvo,條件若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍為()A.a>3B.a>3C.av-1D.a<-1【答案】D【解析】試題分析：由x2-2x-3<0可得設A找國Ka)|,因為p是q的充分不必要條件，所以IaB且A/B,可得口三】.考點：充分條件與必要條件.【名師點睛】判斷充分條件和必要條件的方法(1)命題判斷法:設“若p,則q”為原命題，那么:原命題為真，逆命題為假時,p是q的充分不必要條件;原命題為假，逆命題為真時,p是q的必要不充分條件;原命題與逆命題都為真時,p是q的充

5、要條件;原命題與逆命題都為假時,p是q的既不充分也不必要條件.-17 -(2)集合判斷法:從集合的觀點看，建立命題p,q相應的集合:p：A=x|p(x)成立,q：B=x|q(x)成立,那么：若A?B,則p是q的充分條件；若AB時，則p是q的充分不必要條件;若B?A,則p是q的必要條件；若BA時，則p是q的必要不充分條件;若A?B且B?A,即A=B時，則p是q的充要條件.（3）等價轉化法：p是q的什么條件等價于非q是非p的什么條件.【答案】C【解析】【分析】根據函數的部分圖象，先確定函數的最小正周期，求得年的值，再代入點（Ui,即可求解相應的q：的值即可.T，道父【詳解】由圖象得一2,所以又由w

6、,4T4一一一當時，丫-1,所以5m（+爐）=,解得tp4-+EZ,442當k:時，1P:故選C.【點睛】本題主要考查了三角函數點圖象與性質，由函數的圖象求解三角函數的解析式時，通常根據函數的最值確定為（振幅）的值，再由函數的最小正周期，確定松的值，最后代入特殊點求解相應的中的值，即可得到三角函數的解析式，著重考查了識圖能力，以及推理與運算能力.I/6 .由a=1,給出的數列an的第34項是（）3%+1A. B. 100 C.100【答案】A【解析】34D.【分析】由數列的遞推關系式，分別求解出即可求解.的一“陶曲-，再尋找出計算的規律，利用等差數列的性質,詳解由電-凡,r 3%+i11L1由

7、此可知各項分子為1,分母構成等差數列bj,首項忖- 1 ,公差為d - 3所以與小瓦Y"l）d-l33TUK：,所以如，故選A【點睛】本題主要考查了數列的遞推關系式的應用，其中明確數列的遞推關系式，進行逐項求解，找出數列的構成規律是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.7 .給出以下四個命題:若 sin A= sin B,則 A= B;若abw0,則awo或bw0；若a>b,則am2>bm2;在ABCt3,在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若b24ac<0,則方程有實數根.其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是（）A"B.C.D.根據題意

8、，分別寫出每個命題的逆命題、否命題和逆否命題，再判斷它們的真假，即可得到答案.【詳解】對于，原命題是：若則n三”或三0,是真命題，則其逆否命題是真命題;逆命題是：若昌三口或口三0,則此二0,是假命題，則否命題是假命題；對于，原命題：若Li則同】/>七，是假命題，所以其逆否命題也是假命題；逆命題是：若alti2>bin則q-b,是真命題，則其否命題也是真命題；對于中，原命題：在叢川娟中，若31nA=$|曲，則AB，是真命題，則其逆否命題也是真命題；逆命題：在3AB（中，若AB,則SnA-5inB,是真命題，則其否命題也是真命題；對于中，原命題：在一元二次方程卜？十8+g0中，若卜-4

9、泰；0,則方程有實數根，是假命題，則其逆否命題也是假命題；逆命題：在一元二次方程式+Bk+匕一U中，若方程有實數根，則f4的c0，是假命題，則其否命題也是假命題；所以原命題、逆命題、否命題、逆否命題中都是真命題的，只有，故選C.【點睛】本題主要考查了四種命題的書寫及真假關系的判定，其中解答中熟記四種命題的書寫，以及四種命題的真假關系是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題.8 .已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）T正 I 口 MITtWTI W 1ttWMA.7B.17C. 13 D.1 【解析】ABC-DEI ,是正方體中的一部分，如圖. lBC-2 ,試題分析

10、：該三視圖的幾何體是三棱臺考點：三視圖，表面積.【名師點睛】幾何體的三視圖，常常可以看作是由基本幾何體（如正方體、長方體）切割出的幾何體的三視圖，因此由這樣的三視圖作直觀圖時，可以畫出正方體（或長方體），在此基礎上切割并想象三視圖得到所需幾何體的直觀圖，這樣畫圖有一個好處就是幾何體中的線面關系（平行與垂直）非常清晰.9 .已知三角形的三邊分別為a,b,c,內切圓的半徑為r,則三角形的面積為b斗仁*;£四面體的四個面的面積分別為S,S2,S3,S4,內切球的半徑為R類比三角形的面積可得四面體的體積為（）A.嗎"WB.嗎詞C.獷D./-澎圣斗【答案】B【解析】【分析】根據幾何體

11、和平面圖形的類比關系，三角形的邊應與四面體中的各個面、面積與體積進行類比，利用類比推理，即可得到結論.【詳解】根據幾何體和平面圖形的類比關系，三角形的邊應與四面體中的各個面進行類比，而面積與體積進行類比，則&ABC的面積為S（n+b+c）i,對應于四面體的體積為V=+S”號+SJR，故選B.【點睛】本題考查了類比推理的應用，其中合情推理能幫助猜測和發現結論，在證明一個數學結論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向.合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結論不一定正確.而演繹推理得到的結論一定正確（前提和推理形式都正確的前提下）.10 .甲乙兩人玩猜數字游戲，先由甲心中任想一個數字記

12、為a,再由乙猜甲剛才想的數字，把乙猜的數字記為b,且a,bC0,1,2,，9.若|ab|wi,則稱甲乙“心有靈犀”.現任意找兩人玩這個游戲，則二人“心有靈犀”的概率為（）【分析】由題意得甲乙兩人各猜一個數字，共有10.010。種，再由列舉出滿足|ab|<1的所包含的基本事件的個數，利用古典概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，可知甲乙兩人各猜一個數字，共有W10-100（種）猜字結果，其中滿足怙熊1的有:當廠。時，b-OJ；當&I時，當廣2時，|bT23；當其時，卜-4；當a-4時，b.3.%5；當a5|時，b34.5.6；當同-6時，H-5A7；當a-7時，|b-6,7

13、,8；當a'時，b7.E.9；當需-9時，b亂9,共有WN種，”7所以他們“心有靈犀”的概率為p,故選A.10025【點睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計算，其中解答中根據題意，得出基本事件的總數和找出事件所包含的基本事件的個數（列舉法）是解答的關鍵，同時注意認真審題，合理作答，著重考查了推理與運算能力.11 .函數f（x）=2x2lnx的單調遞減區間是（）1r>1八1r1*1A.（o.t）B.（工明和（才+句C.q+功D.（.叫_不）和（0*0JuJb£££【答案】A【解析】【分析】求出函數的導數，利用函數的導數小于0,即可求解函數的遞減區間.

14、【詳解】由題意，得f（x）=曳W=竺更生>0,XXX又當xE（0。時，&尸口，所以函數R#的單調遞減區間是卜故選A.【點睛】本題主要考查了利用導數求解函數的單調區間，其中熟記導數的計算公式以及導數在函數中的應用是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.2212.已知雙曲線三1=1的左，右焦點分別為Fi,F2,點P在雙曲線的右支上，且|PF|=4|PF2|,a'b-則此雙曲線的離心率e的最大值為（）A.-B.'C.2D.'P33【答案】B【解析】【分析】w517gt根據雙曲線的定義，求得|PF卜丁|PF卜尸再由余弦定理，得6將生1P心彳根據三角函數的性質，得到

15、當eMFJFa-】時，離心率已取得最大值，即可求解.【詳解】由雙曲線的定義知|PF>|PF2=2a又口耳卜口外,聯立解得PF/|PF2|-L,MSL?64r4r7T-u99179,在SFjF,中，由余弦定理，得g*FFFr=-T,1 -X2N82 -a-a3 3要求l的最大值，即求的最小值，當gMFP%-1時，解得一；，即e的最大值為：，故選B.解法二：由雙曲線的定義知IPFJ-IPF,三加又PFJ三4|PF,聯立解得82255|PFj料PF薩，因為點P在右支所以PF|之c-心即丁國c-白故丁|>c,即e的最大值為一,故選B.【點睛】本題主要考查了雙曲線的幾何性質的求解，其中根據雙

16、曲線的定義求得田瓦卜|印，再在APFih中，利用余弦定理得到關于離心率卜的關系式是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，推理與運算能力，屬于中檔試題.二.填空題：（只要求寫出最后結果，并把結果寫在答卷頁的相應位置上，每題5分，共20分）13 .展開式中x2的系數為.2【答案】60【解析】【分析】求出二項式，1斗展開式的通項，再根據（1-xXl+2廚,即可求解小的系數.【詳解】因為展開式的通項為所以（二）（1+2冏展開式中工二的系數為大22-60故答案為6。.【點睛】本題主要考查了二項式定理的應用，其中熟記二項展開式的通項是解答此類問題的關鍵，著重考查了推理與運算能力.14 .曲線y=

17、x32x在（1,1）處的切線方程為【答案】x-y-2=0【解析】試題分析：根據導數的幾何意義求出函數在斜式方程寫出切線方程即可.2解：y'= - 2+3xx=1處的導數，從而得到切線的斜率，再利用點y'|x=1=1而切點的坐標為（1,-1）曲線y=x3-2x在x=1的處的切線方程為x-y-2=0故答案為：x-y-2=015 .程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的S的值是【答案】【解析】【分析】根據給定的程序框圖，逐次循環計算，得到計算的周期性，即可求解.1+2ITI【詳解】由程序框圖知：第一次循環s11-2；第二次循環S,13；1-21O21 11- 1+-第三次循環S=-j=

18、第四次循環S=2j=5；13I1 +12 3第五次循環S-箝|，則S值的周期為4,1-2跳出循環體的i值為，共循環了3Q15次，輸出的S-4故答案為I【點睛】識別算法框圖和完善算法框圖是近年高考的重點和熱點.解決這類問題：首先，要明確算法框圖中的順序結構、條件結構和循環結構；第二，要識別運行算法框圖，理解框圖解決的問題；第三，按照框圖的要求一步一步進行循環，直到跳出循環體輸出結果，完成解答.近年框圖問題考查很活，常把框圖的考查與函數和數列等知識考查相結合.16.已知向量op=aiLob=。山，設x是直線。乜的一點（o為坐標原點），那么xA'Kb的最小值是.【分析】設直線OF方程為設出點

19、X坐標為（m，利用向量的坐標運算，得到關于m的關系式,M£即可求解最小值.【詳解】直線0P方程為y-1%£1-1-1設點X坐標為則罰工XB-（5m.l-115,5,所以XAXBQ+-巾XI-in）-nTTOm+12Tm-4廠8,2244當m4時，RX-疝的最小值為|-8.故答案為.【點睛】本題主要考查了向量的坐標表示及向量的運算，其中根據直線QP方程，設出點X的坐標，利用向量數量積的坐標運算得出關于另的關系式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.三、解答題：（本大題共6小題，滿分70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.|4ABC中的內角A，C的對邊分別是亂

20、若四-4c,B2c.（1）求cvsB；（2）若c5,點|D為邊Be上一點，且ED=6,求ADC的面積.【答案】（1）（2）|10.【解析】【分析】（1）因為£,所以有！dnBfinK”求得二竺，再利用余弦的倍角公式，即可求解；5_（2）由余弦定理，化簡得解得aU,又=工，則外能=上，再三角形的55面積公式，即可求解.【詳解】（1）因為B2C,所以有5inB號in2c-anCcosC從而g&C=巴'-2=.2sinC2c5故a（2）由題意得，b4小,由余弦定理得，必即80，。5之-25f,化簡|5得J.g-55U,解得a11或L-5（舍去）.從而DC3,又8sL竺，則詡

21、1斗所以J1出5且3工iDCAL沏C=f5乂4舟二二16上ZJ【點睛】本題主要考查了三角恒等變換和正弦、余弦定理解三角形的應用，在解有關三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.18.某大學城校區與本部校區之間的駕車單程所需時間為|t，"只與道路暢通狀況有關，對其容量為500的樣本進行統計，結果如下:H（分鐘）25303540頻數（次）10015020050以這500次駕車單程所需時間的頻率代替某人1次駕車單程所需時

22、間的概率.(1)求亍的分布列與R_T，.E(T)；(2)某天有3位教師獨自駕車從大學城校區返回本部校區，記X表示這3位教師中駕車所用時間少于ET)的人數，求區的分布列與(3)下周某天張老師將駕車從大學城校區出發，前往本部校區做一個50分鐘的講座，結束后立即返回大學城校區，求張老師從離開大學城校區到返回大學城校區共用時間不超過120分鐘的概率.【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)0,91【解析】【分析】(1)以頻率估計頻率，即可取得|T的分布列，求出期望，得到概率即可；(2)判斷分布列是二項分布，然后列出分布列，利用公式求解期望；(3)設TpT二分別表示往返所需時間，設事件八表示“從離開大

23、學城校區到返回大學城校區共用事件不超過120分鐘”，則P(A)-RCrL-2>)P(T2<25)尺八一獨叩衛<40)十支L-%>PCI工均+ITj-40)P(T2三孫，求解概率即可.【詳解】(1)以頻率估計頻率得T的分布列為：T253035400.20.30.40.1耽25乂0.4+40乂(分鐘)，IYJECD)32)-02+0.3OS(2)乂出312上(k-0J23)0123183811 3E(X)=32 2(3)設T匚分別表示往返所需時間，設事件八表示“從離開大學城校區到返回大學城校區共用時間不超過120分鐘”，則|P(A)-P(Tl-25)PCT3<45)+

24、P(Tl-?O)P(T3<40)+P(Tl-t5>P(T2<35)+P(Tl-4C)P(T3<30)-0.271OJ1/0.4-05-0.91-【點睛】本題主要考查、隨機變量的分布列和數學期望，其中認真審題，準確判斷，得到得出離散型隨機變量的分布列，求得概率和數學期望是解答關鍵，能很好的考查考生數學應用意識、基本運算求解能力等.,.I_1.19.如圖，在四棱錐PABCD中，PD，底面ABCD,底面ABCD為矩形，且P門AD,自為PC的中點.(1)過點|a作一條射線AG,使得|AG"BD,求證：平面PAG1平面BDE；(2)求二面角DBE-C的余弦值的絕對值.【

25、答案】(1)見解析；(2).5【解析】試題分析：(1)連線AC和UH交于點。，連接。E,則是AC的中點，由中位線定理得OE/PA,由線面平行的判定定理得以PA.平面I3DE;同理得|aG，J平面BDE,進而由面面平行得判定定理可得結論；(2)分別以DA|,DC,DF所在的直線為k軸，b軸，？軸建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面|bde的一個法向量和平面Bec的一個法向量，進而用空間向量夾角余弦公式求解.試題解析：(1)證明：在矩形ABCD中，連線AC和B交于點。，連接OE,則。是AC|的中點，由于民是政：的中點，所以OE是PAC的中位線，則OE.PA,又OE匚平面BDE,PAG平面帆兒

26、，所以PAf平面BDE,又同理得AG：平面RDE,因為PAnAG-A，所以平面pA6平面BDE(2)解：分別以di因，DF所在的直線為工軸，|y軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設AD耨，則PD-h,AB-覬，故見心石0),C2a，E(0a，所以近三2&0)，I定GU$，cixgoa，惶-(Om-，設平面BDU的一個法向量為M”,叫ax + 2ay - 0?aay + -z = 0;7上L故一(22)同理，可得平面的一個法向量所以向,刃:二立即二面角Dbe-c的余弦值的絕對值為斗-gn55考點：1、線面、面面平行得判定定理；2、空間向量夾角余弦公式.20.已知橢圓|：P-+=1(&g

27、t;，b,。)的右焦點為住也川,且橢圓上一點|M到其兩焦點%,心|b2的距離之和為tW.(1)求橢圓的標準方程；(2)設直線1：yf4nl(mwR)與橢圓交于不同兩點|a|，B，且|AB-3。，若點耳.)滿足|PA|-|PB,求y的值22【答案】(1)二匕7；(2)卜3或124【解析】【分析】(1)由已知求得溫2小，又由<工小,由此能求出橢圓的方程；,y*x+m(2)由k-一得心，6mx+3mL120,由此利用根的判別式、韋達定理、中垂線的j=I(124性質，結合已知，即可求出、的值.【詳解】(1)由已知方7叵得;I2罔，又c亦，毛工工回7,橢圓寸的方程為土124(2)由忙工.得志46n

28、M3,12fl|A、慟，直線1與橢圓交于不同兩點3m2-1246L，一口又由|AB|二3日得一:?7"%解得m土2.據題意知，點p為線段AB的中垂線與直線,匚的交點，設AB的中點為用“yj,則q=1上=:廣鵬+k目當m己時,胃I此時，線段|AB的中垂線方程為¥，<"),即y ' x - I 令 1 7 ,得7441111出.-3.當m.二時，EW-*，此時，線段.位中垂線方程為54-.(”3眼-.x41|.令山上工上1 .綜上所述，、的值為-3或.1.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程與幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系的應用問題解答此類題目，通常利

29、用的關系，確定橢圓(圓錐曲線)方程是基礎，通過聯立直線方程與橢圓(圓錐曲線)方程的方程組，應用一元二次方程根與系數的關系，得到“目標函數”的解析式，確定函數的性質進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯漏百出，本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力如已知函數Rx)-2ex-ax-2(xERaER).(I)當n1時，求曲線卜乂|在x處的切線方程；(n)當*時，若不等式Rx)1O恒成立，求實數a的取值范圍.【答案】(I)&(加lx；(II)(F,斗【解析】分析：(1)先求切線的斜率和切點的坐標，再求切線的方程.(2)分類討論求田幻11111

30、n,再解RxH口血0,求出實數a的取值范圍.詳解：(I)當1時，2es-ax-二，F(_x)入"-1,)2c-1,即曲線卜f(xi在I處的切線的斜率為k=R-，又或D-?，所以所求切線方程為(n)當時，若不等式的“恒成立易知r(x)-2/-8,若3三o,則r(x)4恒成立，|f在m上單調遞增；又0,所以當kw0,+時，符合題意.若由P（x）-R，解得xTnJ.則當*E（時，'0，Rx）單調遞減；當kE（In：+妁時，?Q,f（x）單調遞增.1F所以Ing時，函數Rk）取得最小值.si則當ln-W0,即0亡a三工時，則當kW0.+枕j時，"X）三出。）。符合題意.當ln->0,即a.-二時，2g則當xE&Jn-）時，氐乂單調遞增，f（x”.f（O）-。，不符合題意.£綜上，實數卜的取值范圍是（“R.點睛：（1）本題主要考查導數的幾何題意和切線方程的求法，考查利用導數求函數的最小值，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理轉化能力.（2）解答第2問由兩次分類討論，第一次是分類的起因是解不等式不>-時，右邊要化成ln-,由于對數函數定義域的限制所以要分類討論，第二次分類的起因是kT嗎是否在函數的定義域僅I*三0）內，