1、與分數(shù)有關的故事與分數(shù)有關的故事王一鵬王一鵬破碎數(shù)破碎數(shù) 在拉丁文里，分數(shù)一詞來源于在拉丁文里，分數(shù)一詞來源于frangere，是打破、斷裂之意，因此，是打破、斷裂之意，因此分數(shù)也曾被人叫做是分數(shù)也曾被人叫做是“破碎數(shù)破碎數(shù)” 在數(shù)的歷史上，分數(shù)幾乎與自然數(shù)在數(shù)的歷史上，分數(shù)幾乎與自然數(shù)同樣古老。然而，分數(shù)在數(shù)學中傳同樣古老。然而，分數(shù)在數(shù)學中傳播并獲得自己的地位，卻用了幾千播并獲得自己的地位，卻用了幾千年的時間。年的時間。掉進分數(shù)里去掉進分數(shù)里去 在歐洲，這些在歐洲，這些“破碎數(shù)破碎數(shù)”曾經(jīng)令人曾經(jīng)令人談談虎色變虎色變，視為畏途。，視為畏途。7世紀時，有個世紀時，有個數(shù)學家算出了一道數(shù)學家算

2、出了一道8個分數(shù)相加個分數(shù)相加的習的習題，竟被認為是作了一件了不起的題，竟被認為是作了一件了不起的大事情。大事情。 德國人形容某個人德國人形容某個人陷入困境陷入困境時，還時，還常常引用一句古老的諺語，說他常常引用一句古老的諺語，說他“掉掉進分數(shù)里去了進分數(shù)里去了”。 單分子分數(shù)單分子分數(shù) 古埃及人只使用單分子分數(shù)，即使用古埃及人只使用單分子分數(shù)，即使用分子為分子為1的那些分數(shù)。遇到其他分數(shù)，的那些分數(shù)。遇到其他分數(shù)，都得拆成單分子分數(shù)的和。都得拆成單分子分數(shù)的和。 例如例如 ，于是就用，于是就用表示表示 問題：請問問題：請問 如何寫成兩個單分子之如何寫成兩個單分子之和？和？4 41 1+ +2

3、8281 1= =7 72 24 41 1+ +28281 17 72 26 65 5辛苦的一道題目辛苦的一道題目 由于有了這種奇特的規(guī)定，古埃及由于有了這種奇特的規(guī)定，古埃及的分數(shù)運算顯的特別繁瑣。的分數(shù)運算顯的特別繁瑣。 如果要計算如果要計算 與與 的和，你猜猜的和，你猜猜看，埃及人怎么算？看，埃及人怎么算？ 首先他們把這兩個分數(shù)都拆成單分首先他們把這兩個分數(shù)都拆成單分子分數(shù)，然后再把分母相同的分數(shù)子分數(shù)，然后再把分母相同的分數(shù)加起來，然后遇到分子不是加起來，然后遇到分子不是1的分數(shù)，的分數(shù)，又再拆成單分子分數(shù)又再拆成單分子分數(shù).辛不辛苦？辛不辛苦？7 75 52 21 15 5中國的分數(shù)

4、中國的分數(shù) 在西方，分數(shù)理論的發(fā)展出奇的緩慢，在西方，分數(shù)理論的發(fā)展出奇的緩慢，而中國，在漢朝時，已經(jīng)對分數(shù)的運算而中國，在漢朝時，已經(jīng)對分數(shù)的運算作深入的研究。他們已會作深入的研究。他們已會約分約分、擴分擴分、通分通分的觀念，甚至現(xiàn)在常用的的觀念，甚至現(xiàn)在常用的輾轉(zhuǎn)相除輾轉(zhuǎn)相除法法，就是由當時古老的方法演變而來。，就是由當時古老的方法演變而來。 蘇聯(lián)數(shù)學史專家蘇聯(lián)數(shù)學史專家包爾加爾斯基包爾加爾斯基公正的評公正的評價說：在人類文化發(fā)展的初期，價說：在人類文化發(fā)展的初期，中國的中國的數(shù)學數(shù)學遠遠領先于世界其他各國。遠遠領先于世界其他各國。與分數(shù)有關的數(shù)學問題及動動腦與分數(shù)有關的數(shù)學問題及動動腦

5、一、丟番圖的墓碑一、丟番圖的墓碑 二、奇怪的遺囑二、奇怪的遺囑 三、老母舅分鉆石三、老母舅分鉆石 四、動動腦（四、動動腦（1） 五、動動腦（五、動動腦（2） 六、動動腦（六、動動腦（3）GoGoGoGoGoGo數(shù)學家的墓碑數(shù)學家的墓碑 古往今來，大概只有數(shù)學家的墓古往今來，大概只有數(shù)學家的墓志銘最為言簡意賅，他們的墓碑志銘最為言簡意賅，他們的墓碑上不是長篇傳記，歌頌光輝的一上不是長篇傳記，歌頌光輝的一生，往往只是刻著生，往往只是刻著一個圖形一個圖形或?qū)懟驅(qū)懼粋€數(shù)一個數(shù)，但這此形和數(shù)，卻表，但這此形和數(shù)，卻表達了他們一生執(zhí)著的追求和閃亮達了他們一生執(zhí)著的追求和閃亮的業(yè)績。的業(yè)績。 阿基米德的

6、墓碑阿基米德的墓碑 阿基米德是古希臘數(shù)學家、力學家。阿基米德是古希臘數(shù)學家、力學家。后人常把他與牛頓、高斯并列為有后人常把他與牛頓、高斯并列為有史以來三個貢獻最大的數(shù)學家。史以來三個貢獻最大的數(shù)學家。 有關他的故事也廣為流傳。他的墓有關他的故事也廣為流傳。他的墓碑很特殊，上面只刻著一個圓柱，碑很特殊，上面只刻著一個圓柱，圓柱里內(nèi)切著一個球，這個球的直圓柱里內(nèi)切著一個球，這個球的直徑恰與圓柱的高相等。徑恰與圓柱的高相等。Go魯?shù)婪虻哪贡數(shù)婪虻哪贡?德國人魯?shù)婪颍训聡唆數(shù)婪颍训慕浦邓愕慕浦邓愕叫?shù)點后面到小數(shù)點后面35位，這是當時的位，這是當時的世界紀錄。他死后，把世界紀錄。他死后，把

7、的的36位位小數(shù)刻在他的墓碑上。小數(shù)刻在他的墓碑上。 =3.14159265358979323846264338327950288.高斯的墓碑高斯的墓碑 大數(shù)學家高斯曾經(jīng)表示，在大數(shù)學家高斯曾經(jīng)表示，在他去世以后，希望人們在他他去世以后，希望人們在他的墓碑上刻上一個正的墓碑上刻上一個正17邊形，邊形，因為他是在完成了正因為他是在完成了正17邊形邊形的標尺作圖后，才決定獻身的標尺作圖后，才決定獻身于數(shù)學研究的于數(shù)學研究的. 丟番圖的墓碑丟番圖的墓碑 在眾多的數(shù)學家的墓碑中，被譽在眾多的數(shù)學家的墓碑中，被譽為代數(shù)學鼻祖的丟番圖的墓為代數(shù)學鼻祖的丟番圖的墓志，可算是一個少見的例外。志，可算是一個少見

8、的例外。 丟番圖是公元三世紀亞歷山大里丟番圖是公元三世紀亞歷山大里亞城人。碑文很奇特，用一種未亞城人。碑文很奇特，用一種未知的方式寫出了他的一生：知的方式寫出了他的一生： 過路人！這里埋著丟番圖的骨灰，下面過路人！這里埋著丟番圖的骨灰，下面的數(shù)目可以告訴你他壽命多長。的數(shù)目可以告訴你他壽命多長。 他的生命的六分之一是幸福的童年。他的生命的六分之一是幸福的童年。 再活十二分之一，頰上長出了細細的胡再活十二分之一，頰上長出了細細的胡須。須。 又過了生命的七分之一他才結(jié)婚。又過了生命的七分之一他才結(jié)婚。 再過了五年，他感到很幸福，得了一個再過了五年，他感到很幸福，得了一個兒子。兒子。 可是這孩子的生

9、命只有他父親的可是這孩子的生命只有他父親的一半。 兒子死后，老人在悲痛中活了四年，結(jié)兒子死后，老人在悲痛中活了四年，結(jié)束了塵世生涯。束了塵世生涯。 請問：丟番圖活了多大年紀才和死神相請問：丟番圖活了多大年紀才和死神相見？見？神圣的貓神圣的貓 古時候，人們會將一些動物奉若古時候，人們會將一些動物奉若神明，例如神明，例如古埃及古埃及人將貓尊為神人將貓尊為神圣的月亮和富裕的女神，頂禮膜圣的月亮和富裕的女神，頂禮膜拜，誰家的貓死了，全家人都得拜，誰家的貓死了，全家人都得剪掉頭發(fā)，剃光眉毛，以示哀悼；剪掉頭發(fā)，剃光眉毛，以示哀悼；而誰要是殺死了貓，即使是無意而誰要是殺死了貓，即使是無意的，也會被處以極刑

10、。的，也會被處以極刑。奉若神明的牛奉若神明的牛 印度人印度人也有類似的習俗，不過，也有類似的習俗，不過，他們頂禮膜拜的不是貓，而是牛。他們頂禮膜拜的不是貓，而是牛。 即使牛橫沖直撞，踐踏莊稼，人即使牛橫沖直撞，踐踏莊稼，人們也不敢干涉，至于有人屠宰牛，們也不敢干涉，至于有人屠宰牛，則無異于犯下了滔天大罪。則無異于犯下了滔天大罪。 由于這種奇特的習俗，印度人民由于這種奇特的習俗，印度人民中流傳著一個非常有趣的故事：中流傳著一個非常有趣的故事：奇怪的遺囑奇怪的遺囑 相傳在非常遙遠的古相傳在非常遙遠的古代，老王代，老王害了重病，害了重病，臨終前，他將三個兒子叫到床前，立了臨終前，他將三個兒子叫到床前

11、，立了一份遺囑。一份遺囑。 遺囑里規(guī)定遺囑里規(guī)定3個兒子能夠分掉他的個兒子能夠分掉他的17頭頭牛，但又規(guī)定：老大應得總數(shù)的牛，但又規(guī)定：老大應得總數(shù)的1/2，老，老二應得總數(shù)的二應得總數(shù)的1/3，而老三只能得總數(shù)的，而老三只能得總數(shù)的1/9。 請問：三個兒子是否能完成遺囑上的規(guī)請問：三個兒子是否能完成遺囑上的規(guī)定？定？解決遺囑上的問題解決遺囑上的問題17172 21 1=8=82 21 117173 31 1=5=53 32 217179 91 1=1=19 98 8這種分法需要活活殺死兩頭牛，這種分法需要活活殺死兩頭牛，根本行不通根本行不通8 82 21 1+5+53 32 2=?=?+ +

12、1 19 98 88 82 21 1+5+53 32 2= =+ +1 19 98 8161618181 1即使殺死兩頭牛，也無法將即使殺死兩頭牛，也無法將17頭牛分完。怎么辦呢？頭牛分完。怎么辦呢？聰明的老農(nóng)聰明的老農(nóng) 三個兒子請教了很多有學問的人，三個兒子請教了很多有學問的人，都想不出好方法。都想不出好方法。 一天，一個老農(nóng)牽著一頭牛，告訴一天，一個老農(nóng)牽著一頭牛，告訴三個兒子說：三個兒子說： 這事其實很容易，我把這頭牛借這事其實很容易，我把這頭牛借給你們，你們按總數(shù)的給你們，你們按總數(shù)的1/2，1/3，1/9去分，分完再把這頭牛還給我。去分，分完再把這頭牛還給我。一借一還，解決問題一借一

13、還，解決問題 三個兒子依照老農(nóng)的方法試一試，他三個兒子依照老農(nóng)的方法試一試，他們目前有們目前有18頭牛，老大分頭牛，老大分1/2，得，得9頭；頭；老二分老二分1/3，得，得6頭；老三分頭；老三分1/9，得，得2頭。頭。 真是巧極了，剛好分完真是巧極了，剛好分完17頭牛，剩下頭牛，剩下一頭牛，原封不動還給老農(nóng)。一頭牛，原封不動還給老農(nóng)。 這個難住許多人的數(shù)學問題，就在這這個難住許多人的數(shù)學問題，就在這變魔術似的一借一還中，干脆利落的變魔術似的一借一還中，干脆利落的解決了。解決了。老母舅分鉆石老母舅分鉆石 法國有一為守財奴，生前一毛不拔，法國有一為守財奴，生前一毛不拔，死后卻要把死后卻要把13顆光

14、彩奪目的鉆石留顆光彩奪目的鉆石留給三個女兒。遺囑是：老大應得給三個女兒。遺囑是：老大應得1/2，老二應得老二應得1/3，老三應得，老三應得1/4。兒子因。兒子因為生前不尊敬老父，只能兩手空空。為生前不尊敬老父，只能兩手空空。 三姊妹喜得心花怒放，可是要如何三姊妹喜得心花怒放，可是要如何分配呢？分配呢？ 三姊妹請來舅舅為他們做主，舅舅要求三姊妹請來舅舅為他們做主，舅舅要求必須先給他一顆當酬勞。三姊妹雖然心必須先給他一顆當酬勞。三姊妹雖然心疼，但仍然答應了。疼，但仍然答應了。 剩下剩下12顆鉆石，大姐分得顆鉆石，大姐分得1/2（即為（即為6顆），二姐分得顆），二姐分得1/3（即為（即為4顆）最后只

15、顆）最后只剩剩2顆。顆。 小妹應得小妹應得1/4（即是（即是3顆），但只剩顆），但只剩2顆，顆，小妹傷心的哭起來，舅就只好安慰說：小妹傷心的哭起來，舅就只好安慰說：好吧！我不要酬勞，這顆還給你了。好吧！我不要酬勞，這顆還給你了。 其實這是舅舅有意的安排，終于圓滿解其實這是舅舅有意的安排，終于圓滿解決鉆石的分配。決鉆石的分配。動動腦（動動腦（1） S是是1到到100自然數(shù)的倒數(shù)所成的自然數(shù)的倒數(shù)所成的集合。集合。即即S=1,1/2,1/3,1/4,1/98,1/99,1/100請在請在S中找出中找出4個數(shù)，他們的總合個數(shù)，他們的總合小于小于1，但最接近，但最接近1。動動腦（動動腦（2） 請?zhí)顚懴?/p>

16、式左邊的兩個分母（都請?zhí)顚懴率阶筮叺膬蓚€分母（都是自然數(shù)），使得等式成立。是自然數(shù)），使得等式成立。1 1+ +1 1= =199719971 1答案是否只有一組？還是不只一答案是否只有一組？還是不只一組？組？動動腦（動動腦（3）12123134145149 501+. . . . . . +=?提示：121=1121231=2131341=31414 51=4151動動腦（動動腦（2）的解答）的解答199719971 1199819981 1= =19971997 199819981 1199719971 1199819981 1= =19971997 199819981 1+ +答案只有一

17、組，如果答案只有一組，如果1997換成一個合數(shù)，換成一個合數(shù)，答案就不只一組答案就不只一組over 阿基米德阿基米德最得意最得意的杰作是導出的杰作是導出圓圓柱內(nèi)切球體的體柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的積是圓柱體積的三分之二倍三分之二倍。這。這定理就刻在他的定理就刻在他的墓碑上，也成為墓碑上，也成為他名垂千古的一他名垂千古的一大注記。大注記。 r分數(shù)應用題分數(shù)應用題 （一）、數(shù)形結(jié)合思想（一）、數(shù)形結(jié)合思想 【例【例1】小王有一桶汽油，第一次用】小王有一桶汽油，第一次用去去 ，第二次比第一次多用去，第二次比第一次多用去20千千克，還剩下克，還剩下22千克。原來這桶汽油千克。原來這桶汽油有多少千克？

18、有多少千克？51 【例【例2】一堆煤，第一次用去這堆煤】一堆煤，第一次用去這堆煤的的20%，第二次用去，第二次用去290千克，這時千克，這時剩下的煤比原來這堆煤的一半還多剩下的煤比原來這堆煤的一半還多10千克，求原來這堆煤共有多少千千克，求原來這堆煤共有多少千克？克？ （二）、對應思想（二）、對應思想 量率對應是解答分數(shù)應用題的根量率對應是解答分數(shù)應用題的根本思想，量率對應是通過題中具體本思想，量率對應是通過題中具體數(shù)量與抽象分率之間的對應關系來數(shù)量與抽象分率之間的對應關系來分析問題和解決問題的思想。（量分析問題和解決問題的思想。（量率對應常常和畫線段圖結(jié)合使用，率對應常常和畫線段圖結(jié)合使用，

19、效果極佳。）效果極佳。） 【例【例3】小王到廠里打暑期工，該廠】小王到廠里打暑期工，該廠女職工占全廠職工人數(shù)的女職工占全廠職工人數(shù)的 ，比男，比男職工少職工少144人，縫紉機廠共有職工多人，縫紉機廠共有職工多少人？少人？ 207 分析與解分析與解 解題的關鍵是找到與具解題的關鍵是找到與具體數(shù)量體數(shù)量144人的相對應的分率。人的相對應的分率。 【例【例4】菜農(nóng)張大伯賣一批大白菜，】菜農(nóng)張大伯賣一批大白菜，第一天賣出這批大白菜的第一天賣出這批大白菜的 ，第二，第二天賣出天賣出余下余下的的 ，這時還剩下，這時還剩下240千克大白菜未賣，這批大白菜共有千克大白菜未賣，這批大白菜共有多少千克？多少千克？

20、3152 （三）、轉(zhuǎn)化思想（三）、轉(zhuǎn)化思想 1、從分數(shù)的意義出發(fā)，把分數(shù)變成份數(shù)進行、從分數(shù)的意義出發(fā)，把分數(shù)變成份數(shù)進行“率率”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 【例【例5】男生人數(shù)是女生人數(shù)的】男生人數(shù)是女生人數(shù)的 ，男生人數(shù)，男生人數(shù)是學生總?cè)藬?shù)的幾分之幾？若全班共有學生是學生總?cè)藬?shù)的幾分之幾？若全班共有學生54名，需要調(diào)來幾名男生，才能實現(xiàn)名，需要調(diào)來幾名男生，才能實現(xiàn)“男女平等男女平等”？ 【例【例6】兄弟兩人各有人民幣若干元，其中弟】兄弟兩人各有人民幣若干元，其中弟的錢數(shù)是兄的的錢數(shù)是兄的 ，若弟給兄，若弟給兄4元，則弟的錢數(shù)元，則弟的錢數(shù)是兄的是兄的 ，求兄弟兩人原來各有多少元？，求兄弟兩人原來各有

21、多少元？545432 2、直接運用分率計算進行、直接運用分率計算進行“率率”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 【例【例7】甲是乙的】甲是乙的 ，乙比丙少，乙比丙少1/5，甲是丙的，甲是丙的的幾分之幾？的幾分之幾？ 【例【例8】某工廠計劃一月份生產(chǎn)一批零件，由】某工廠計劃一月份生產(chǎn)一批零件，由于改進生產(chǎn)工藝，結(jié)果上半月生產(chǎn)了計劃的于改進生產(chǎn)工藝，結(jié)果上半月生產(chǎn)了計劃的 ，下半月比上半月多生產(chǎn)了上半月的下半月比上半月多生產(chǎn)了上半月的 ，這樣全，這樣全月實際生產(chǎn)了月實際生產(chǎn)了1980個零件，一月份計劃生產(chǎn)多個零件，一月份計劃生產(chǎn)多少個？少個？325351 3、通過恒等變形，進行、通過恒等變形，進行“率率”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 【例【例9】甲的】甲的 等于乙的等于乙的 ，甲是乙的幾分之，甲是乙的幾分之幾？幾？ 【例【例10】五（】五（2）班有學生）班有學生54人，男生人數(shù)的人，男生人數(shù)的75%和女生人數(shù)的和女生人數(shù)的80%都參加了課外興趣小組，都參加了課外興趣小組，而未參加課外興趣小組的男、女生人數(shù)剛好相而未參加課外興趣小組的男、女生人數(shù)剛好相等，這個班男、女生各有多少人？等，這個班男、女生各有多少人？5473 （四）、變中求定的解題思想（四）、變中求定的解題思想 分數(shù)（