1、全國各地中考試題壓軸題精選講座拋物線與幾何問題【知識縱橫】 拋物線的解析式有以下三種形式：1、一般式：(a0)；2、頂點(diǎn)式：y =a(xh) 2k；3、交點(diǎn)式：y=a(xx 1)(xx 2 ) ，這里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的兩個實(shí)根。 解函數(shù)與幾何的綜合題，善于求點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式是解題的根底；而充分發(fā)揮形的因素，數(shù)形互動，把證明與計(jì)算相結(jié)合是解題的關(guān)鍵。【典型例題】【例1】 (浙江杭州) 在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A0，t，點(diǎn)Qt，b。平移二次函數(shù)的圖象，得到的拋物線F滿足兩個條件：頂點(diǎn)為Q；與x軸相交于B，C兩點(diǎn)OB<OC，連結(jié)A，B。1是否存在這樣

2、的拋物線F， ？請你作出判斷，并說明理由；2如果AQBC，且tanABO=，求拋物線F對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式。【思路點(diǎn)撥】1由關(guān)系式來構(gòu)建關(guān)于t、b的方程；(2)討論t的取值范圍，來求拋物線F對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式。【例2】(江蘇常州)如圖,拋物線與x軸分別相交于點(diǎn)B、O,它的頂點(diǎn)為A,連接AB,把AB所的直線沿y軸向上平移,使它經(jīng)過原點(diǎn)O,得到直線l,設(shè)P是直線l上一動點(diǎn).1求點(diǎn)A的坐標(biāo);2以點(diǎn)A、B、O、P為頂點(diǎn)的四邊形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,請分別直接寫出這些特殊四邊形的頂點(diǎn)P的坐標(biāo);3設(shè)以點(diǎn)A、B、O、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,當(dāng)時,求x的取值范圍. 【思路

3、點(diǎn)撥】3可求得直線的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x，所以應(yīng)討論當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時，x<0、 當(dāng)點(diǎn)P在第四象限是，x>0這二種情況。BOAPM【例3】浙江麗水如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為2，4，直線與軸相交于點(diǎn)，連結(jié)，拋物線從點(diǎn)沿方向平移，與直線交于點(diǎn)，頂點(diǎn)到點(diǎn)時停止移動1求線段所在直線的函數(shù)解析式；2設(shè)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,用的代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)為何值時，線段最短；3當(dāng)線段最短時，相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使的面積與的面積相等，假設(shè)存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由【思路點(diǎn)撥】2構(gòu)建關(guān)于的二次函數(shù)，求此函數(shù)的最小值；3分當(dāng)點(diǎn)落在直線的下方時、當(dāng)點(diǎn)落在直線的上方時討論。【

4、例4】廣東省深圳市如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為3，0，OBOC ，tanACO1求這個二次函數(shù)的表達(dá)式2經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E，在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？假設(shè)存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由3假設(shè)平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度4如圖2，假設(shè)點(diǎn)G2，y是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，APG的面積最大？求出此時P點(diǎn)的坐

5、標(biāo)和APG的最大面積.【思路點(diǎn)撥】2可先以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時，求F點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入拋物線的表達(dá)式檢驗(yàn)。3討論當(dāng)直線MN在x軸上方時、當(dāng)直線MN在x軸下方時二種情況。4構(gòu)建S關(guān)于x的二次函數(shù)，求它的最大值。【例5】山東濟(jì)南：拋物線(a0)，頂點(diǎn)C (1，)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，1求這條拋物線的解析式2如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點(diǎn)D，與拋物線對稱軸交于點(diǎn)E，依次連接A、D、B、E，點(diǎn)P為線段AB上一個動點(diǎn)(P與A、B兩點(diǎn)不重合)，過點(diǎn)P作PMAE于M，PNDB于N，請判斷是否為定值? 假設(shè)是，請求出此定值；假設(shè)不是，請說明理由COxADPMEBNy3在(2)的條

6、件下，假設(shè)點(diǎn)S是線段EP上一點(diǎn)，過點(diǎn)S作FGEP ，F(xiàn)G分別與邊AE、BE相交于點(diǎn)F、G(F與A、E不重合，G與E、B不重合)，請判斷是否成立假設(shè)成立，請給出證明；假設(shè)不成立，請說明理由【思路點(diǎn)撥】2證APMABE，同理: 3證PH=BH且APMPBH再證MEPEGF可得。【學(xué)力訓(xùn)練】1、廣東梅州如下列圖，在梯形ABCD中，ABCD， ADDB，AD=DC=CB，AB=4以AB所在直線為軸，過D且垂直于AB的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系1求DAB的度數(shù)及A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；2求過A、D、C三點(diǎn)的拋物線的解析式及其對稱軸L3假設(shè)P是拋物線的對稱軸L上的點(diǎn)，那么使PDB為等腰三角形的點(diǎn)P有幾個?不

7、必求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只需說明理由 2、廣東肇慶點(diǎn)Aa，、B2a，y、C3a，y都在拋物線上.1求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；2當(dāng)a=1時，求ABC的面積；3是否存在含有、y、y，且與a無關(guān)的等式？如果存在，試給出一個，并加以證明；如果不存在，說明理由.3、青海西寧如圖，半徑為1的與軸交于兩點(diǎn)，為的切線，切點(diǎn)為，圓心的坐標(biāo)為，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)yxOABMO11求二次函數(shù)的解析式；2求切線的函數(shù)解析式；3線段上是否存在一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似假設(shè)存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由AOxyBFC4、遼寧12市如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)

8、過三點(diǎn)1求過三點(diǎn)拋物線的解析式并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；2在拋物線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形，假設(shè)存在，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由；3試探究在直線上是否存在一點(diǎn)，使得的周長最小，假設(shè)存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由5、四川資陽如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是1，0，點(diǎn)B的坐標(biāo)是9，0，以AB為直徑作O，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，連接AC、BC，過A、B、C三點(diǎn)作拋物線1求拋物線的解析式；2點(diǎn)E是AC延長線上一點(diǎn)，BCE的平分線CD交O于點(diǎn)D，連結(jié)BD，求直線BD的解析式；3在2的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PDBCBD?如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由yxODECFAB6

9、、遼寧沈陽如下列圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在軸的負(fù)半軸上，邊在軸的正半軸上，且，矩形繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到矩形點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線過點(diǎn)1判斷點(diǎn)是否在軸上，并說明理由；2求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；3在軸的上方是否存在點(diǎn)，點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形面積的2倍，且點(diǎn)在拋物線上，假設(shè)存在，請求出點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由7、蘇州市如圖，拋物線ya(x1)(x5)與x軸的交點(diǎn)為M、N直線ykxb與x軸交于P(2，0)，與y軸交于C假設(shè)A、B兩點(diǎn)在直線ykxb上，且AO=BO=，AOBOD為線段MN的中點(diǎn)，OH為RtOPC斜邊上的高(1)OH

10、的長度等于_；k_，b_；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得拋物線ya(x1)(x5)上有一點(diǎn)E，滿足以D、N、E為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似?假設(shè)不存在，說明理由；假設(shè)存在，求所有符合條件的拋物線的解析式，同時探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的E點(diǎn)(簡要說明理由)；并進(jìn)一步探索對符合條件的每一個E點(diǎn)，直線NE與直線AB的交點(diǎn)G是否總滿足PB·PG，寫出探索過程AHCBy-2MODNxP 拋物線與幾何問題的參考答案【典型例題】【例1】 (浙江杭州)1 平移的圖象得到的拋物線的頂點(diǎn)為, 拋物線對應(yīng)的解析式為:. 拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，. 令, 得，, )( )| ,即, 所以當(dāng)時, 存在拋

11、物線使得.- 2分(2) , , 得: ,解得. 在中,1) 當(dāng)時,由 , 得, 當(dāng)時, 由, 解得, 此時, 二次函數(shù)解析式為; 當(dāng)時, 由, 解得, 此時，二次函數(shù)解析式為 + +. 2) 當(dāng)時, 由 , 將代, 可得, ,也可由代，代得到所以二次函數(shù)解析式為 + 或. 【例2】(江蘇常州) 1A(-2,-4)2四邊形ABP1O為菱形時，P1(-2,4)四邊形ABOP2為等腰梯形時，P1()四邊形ABP3O為直角梯形時，P1()四邊形ABOP4為直角梯形時，P1()3 由條件可求得AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x-8,所以直線的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時，x<0,P

12、OB的面積AOB的面積，即 x的取值范圍是當(dāng)點(diǎn)P在第四象限是，x>0,過點(diǎn)A、P分別作x軸的垂線，垂足為A、P那么四邊形POAA的面積AAB的面積， 即 x的取值范圍是BOAPM第24題【例3】浙江麗水1設(shè)所在直線的函數(shù)解析式為，2，4，, ,所在直線的函數(shù)解析式為2頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，且在線段上移動， 02.頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(,).拋物線函數(shù)解析式為.當(dāng)時，02.點(diǎn)的坐標(biāo)是2，. =， 又02，當(dāng)時，PB最短3當(dāng)線段最短時，此時拋物線的解析式為.假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)，使. 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，.當(dāng)點(diǎn)落在直線的下方時，過作直線/，交軸于點(diǎn)，DOABPMCE，點(diǎn)的坐標(biāo)是0，.點(diǎn)的坐標(biāo)是2，3，直線的函

13、數(shù)解析式為.，點(diǎn)落在直線上.=.解得，即點(diǎn)2，3.點(diǎn)與點(diǎn)重合.此時拋物線上不存在點(diǎn)，使與的面積相等.當(dāng)點(diǎn)落在直線的上方時，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱稱點(diǎn)，過作直線/，交軸于點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別是0，1，2，5，直線函數(shù)解析式為.，點(diǎn)落在直線上.=.解得：，.代入，得，.此時拋物線上存在點(diǎn)，使與的面積相等. 綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)， 使與的面積相等.【例4】廣東省深圳市1方法一：由得：C0，3，A1，0 將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 解得： 所以這個二次函數(shù)的表達(dá)式為： 2存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為2，3 易得D1，4，所以直線CD的解析式為：E點(diǎn)的坐標(biāo)為3，0 以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形F點(diǎn)的坐標(biāo)

14、為2，3或2，3或4，3 代入拋物線的表達(dá)式檢驗(yàn)，只有2，3符合存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為2，3 3如圖，當(dāng)直線MN在x軸上方時，設(shè)圓的半徑為RR>0，那么NR+1，R，代入拋物線的表達(dá)式，解得 當(dāng)直線MN在x軸下方時，設(shè)圓的半徑為rr>0，那么Nr+1，r，代入拋物線的表達(dá)式，解得圓的半徑為或 4過點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，易得G2，3，直線AG為設(shè)Px，那么Qx，x1，PQ 當(dāng)時，APG的面積最大此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為， 【例5】山東濟(jì)南 (1)設(shè)拋物線的解析式為 將A(1，0)代入: 拋物線的解析式為，即：2是定值， AB為直徑， AEB=90°， PMAE， PMBE A

15、PMABE， 同理: + : 3 直線EC為拋物線對稱軸， EC垂直平分AB EA=EB AEB=90° AEB為等腰直角三角形 EAB=EBA=45° 7分如圖，過點(diǎn)P作PHBE于H，由及作法可知，四邊形PHEM是矩形，PH=ME且PHME在APM和PBH中AMP=PHB=90°， EAB=BPH=45° PH=BH且APMPBH 在MEP和EGF中， PEFG， FGE+SEG=90°MEP+SEG=90° FGE=MEP PME=FEG=90° MEPEGF 由、知：【學(xué)力訓(xùn)練】1、廣東梅州1 DCAB，AD=DC=C

16、B， CDB=CBD=DBA， DAB=CBA， DAB=2DBA， DAB+DBA=90， DAB=60， DBA=30，AB=4， DC=AD=2， RtAOD，OA=1，OD=， A-1，0，D0， ，C2， 2根據(jù)拋物線和等腰梯形的對稱性知，滿足條件的拋物線必過點(diǎn)A1，0，B3，0，故可設(shè)所求為 = +1 -3將點(diǎn)D0， 的坐標(biāo)代入上式得， =所求拋物線的解析式為 = 其對稱軸L為直線=13 PDB為等腰三角形，有以下三種情況：因直線L與DB不平行，DB的垂直平分線與L僅有一個交點(diǎn)P1，P1D=P1B， P1DB為等腰三角形； 因?yàn)橐訢為圓心，DB為半徑的圓與直線L有兩個交點(diǎn)P2、P3

17、，DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB為等腰三角形；與同理，L上也有兩個點(diǎn)P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5 由于以上各點(diǎn)互不重合，所以在直線L上，使PDB為等腰三角形的點(diǎn)P有5個2、廣東肇慶1由5=0，1分得，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0，0、，03分2當(dāng)a=1時，得A1，17、B2，44、C3，81，分別過點(diǎn)A、B、C作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，那么有=S - - =-=5個單位面積3如： 事實(shí)上， =45a2+36a 3=35×2a2+12×2a-5a2+12a =45a2+36a 3、青海西寧1圓心的坐標(biāo)為，半徑為1，1分二次函數(shù)的圖象

18、經(jīng)過點(diǎn)，可得方程組解得：二次函數(shù)解析式為2過點(diǎn)作軸，垂足為 是的切線，為切點(diǎn)，圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑y(tǒng)AHFMOP1P2O1xB在中，為銳角，在中，點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)切線的函數(shù)解析式為，由題意可知，切線的函數(shù)解析式為3存在過點(diǎn)作軸，與交于點(diǎn)可得兩角對應(yīng)相等兩三角形相似，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為可得兩角對應(yīng)相等兩三角開相似在中，在中，符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)有，4、遼寧12市解：1直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)都在拋物線上， 拋物線的解析式為頂點(diǎn)2存在AOxyBFC圖9HBM3存在理由：解法一：延長到點(diǎn)，使，連接交直線于點(diǎn)，那么點(diǎn)就是所求的點(diǎn) 過點(diǎn)作于點(diǎn)點(diǎn)在拋物線上，在中，在中，設(shè)直線的解析式為 解

19、得 解得 在直線上存在點(diǎn)，使得的周長最小，此時5、四川資陽 (1) 以AB為直徑作O，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，OCA+OCB=90°，又OCB+OBC=90°，圖10OCA=OBC，又AOC= COB=90°，AOC COB，又A(1，0)，B(9，0)，解得OC=3(負(fù)值舍去)C(0，3)，設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x9)，3=a(0+1)(09)，解得a=，二次函數(shù)的解析式為y=(x+1)(x9)，即y=x2x3 (2) AB為O的直徑，且A(1，0)，B(9，0)，OO=4，O(4，0)，點(diǎn)E是AC延長線上一點(diǎn)，BCE的平分線CD交O于點(diǎn)D，BCD=B

20、CE=×90°=45°，連結(jié)OD交BC于點(diǎn)M，那么BOD=2BCD=2×45°=90°，OO=4，OD=AB=5D(4，5)圖10答案圖1設(shè)直線BD的解析式為y=kx+bk0解得直線BD的解析式為y=x9.(3) 假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)P，使得PDB=CBD，設(shè)射線DP交O于點(diǎn)Q，那么分兩種情況(如答案圖1所示)：O(4，0)，D(4，5)，B(9，0)，C(0，3)把點(diǎn)C、D繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，那么點(diǎn)C與點(diǎn)Q1重合，因此，點(diǎn)Q1(7，4)符合，D(4，5)，Q1(7，4)，用待定系數(shù)法可求出直線DQ1解

21、析式為y=x解方程組得點(diǎn)P1坐標(biāo)為(，)，坐標(biāo)為(，)不符合題意，舍去Q1(7，4)，點(diǎn)Q1關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為Q2(7，4)也符合D(4，5)，Q2(7，4)用待定系數(shù)法可求出直線DQ2解析式為y=3x17解方程組得點(diǎn)P2坐標(biāo)為(14，25)，坐標(biāo)為(3，8)不符合題意，舍去符合條件的點(diǎn)P有兩個：P1(，)，P2(14，25)6、遼寧沈陽1點(diǎn)在軸上理由如下：連接，如下列圖，在中，由題意可知：點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上2過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，在中，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為由1知，點(diǎn)在軸的正半軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為拋物線經(jīng)過點(diǎn)，由題意，將，代入中得 解得所求拋物線表達(dá)式為：3存在符合條件的點(diǎn)，點(diǎn)10分理由如下：矩形的面積以為頂點(diǎn)的平行四邊形面積為由題意可知為此平行四邊形一邊，又邊上的高為2依題意設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)在拋物線上解得，以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，yxODECFABM，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，；當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為