1、第九講：萬有引力 天體運動適用學科物理適用年級高三適用區域新課標人教版課時時長（分鐘）120知識點1、開普勒行星運動定律2、萬有引力定律3、宇宙航行教學目標1. 知識與技能(1)掌握萬有引力定律的內容并能夠應用萬有引力定律解決天體、衛星的運動問題(2)掌握宇宙速度的概念2. 過程與方法掌握用萬有引力定律和牛頓運動定律解決衛星運動問題的基本方法和基本技能3. 情感態度與價值觀樹立把物理事實作為證據的觀念，形成根據證據、邏輯和既有知識進行科學解釋的教學重點理解萬有引力定律,并能用其解決相關的實際問題.教學難點宇宙速度人造衛星的運動教學過程一、復習預習1、復習：物體做圓周運動的向心力的公式？2、預習

2、：（1）開普勒三定律（2）萬有引力定律（3）宇宙航行二、知識講解課程引入：前面學習了圓周運動并了解了圓周運動的特點，地球繞太陽公轉也可以看作圓周運動，誰提供向心力使地球做圓周運動呢？本節課我來探究天體的運動規律?？键c/易錯點1萬有引力定律及其應用1.開普勒行星運動三定律（1）第一定律：所有行星都在橢圓軌道上運動，太陽則處在這些橢圓軌道的一個焦點上；（2）第二定律：行星沿橢圓軌道運動的過程中，與太陽的連線在單位時間內掃過的面積相 等；（3） 第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等即 2萬有引力定律及其應用(1)內容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個物體間的引力

3、大小跟它們的質量乘積成 正比，跟它們的距離平方成反比。（2）公式：說明：F為兩質點之間的萬有引力；m1為中心天體的質量，m2為環繞天體的質量；r是兩天體重心之間的距離 ，稱為萬有引力常量，1798年由英國物理學家卡文迪 許利用扭秤裝置測出。(3)適用條件：嚴格地說公式只適用于質點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時，公式也可近似使用，但此時r應為兩物體重心間的距離對于均勻的球體,r是兩球心間的距離（4）萬有引力和重力的關系重力是萬有引力產生的，由于地球的自轉，因而地球表面的物體隨地球自轉時需要向心力重力實際上是萬有引力的一個分力另一個分力就是物體隨地球自轉時需要的向心力，如

4、圖所示，由于緯度的變化，物體做圓周運動的向心力F向不斷變化，因而地球表面物體的重力隨緯度的變化而變化，即重力加速度g隨緯度變化而變化，從赤道到兩極逐漸增大通常的計算中因重力和萬有引力相差不大，而認為兩者相等，即, 常用來計算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，即。基本方法：衛星或天體的運動看成勻速圓周運動， F萬=F心(類似原子模型)即;地面附近：(黃金代換式) （5）萬有引力定律的應用計算中心天體的質量某星體m圍繞中心天體M做圓周運動的周期為T，圓周運動的軌道半徑為r，則：由得：例如：利用月球可以計算地球的質量，利用地球可以計算太陽的質量。注意：環繞

5、星體本身的質量在此是無法計算的。計算中心天體的密度由此公式可知，只要用實驗方法測出衛星做圓周運動的半徑r及運行周期T，就可以算出天體的質量M若知道行星的半徑則可得行星的密度發現未知天體用萬有引力去分析已經發現的星體的運動，可以知道在此星體附近是否有其他星體，例如：歷史上海王星是通過對天王星的運動軌跡分析發現的。冥王星是通過對海王星的運動軌跡分析發現的考點/易錯點2人造地球衛星1.宇宙速度（1）第一宇宙速度（環繞速度）：物體在地面附近繞地球做勻速圓周運動的速度。推導：物體在地面附近做勻速圓周運動：黃金代換由得v1=7.9km/s，也是由公式知第一宇宙速度被稱為最大的環繞速度，又被稱為最小的發射速

6、度。注意：要求學生會推導第一宇宙速度。（2）第二宇宙速度（脫離速度）：使衛星掙脫地球引力束縛的最小發射速度，v2=11.2km/s。理解：如果衛星的速大于7.9km/s而小于11.2km/s，衛星將做橢圓運動。當衛星的速度等于或大于11.2km/s的時候，物體就可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽運動的人造行星，或飛到其它行星上去。（3）第三宇宙速度（逃逸速度）：使衛星掙脫太陽引力束縛的最小發射速度，v3=16.7km/s。2.兩種最常見的衛星近地衛星。近地衛星的軌道半徑r可以近似地認為等于地球半徑R，由可得其線速度大小為v=7.9×103m/s。地球同步衛星。“同步”的含義就是和地球

7、保持相對靜止，所以其周期等于地球自轉周期，即T=24h。由式可得，同步衛星離地面高度為即其軌道半徑是唯一確定的，離地面的高度是個定值,由公式同步衛星的線速度也是定值.同步衛星的軌道與赤道平面在同一平面內,即同步衛星靜止在赤道正上方某一位置.3.衛星的超重和失重（1）衛星進入軌道前加速過程，衛星上物體超重(2)衛星進入軌道后正常運轉時，衛星上物體完全失重4.人造天體在運動過程中的能量關系當人造天體具有較大的動能時，它將上升到較高的軌道運動，而在較高軌道上運動的人造天體卻具有較小的動能。反之，如果人造天體在運動中動能增大，它的軌道半徑將減小，在這一過程中，因引力對其做正功，故導致其動能將增大。同樣

8、質量的衛星在不同高度軌道上的機械能不同。其中衛星的動能為，由于重力加速度g隨高度增大而減小，所以重力勢能不能再用Ek=mgh計算，而要用到公式（以無窮遠處引力勢能為零，M為地球質量，m為衛星質量，r為衛星軌道半徑。由于從無窮遠向地球移動過程中萬有引力做正功，所以系統勢能減小，為負。）因此機械能為。同樣質量的衛星，軌道半徑越大，即離地面越高，衛星具有的機械能越大，發射越困難。5.衛星的繞行角速度、周期與高度的關系（1）由，得，當h，v（2）由，得，當h，（3）由，得當h，T總結：高軌低速周期大6.人造衛星如何變軌衛星從橢圓軌道變到圓軌道或從圓軌道變到橢圓軌道是衛星技術的一個重要方面，衛星定軌和返

9、回都要用到這個技術以衛星從橢圓遠點變到圓軌道為例加以分析：如圖所示，在軌道P點，萬有引力，要使衛星改做圓周運動，必須滿足和FPv，在遠點已滿足了FPv的條件，所以只需增大速度，讓速度增大到，這個任務由衛星自帶的推進器完成這說明人造衛星要從橢圓軌道變到大圓軌道，只要在橢圓軌道的遠點由推進器加速，當速度達到沿圓軌道所需的速度，人造衛星就不再沿橢圓軌道運動而轉到大圓軌道“神州八號”就是通過這種技術變軌的，地球同步衛星也是通過這種技術定點于同步軌道上的規律方法這里特指繞地球做勻速圓周運動的人造衛星，實際上大多數衛星軌道是橢圓，而中學階段對做橢圓運動的衛星一般不作定量分析。衛星的軌道平面：由于地球衛星做

10、圓周運動的向心力是由萬有引力提供的，所以衛星的軌道平面一定過地球球心，地球球心一定在衛星的軌道平面內。原理：由于衛星繞地球做勻速圓周運動，所以地球對衛星的引力充當衛星所需的向心力，于是有應該熟記常識：地球公轉周期1年，自轉周期1天=24小時=86400s，地球表面半徑R=6.4103km表面重力加速度g=9.8m/s2月球公轉周期30天人造天體在運動過程中的能量關系當人造天體具有較大的動能時，它將上升到較高的軌道運動，而在較高軌道上運動的人造天體卻具有較小的動能。反之，如果人造天體在運動中動能減小，它的軌道半徑將減小，在這一過程中，因引力對其做正功，故導致其動能將增大。同樣質量的衛星在不同高度

11、軌道上的機械能不同。其中衛星的動能為，由于重力加速度g隨高度增大而減小，所以重力勢能不能再用Ek=mgh計算，而要用到公式（以無窮遠處引力勢能為零，M為地球質量，m為衛星質量，r為衛星軌道半徑。由于從無窮遠向地球移動過程中萬有引力做正功，所以系統勢能減小，為負。）因此機械能為。同樣質量的衛星，軌道半徑越大，即離地面越高，衛星具有的機械能越大，發射越困難。三、例題精析考點1.萬有引力定律及其應用【基礎鞏固】【例題 1】下列關于萬有引力公式的說法中正確的是（）A公式只適用于星球之間的引力計算，不適用于質量較小的物體B當兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大C兩物體間的萬有引力也符合牛頓第三

12、定律D公式中萬有引力常量G的值是牛頓規定的【答案】C【解析】該公式適用于兩質點之間的萬有引力，A錯誤；當兩物體間的距離趨向于零時該公式不能使用，B錯誤；公式中的G的值是由卡文迪許測出來的，D錯誤。因此選C?！局械葟娀俊纠} 2】已知萬有引力常量為G，現在給出下列各組數據，可以計算出地球質量的是()A地球繞太陽運行的周期T和地球離太陽中心的距離RB月球繞地球運行的周期T和月球離地球中心的距離RC人造地球衛星在地面附近運行的速度v和運動周期TD人造地球衛星的線速度v和距地面的高度h圖1【答案】BC【解析】要計算出地球的質量，地球必修作為中心天體，A錯誤；根據知BC正確，D錯誤?！九鄡灠胃摺俊纠}

13、 3】如圖2所示，同步衛星離地心距離為r，運行速率為v1，加速度為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉的向心加速度為a2，第一宇宙速度為v2，地球的半徑為R，則下列比值正確的是()圖2A.B.C.D.【答案】A D【解析】同步衛星和地球自轉的周期相同，運行的角速度亦相等，則根據向心加速度a=r2可知，同步衛星的加速度與地球赤道上物體隨地球自轉的向心加速度之比等于半徑比，即故A正確，B錯誤；同步衛星繞地球做勻速圓周運動，第一宇宙速度是近地軌道上繞地球做勻速圓周運動的線速度，兩者都滿足萬有引力提供圓周運動的向心力即：由此可得：所以有，故C錯誤，D正確考點2.人造衛星【基礎鞏固】【例題4】設地球的半徑為

14、R0，質量為m的衛星在距地面R0高處做勻速圓周運動，地面的重力加速度為g0，則以下說法錯誤的是（）A.衛星的線速度為； B.衛星的角速度為；C.衛星的加速度為； D.衛星的周期； 【答案】ABD 【解析】在地面：;在高空：；此重力加速度即為衛星的向心加速度故C選項錯誤衛星的線速度故A選項正確周期故D選項正確角速度故B選項正確【中等強化】【例題5】發射地球同步衛星時，先將衛星發射至近地圓軌道1，然后經點火，使其沿橢圓軌道2運行，最后再次點火，將衛星送入同步圓軌道3。軌道1、2相切于Q點。軌道2、3相切于P點（如圖），則當衛星分別在1，2，3，軌道上正常運行時，以下說法正確的是（）Q123PA衛星

15、在軌道3上的速率大于在軌道上的速率B衛星在軌道3上的角速度小于在軌道上的角速度C衛星在軌道1上經過Q點時的加速度大于它在軌道2上經過Q點時的加速度D衛星在軌道2上經過P點時的加速度等于它在軌道3上經過P點時的加速度【答案】BD【解析】軌道3和軌道1上高軌低速周期大，A錯誤，B正確。從動力學的角度思考，衛星受到的引力使衛星產生運動的加速度（），所以衛星在軌道上經過點時的加速度等于它在軌道上經過點時的加速度，衛星在軌道上經過點時的加速度等于它在軌道上經過點時的加速度。必須注意，如果從運動學的角度思考（），由于衛星在不同的軌道上經過相同點時，不但線速度、角速度不同，而且軌道半徑（曲率半徑）不同，所以

16、不能做出判斷?！九鄡灠胃摺俊纠}6】“神舟三號”順利發射升空后，在離地面340km的圓軌道上運行了108圈。運行中需要進行多次“軌道維持”。所謂“軌道維持”就是通過控制飛船上發動機的點火時間和推力的大小方向，使飛船能保持在預定軌道上穩定運行。如果不進行軌道維持，由于飛船受軌道上稀薄空氣的摩擦阻力，軌道高度會逐漸降低，在這種情況下飛船的動能、重力勢能和機械能變化情況將會是（ ）.動能、重力勢能和機械能都逐漸減小.重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能不變.重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，機械能不變.重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能逐漸減小【答案】【解析】由于阻力很小，軌道高度的變化很慢，衛

17、星運行的每一圈仍可認為是勻速圓周運動。由于摩擦阻力做負功所以衛星的機械能減??；由于重力做正功所以重力勢能減小；由動能定理可知衛星動能將增大(這也說明重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的總功為正)。四、課堂應用【基礎鞏固】1.若飛船要與軌道空間站對接，飛船為了追上軌道空間站（）A可以從較低的軌道上加速 B可以從較高的軌道上加速C可以從與空間站同一軌道上加速 D無論在什么軌道上，只要加速都行【答案】A【解析】飛船點火加速會有低軌道到高軌道，所以A正確，B、C、D錯誤。2.某同學通過Internet查詢到“神舟”六號飛船在圓形軌道上運行一周的時間約為90分鐘，他將這一信息與地球同步衛星進行比較，由

18、此可知()A“神舟”六號在圓形軌道上運行時的向心加速度比地球同步衛星小B“神舟”六號在圓形軌道上運行時的速率比地球同步衛星小C“神舟”六號在圓形軌道上運行時離地面的高度比地球同步衛星低D“神舟”六號在圓形軌道上運行時的角速度比地球同步衛星小【答案】C【解析】地球同步衛星的運轉周期為24小時，要比“神舟”五號飛船的周期長，根據高軌低速周期大知地球同步衛星的軌道比“神舟”五號飛船的軌道高，C正確，B錯誤；由知A、D錯誤?！局械葟娀?.在太陽系中有一顆行星的半徑為R，若在該星球表面以初速度v0豎直上拋一物體，則該物體上升的最大高度為H.已知該物體所受的其他力與行星對它的萬有引力相比較可忽略不計(萬

19、有引力常量G未知)則根據這些條件，可以求出的物理量是()A.該行星的密度B.該行星的自轉周期C.該星球的第一宇宙速度D.該行星附近運行的衛星的最小周期【答案】CD【解析】由豎直上拋運動規律得，由黃金代換得，G未知，故A錯；根據已知條件不能分析行星的自轉情況，B錯；根據得C正確；由得，D正確4.航天飛機在完成對哈勃空間望遠鏡的維修任務后，在A點從圓形軌道進入橢圓軌道，B為軌道上的一點，如圖所示關于航天飛機的運動，下列說法中不正確的有()A在軌道上經過A的速度小于經過B的速度B在軌道上經過A的動能小于在軌道上經過A的動能C在軌道上運動的周期小于在軌道上運動的周期D在軌道上經過A的加速度小于在軌道上

20、經過A的加速度【答案】D【解析】在橢圓軌道上運動，近地點的速度最大，遠地點的速度最小，A選項正確由萬有引力定律可知飛機在A點受到的引力是個定值，由此結合牛頓第二定律可知飛機在A點的加速度是個定值，故D項錯誤飛機從A點進入軌道相對于軌道可看成向心運動，則可知飛機在軌道上A點速度小于軌道上A點速度，再結合動能定義式可知B選項正確根據低軌道衛星的周期小，高軌道衛星周期大可知C選項正確【培優拔高】5.如圖所示，有A、B兩個行星繞同一恒星O做圓周運動，旋轉方向相同，A行星的周期為T1，B行星的周期為T2，在某一時刻兩行星第一次相遇（即兩行星距離最近），則（ ）A經過時間，兩行星將第二次相遇B經過時間，兩

21、行星將第二次相遇經過時間，兩行星第一次相距最遠D經過時間,兩行星第一次相距最遠【答案】BC【解析】第二次相遇時，A比B多繞行一周，有所以，B對第一次相距最遠時，A比B多繞行半周，有所以，C對.6.如圖所示，在距一質量為M、半徑為R、密度均勻的球體中心2R處，有一質量為m的質點，M對m的萬有引力的大小為F?，F從M中挖出一半徑為r的球體，如圖，。求M中剩下的部分對m的萬有引力的大小。moor【答案】【解析】根據萬有引力定律，挖去的球體原來對質點m的引力為，而。所以剩下的部分對質點m的引力為。五、課程小結一、萬有引力定律及其應用1.開普勒行星運動三定律（1）第一定律：所有行星都在橢圓軌道上運動，太陽

22、則處在這些橢圓軌道的一個焦點上；（2）第二定律：行星沿橢圓軌道運動的過程中，與太陽的連線在單位時間內掃過的面積相 等；（3）第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等即 2萬有引力定律及其應用(1)內容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個物體間的引力大小跟它們的質量乘積成 正比，跟它們的距離平方成反比。（2）公式：(3)適用條件：嚴格地說公式只適用于質點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時，公式也可近似使用，但此時r應為兩物體重心間的距離對于均勻的球體,r是兩球心間的距離（4）萬有引力和重力的關系（5）萬有引力定律的應用計算中心天體的質量計算中

23、心天體的密度發現未知天體二、人造地球衛星1.宇宙速度（1）第一宇宙速度（環繞速度）：物體在地面附近繞地球做勻速圓周運動的速度。（2）第二宇宙速度（脫離速度）：使衛星掙脫地球引力束縛的最小發射速度，v2=11.2km/s。（3）第三宇宙速度（逃逸速度）：使衛星掙脫太陽引力束縛的最小發射速度，v3=16.7km/s。2.兩種最常見的衛星近地衛星。地球同步衛星。“同步”的含義就是和地球保持相對靜止，所以其周期等于地球自轉周期，即T=24h。由式可得，同步衛星離地面高度為即其軌道半徑是唯一確定的，離地面的高度是個定值,由公式同步衛星的線速度也是定值.同步衛星的軌道與赤道平面在同一平面內,即同步衛星靜止

24、在赤道正上方某一位置.3.衛星的超重和失重（1）衛星進入軌道前加速過程，衛星上物體超重(2)衛星進入軌道后正常運轉時，衛星上物體完全失重4.人造天體在運動過程中的能量關系5.衛星的繞行角速度、周期與高度的關系6.人造衛星如何變軌六、課后作業【基礎鞏固】1.嫦娥一號”探月飛船繞月球做“近月”勻速圓周運動，周期為T，則月球的平均密度的表達式為(k為某個常數)()ABCD【答案】C【解析】設月球質量為M，半徑為R，衛星的質量為m，周期為T，月球給衛星的萬有引力充當衛星運動的向心力，即：而聯立解得：，k為某個常數2.1970年4月24日，我國自行設計、制造的第一顆人造地球衛星“東方紅一號”發射成功，開

25、創了我國航天事業的新紀元如圖5所示，“東方紅一號”的運行軌道為橢圓軌道，其近地點M和遠地點N的高度分別為439km和2384km，則()A衛星在M點的勢能大于N點的勢能B衛星在M點的角速度大于N點的角速度C衛星在M點的加速度小于N點的加速度D衛星在N點的速度大于7.9km/s【答案】B【解析】第一宇宙速度7.9km/s，是發射衛星的最小速度，是衛星繞地球做圓周運動的最大速度，在N點做向心運動，則其速度應小于7.9Km/s，故D錯誤，根據萬有引力等于向心力得：，所以衛星在M點的加速度大于N點的加速度，故C錯誤；根據知衛星在M點角速度大于N點的角速度，故B正確，M點為近地點勢能小于N點的勢能，故A

26、錯誤。3.為了對火星及其周圍的空間環境進行探測，我國預計于2011年10月發射第一顆火星探測器“螢火一號”假設探測器在離火星表面高度分別為h1和h2的圓軌道上運動時，周期分別為T1和T2.火星可視為質量分布均勻的球體，且忽略火星的自轉影響，引力常量為G.僅利用以上數據，可以計算出()A火星的密度和火星表面的重力加速度B火星的質量和火星對“螢火一號”的引力C火星的半徑和“螢火一號”的質量D火星表面的重力加速度和火星對“螢火一號”的引力【答案】【解析】A、由于萬有引力提供探測器做圓周運動的向心力，則有：；，可求得火星的質量和火星的半徑根據密度公式得：。在火星表面的物體有，可得火星表面的重力加速度，

27、故A正確從A選項分析知道可以求出火星的質量，由于不知道“螢火一號”的質量，所以不能求出火星對“螢火一號”的引力，故B錯誤從A選項分析知道可以求出火星的質半徑，不能求出“螢火一號”的質量，故C錯誤從A選項分析知道可以求出火星的表面的重力加速度，由于不知道“螢火一號”的質量，所以不能求出火星對“螢火一號”的引力，故D錯誤故選A【中等強化】4.如圖所示，假設月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g0，飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道運動，到達軌道的A點點火變軌進入橢圓軌道，到達軌道的近月點B再次點火進入近月軌道繞月球做圓周運動則()A飛船在軌道上的運行速度為B飛船在A點處點火時，動能增加C飛船在軌

28、道上運行時通過A點的加速度大于在軌道上運行時通過A點的加速度D飛船在軌道繞月球運行一周所需的時間為【答案】AD【解析】飛船在軌道I上，又，得：，故A正確；飛船在A點處點火時，是通過向行進方向噴火，做減速運動，向心進入橢圓軌道，所以點火瞬間是動能減小的，B錯誤；在軌道上運行時通過A點的加速度與在軌道上運行時通過A點的加速度是由萬有引力提供的，故兩者相等，C錯誤；飛船在軌道繞月球運行，又，D正確5.隨著“神七”飛船發射的圓滿成功，中國航天事業下一步的進展備受關注“神八”發射前，將首先發射試驗性質的小型空間站“天宮一號”，然后才發射“神八”飛船，兩個航天器將在太空實現空間交會對接空間交會對接技術包括兩部分相互銜接的空間操作，即空間交會和空間對接所謂交會是指兩個或兩個以上的航天器在軌道上按預定位置和時間相會，而對接則為兩個航天器相會后在結構上連成一個整體關于“天宮一號”和“神八”交會時的情景，以下判斷正確的是()A“神八”加速可追上在同一軌道的“天宮一號”B“神八”減速方可與在同一軌道的“天宮一號”交會C“天宮一號”和“神八”交會時它們具有相同的向心加速度D“天宮一號”和“神八”交會時它們具有相同的向心力【答案】C【解析】“神八”加速就會由低軌道到高軌道，減速就會由高軌道到低軌道，所