1、.2.1.3推理案例賞析1.進(jìn)一步認(rèn)識合情推理和演繹推理的作用、特點以及兩者之間的嚴(yán)密聯(lián)絡(luò).利用合情推理和演繹推理進(jìn)展簡單的推理.重點、難點2.兩種推理形式的詳細(xì)格式.易混點小組合作型歸納推理的應(yīng)用觀察如圖2­1­16所示的“三角數(shù)陣：圖2­1­16記第n行的第2個數(shù)為ann2，nN*，請仔細(xì)觀察上述“三角數(shù)陣的特征，完成以下各題：1第6行的6個數(shù)依次為_、_、_、_、_、_；2依次寫出a2、a3、a4、a5；3歸納出an1與an的關(guān)系式.【精彩點撥】1觀察數(shù)陣，總結(jié)規(guī)律：除首末兩數(shù)外，每行的數(shù)等于它上一行肩膀上的兩數(shù)之和，得出1的結(jié)果.2由數(shù)陣可直接寫

2、出答案.3寫出a3a2，a4a3，a5a4，從而歸納出3的結(jié)論.【自主解答】1由數(shù)陣可看出，除首末兩數(shù)外，每行中的數(shù)都等于它上一行肩膀上的兩數(shù)之和，且每一行的首末兩數(shù)都等于行數(shù).【答案】6,16,25,25,16,62a22，a34，a47，a5113a3a22，a4a33，a5a44，由此歸納：an1ann.歸納推理的一般步驟歸納推理的思想過程大致是：實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論.該過程包括兩個步驟：1通過觀察個別對象發(fā)現(xiàn)某些一樣性質(zhì)；2從的一樣性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題猜測.再練一題1.觀察以下各式：1，12，39，.那么當(dāng)n<m且m，nN時，_.最后結(jié)果用m，n表示【

3、解析】當(dāng)n0，m1時，對應(yīng)第1個式子1，此時1120m2n2；當(dāng)n2，m4時，對應(yīng)第2個式子12，此時124222m2n2；當(dāng)n5，m8時，對應(yīng)第3個式子39，此時398252m2n2.由歸納推理可知m2n2.【答案】m2n2類比推理的應(yīng)用通過計算可得以下等式：23133×123×11；33233×223×21；43333×323×31；n13n33×n23×n1.將以上各等式兩邊分別相加，得n131331222n23123nn，即122232n2nn12n1.類比上述求法，請你求出132333n3的值. 【導(dǎo)學(xué)號

4、：01580039】【精彩點撥】解答此題要抓住各等式兩邊數(shù)的指數(shù)相類比.【自主解答】24144×136×124×11，34244×236×224×21，44344×336×324×31，n14n44n36n24n1.將以上各式兩邊分別相加，得n14144×1323n36×1222n24×12nn，1323n3n2n12.1.解題方法的類比通過對不同題目條件、結(jié)論的類比，從而產(chǎn)生解題方法的遷移，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很高的境界，需要學(xué)習(xí)者純熟地掌握各種題型及相應(yīng)的解題方法.2.類比推理

5、的步驟與方法1弄清兩類對象之間的類比關(guān)系及類比關(guān)系之間的細(xì)微差異.2把兩個系統(tǒng)之間的某一種一致性相似性確切地表述出來，也就是要把相關(guān)對象在某些方面一致性的模糊認(rèn)識說清楚.再練一題2.半徑為r的圓的面積Sr·r2，周長Cr2·r，假設(shè)將r看作0，上的變量，那么·r22·r，式可用語言表達(dá)為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù).對于半徑為R的球，假設(shè)將R看作0，上的變量，請你寫出類似于的式子：_；式可用語言表達(dá)為_.【解析】因為半徑為R的球的體積VRR3，外表積SR4R2，類比r22r，得4R2.因此式應(yīng)為：4R2.且式用語言表達(dá)為：球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球

6、的外表積函數(shù).【答案】4R2球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的外表積函數(shù)探究共研型合情推理與演繹推理的綜合應(yīng)用探究1我們已經(jīng)學(xué)過了等比數(shù)列，你有沒有想到是否也有等積數(shù)列呢？類比“等比數(shù)列，請你給出“等積數(shù)列的定義.【提示】假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的乘積是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，其中，這個常數(shù)叫做公積.探究2假設(shè)an是等積數(shù)列，且首項a12，公積為6，試寫出an的通項公式及前n項和公式.【提示】由于an是等積數(shù)列，且首項a12，公積為6，所以a23，a32，a43，a52，a63，即an的所有奇數(shù)項都等于2，所有偶數(shù)項都等于3，因此an的通項公式為an其前n項和公式Sn探究

7、3甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市.由此可判斷乙去過的城市為A，B，C三個城市中的哪一個？【提示】由題意可推斷：甲沒去過B城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市，說明甲去過A，C城市，而乙“沒去過C城市，說明乙去過城市A，由此可知，乙去過的城市為A.如圖2­1­17所示，三棱錐A­BCD的三條側(cè)棱AB，AC，AD兩兩互相垂直，O為點A在底面BCD上的射影.圖2­1­171求證：O為BCD的垂心；2類比平面幾何的勾股定理，猜測

8、此三棱錐側(cè)面與底面間的一個關(guān)系，并給出證明.【精彩點撥】1利用線面垂直與線線垂直的轉(zhuǎn)化證明O為BCD的重心.2先利用類比推理猜測出一個結(jié)論，再用演繹推理給出證明.【自主解答】1證明：ABAD，ACAD，AD平面ABC，ADBC，又AO平面BCD，AOBC，ADAOA，BC平面AOD，BCDO，同理可證CDBO，O為BCD的垂心.2猜測：SSSS.證明：連接DO并延長交BC于E，連接AE，BO，CO，由1知AD平面ABC，AE平面ABC，ADAE，又AOED，AE2EO·ED，2·，即SSBOC·SBCD.同理可證：SSCOD·SBCD，SSBOD

9、3;SBCD.SSSABDSBCD·SBOCSCODSBODSBCD·SBCDS.合情推理僅是“符合情理的推理，它得到的結(jié)論不一定真.但合情推理常常幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，為我們提供證明的思路和方法，而演繹推理得到的結(jié)論一定正確前提和推理形式都正確的前提下.再練一題3.命題：“假設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列，且an>0，那么數(shù)列bnnN*也是等比數(shù)列.類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論.【解】類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個性質(zhì)是：假設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，那么數(shù)列bn也是等差數(shù)列.證明如下：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，那么bna1n1

10、，所以數(shù)列bn是以a1為首項，為公差的等差數(shù)列.1.設(shè)k棱柱有fk個對角面，那么k1棱柱對角面的個數(shù)為fk1fk_. 【導(dǎo)學(xué)號：01580040】【解析】k棱柱增加一條側(cè)棱時，那么這條側(cè)棱和與之不相鄰的k2條側(cè)棱可構(gòu)成k2個對角面，而增加一條側(cè)棱時也使一個側(cè)面變成了對角面.所以fk1fkk21fkk1.【答案】k12.假如一個凸多面體是n棱錐，那么這個凸多面體的所有頂點所確定的直線共有_條.這些直線中共有fn對異面直線，那么f4_；fn_.答案用數(shù)字或含n的式子表示【解析】所有頂點確定的直線共有：棱數(shù)底邊數(shù)對角線數(shù)，即nn.f44×2×212，fnnn2×n2.【

11、答案】123.下面幾種推理是合情推理的是_.填序號由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°；張軍某次考試成績是100分，由此推出全班同學(xué)的成績都是100分；三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得凸多邊形內(nèi)角和是n2·180°.【解析】是類比推理；是歸納推理；是歸納推理.所以、是合情推理.【答案】圖2­1­184.如圖2­1­18所示，我們知道，圓環(huán)也可以看作線段AB

12、繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的平面圖形，又圓環(huán)的面積SR2r2Rr×2×，所以，圓環(huán)的面積等于以ABRr為寬，以AB中點繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成圓的周長2×為長的矩形面積.請你將上述想法拓展到空間，并解決以下問題：假設(shè)將平面區(qū)域Mx，y|xd2y2r2其中0<r<d繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為_.【解析】圖中圓環(huán)的面積等于以ABRr為寬，以AB中點繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成圓的周長2×為長的矩形面積，由此拓展到空間，可知：將平面區(qū)域Mx，y|xd2y2r2其中0<r<d繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體積的體積應(yīng)等于以圓xd2y2r2圍成的圓面為底面，以圓心d,0繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長2×d為高的圓柱的體積.故該旋轉(zhuǎn)體的體積Vr2·2d22r2d.【答案】22r2d5.在ABC中，假設(shè)C90°，那么cos2Acos2B1，用類比的方法，猜測三棱錐的類似性質(zhì)，并證明你的猜測. 【導(dǎo)學(xué)號：01580041】【解】由平面類比到空間，有如下猜測：“在三棱錐P­ABC中，三個側(cè)面PAB，PBC，P