1、一、數據包絡分析法數據包絡分析是一種基于線性規劃的用于評價同類型組織（或項目）工作績效相對有效性的特殊工具手段。這類組織例如學校、醫院、銀行的分支機構、超市的各個營業部等，各 自具有相同（或相近）的投入和相同的產出。衡量這類組織之間的績效高低，通常采用投入產出比這個指標，當各自的投入產出均可折算成同一單位計量時，容易計算出各自的投入產出比并按其大小進行績效排序。但當被衡量的同類型組織有多項投入和多項產出，且不能折算成統一單位時，就無法算出投入產出比的數值。例如，大部分機構的運營單位有多種投入要素，如員工規模、工資數目、運作時間和廣告投入，同時也有多種產出要素，如利潤、市 場份額和成長率。在這些

2、情況下，很難讓經理或董事會知道，當輸入量轉換為輸出量時，哪個運營單位效率高，哪個單位效率低。1.1數據包絡分析法的主要思想一個經濟系統或者一個生產過程可以看成一個單元在一定可能范圍內，通過投入一定數量的生產要素并產出一定數量的“產品”的活動。雖然這些活動的具體內容各不相同，但其目的都是盡可能地使這一活動取得最大的“效益”。由于從“投入”到“產出”需要經過一系列決策才能實現，或者說，由于“產出”是決策的結果，所以這樣的單元被稱為“決策單 元”（Decision Maki ng Units ，DMU ）。可以認為每個 DMU都代表一定的經濟含義，它的基 本特點是具有一定的輸入和輸出，并且在將輸入轉

3、換成輸出的過程中，努力實現自身的決策目標。1.2數據包絡分析法的基本模型 我們主要介紹 DEA中最基本的一個模型一一 C2R模型。m項投入（輸入）設有n個決策單元（j = 1 , 2,，n ）,每個決策單元有相同的輸入向量為x j = X 1 j, X 2 jT每個決策單元有相同的 s項產出（輸出），輸出向量為y 1j, y 2j,即每個決策單元有 m種類型的“輸入”及T,y .0, j =1,2,s種類型的“輸出”。Xij表示第j個決策單元對第i種類型輸入的投入量；y ij表示第j個決策單元對第i種類型輸出的產出量；為了將所有的投入和所有的產出進行綜合統一，即將這個生產過程看作是一個只有一個

4、投入量和一個產出量的簡單生產過程，我們需要對每一個輸入和輸出進行賦權，設輸入和輸出的權向量分別為：v = V.V2,，Vm T,U = U.U2,，Us 丁 。 Vj為第i類 型輸入的權重，Ur為第r類型輸出的權重。ms這時，則第j個決策單元投入的綜合值為瓦Vi Xij，產出的綜合值為 E uryrj，我i Tr T們定義每個決策單元 DMU j的效率評價指數:sujrj m' ViXijI模型中Xij , y,j為已知數(可由歷史資料或預測數據得到)，于是問題實際上是確定一組最佳的權向量v和U,使第j個決策單元的效率值 h.最大。這個最大的效率評價值是該決j策單元相對于其他決策單元來

5、說不可能更高的相對效率評價值。我們限定所有的h.值j(j=1,2, ,n)不超過1,即max h.w 1。這意味著，若第 k個決策單兀h =1，則該決策單元相j k對于其他決策單元來說生產率最高，或者說這一系統是相對而言有效的；若hk<1，那么該決策單元相對于其他決策單元來說，生產率還有待于提高，或者說這一生產系統還不是有效的。根據上述分析，第j0個決策單元的相對效率優化評價模型為:sUMomax h jo m為 ViXijoI 4s.tsuy-m?1,j =1,2,nI Vi XjI占V=(W,V2,Vm j >0Tu = U1,U2/ ,Us-0這是一個分式規劃模型，我們必須將

6、它化為線性規劃模型才能求解。為此令1t m卩T' rViXijoI =1二 tur ,Wj =tVj則模型轉化為:smaxhjo八.rYrjor =1* sm為卩Mj 一為WiXj蘭°，rmi 9mj = 1,2,，n寫成向量形式有S.tWiXij0 二1=1r, Wo,i=1,2,m； r=1,2,.,smaxhjo 二 jTYo= TYj - wTXj < 0IJJs.t wTX0 = 1j = 1,2,nw 一 0, 0線性規劃中一個十分重要，也十分有效的理論是對偶理論，通過建立對偶模型更易于從理論及經濟意義上作深入分析，其對偶問題為：min j* nZ 丸jXj

7、j丄n航佯/ jyy。k j 狂 0, j =1,2，,n二無約束進一步引入松弛變量 s 和剩余變量s ，將上面的不等式約束化為等式約束：min vn送丸 jXj +s+=xj 二nst片/丫廠丁= y。扎 j x0, j =1,2，,nd無約束< -0,-0設上述問題的最優解為 ， s "，二，則有如下結論與經濟含義：（1） 若=1，且s* =0,5* 一=0,則決策單元DMU j0為DEA有效，即在原線性規劃 的解中存在w* >0,山>0，并且其最優值h*° =1。此時，決策單元 DMU j°的生產活動同時 為技術有效和規模有效。（2） ，但

8、至少有某個輸入或者輸出松弛變量大于零。則此時原線性規劃的最優值h* 1，稱DMU j0為弱DEA有效，它不是同時技術有效和規模有效。（3）若三-.1，決策單元DMU j0不是DEA有效。其生產活動既不是技術效率最佳，而 不是規模效率最佳。（4） 另外，我們可以用C2R模型中打的最優值來判別 DMU的規模收益情況。若存在 人（j =1,2，n），使瓦珀=1成立，則DMU為規模效益不變；若不存在 ”（j =1 , 2； n,）,使送人=1成立，則若送坊£1,那么DMU j0為規模效益遞增；若不 存在* j -1,2/ ,n，使a ； =1成立，則若* 1,那么DMUj°為規模效

9、益遞減。技術有效：輸出相對輸入而言已達最大，即該決策單元位于生產函數的曲線上。規模有效：指投入量既不偏大， 也不過小，是介于規模收入收益由遞增到遞減之間的狀DMU1、DMU2、DMU3都處于技術有效狀態；DMU1不為規模有效，實際上它處于 規模收益遞增狀態；DMU3不為規模有效，實際上它處于規模收益遞減狀態；DMU2是規模有效的。如果用DEA模型來判斷DEA有效性，只有DMU2對應的最優值 90= 1。可見， 在C2R模型下的DEA有效，其經濟含義 是：既為“技術有效”，也為“規模有效”。例題：下面是具有3個決策單元的單輸入數據和單輸出數據 .相應決策單元所對應的點 以A,B,C表示,其中點A

10、、C在生產曲線上，點B在生產曲線下方。由3個決策單元所確定的 生產可能集T也在圖中標出來。對于決策點A,它是“技術有效”和“規模有效”，它所對應的C2R模型為min 二2入+4扎2 +5嘉蘭2日s.t 2、23.5 3 -2-0其最優解為：2 =(1,0,0)T,界=1對于決策點B,它不是“技術有效”，因為點B不在生產函數曲線上，也不是“規模有效” 這是因為它的投資規模太大 其對應的C2R模型如下：2i 425' _4二s.t 2、亠；2 ' 3.5'3 _1'1, ' 2, ' 3 - °其最優解為，° =(1/2,0,0)T,二° =1/4：由于0 <做B點不是DEA有效,由3° j j丄，知該部門的規模收益是遞增的4對于決策點C,因為點C是在生產函數曲線上，它是“技術有效”，但