1、專題24二次函數聚焦考點溫習理解、二次函數的概念和圖像1 、二次函數的概念一般地，如果y ax2 bx ca,b, c是常數，a 0，那么y叫做x的二次函數。2y ax bx ca,b,c是常數，a 0叫做二次函數的一般式。2、二次函數的圖像二次函數的圖像是一條關于x3、二次函數圖像的畫法b2a對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。五點法：M,并用虛線畫出對稱軸1先根據函數解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點2求拋物線y ax2 bx c與坐標軸的交點:當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點 A,B及拋物線與y軸的交點C,再找到點C的對稱點D。 將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向

2、上或向下延伸，就得到二次函數的圖像。二、二次函數的解析式二次函數的解析式有三種形式：1一般式：y ax2 bx ca,b, c是常數，a 02頂點式：y ax h2 ka,h,k 是常數，a 03 當拋物線y ax2 bx c與x軸有交點時，即對應二次好方程 ax2 bx c 0有實根X!和x2存 在時，根據二次三項式的分解因式 ax2 bx c ax xjx x2，二次函數y ax2 bx c可轉化為 兩根式y ax xix X2。如果沒有交點，那么不能這樣表示。三、二次函數的最值K如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值或最小值，即當x 時，2a4ac b24ay最值如果

3、自變量的取值范圍是%Kx X2，那么，首先要看是否在自變量取值范圍2axX2 內,假設在此范圍內，那么當x=時，4ac b2那么需要考慮函數在X2范圍y最值；假設不在此范圍內，x2a4a內的增減性，如果在此范圍內，y隨x的增大而增大，那么當x x2時，y最大ax； bx2c ,當xx時,y最小ax； bx1 c ;如果在此范圍內，y隨x的增大而減小，那么當x X1時，y最大2a%bx1c，當x X2 時，y最小 ax； bx2 c。四、二次函數的性質1、二次函數的性質22、二次函數y ax bx ca,b,c是常數，a 0中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a>0時，拋物線開口向上，a

4、<0時，拋物線開口向下Kb與對稱軸有關：對稱軸為 x= 2ac表示拋物線與y軸的交點坐標：0，c3、二次函數與一元二次方程的關系一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標。因此一元二次方程中的b2 4ac，在二次函數中表示圖像與 x軸是否有交點。當 >0時，圖像與x軸有兩個交點；當 =0時，圖像與x軸有一個交點；當 <0時，圖像與x軸沒有交點。 名師點睛典例分類考點典例一、二次函數的圖象【例1】2021浙江寧波第11題函數y ax2 2ax 1 a是常數，a工0,以下結論正確的選項是A.當a 1時，函數圖象過點-1 , 1B當a2時，函數圖象與x軸沒有交點C假設

5、a 0,那么當x 1時，y隨x的增大而減小D假設a 0,那么當x 1時，y隨x的增大而增大【答案】D.【解析】試題分析:選頃再些口=1叭國數皿-1孌対尸x-h-1艦滬-L代人得尸為所以點7心不再函數團象上，選項A錯凰 選項眄當"一2時，函y = trr - 2 -1 gy = -2x: + 4.y-1, A=lS-9>07，所以國數團象與x軸有兩個交點，選項B錯誤；團數y = -2-l。是常數，比、 的對稱軸為口根據二;應數的性壓可得當樸沁在對稱軸的右虬 即淪1時，丄隨尤的増大而増大, 當口在對稱軸的左側即當工£1時y隨x的増大麗增尢 所以選項叮振，選項b正確，故答素

6、選D.考點：二次函數的性質【點睛】根據二次函數的性質解決即可.【舉一反三】1 22021廣東廣州第9題對于二次函數 y二-x2+x-4,以下說法正確的選項是4A、當x>0, y隨x的增大而增大B 、當x=2時，y有最大值一3C、圖像的頂點坐標為一2, 7D 、圖像與x軸有兩個交點【答案】B.【解析】1 2 1 2試題分析：二次函數y = -X +x- 4 = - 4x- 2 - 3,所以二次函數的開口向下， 當XV2, y隨x的增大 而增大，選項 A錯誤；當x=2時，取得最大值，最大值為 3,選項B正確；頂點坐標為2, -3 ，選項C 錯誤；頂點坐標為2, -3 ,拋物線開口向下可得拋物

7、線與 X軸沒有交點，選項 D錯誤，故答案選 B.考點：二次函數的性質考點典例二、二次函數的解析式【例2】如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象過點B 0, - 2.它與反比例函數 y=-上的圖象交于點 A m 4,x那么這個二次函數的解析式為B. y=x2 - x+2【答案】A2小C . y=x +x - 2D. y=x2+x+2【解析】試題分析:將A m 4代入反比例解祈式得：4=1，即血二-Xtn；.A -2, 4.4 2i + c =4 將A -2, 4, B O, -2代入二次購徹解折式得；丿 .,c =-2%解得:b=-l, c-2,二次圈瓠解析式為W：-x-2.應選A.2【點晴】先

8、根據 A在反比例函數圖象上，求出m的值，再把 A B點坐標代入二次函數 y=x+bx+c中，求出b、c的值即可.【舉一反三】2021福建南平第14題寫出一個y關于x的二次函數的解析式，且它的圖象的頂點在 y軸上：.2【答案】y x 答案不唯一.【解析】試題分析：由題意可得：y x2 答案不唯一.故答案為：y x2 答案不唯一，只要 y ax2 bx c中0, b=0 即可.考點：二次函數的性質；開放型.考點典例三、二次函數的最值2【例3】2021黑龍江哈爾濱第16題二次函數y=2 x-3 - 4的最小值為 .【答案】-4.試題分析：二次函數 y=2 (x- 3) 2 - 4為頂點式，因此最小值

9、為-4.考點：二次函數極值.【點睛】根據頂點式得到它的頂點坐標是(3, -4)，即可求出函數的最大值.【舉一反三】當一2wxwi時，二次函數y x m 2 m2 1有最大值4，那么實數m的值為【】(A)7(B)3 或 3 (c)2 或 3 (D)2 或.3 或 744【答案】C.【解析】試題分析：-目-2* 時，二;欠團數有最大值?二二次13做在- 1勺0上可能的取值杲滬- 2或兀勻或x=n.1-Jf jV 65當x=-2B由4=-(-2-町 m 解得m=-亍L比時廠-皿盲j?它在-衛幻的最大值是>4 >與題意不符.16i*嗨當爐1時，宙-m* + l解得m-2 ;此時叮-5它在一

10、 2靈1的最大值是碼與題蕙相符. - F_ 4當滬m時由斗= 解得,此B寸y = 1葢二J5| -4 對一斗它在-比迢的最大1醍4*與題意相符*對y-(x-n/3 | -4戶它在-生也在咒1處取為 最大值小于4：與題譽下符.綜上所述，實數R的值詞上或應選C考點典例四、二次函數的圖象與性質. . 2 .【例4】(2021四川達州第10題)如圖，二次函數 y=ax+bx+c (0)的圖象與x軸交于點A (- 1,0),與y軸的交點B在(0,- 2)和(0,- 1)之間(不包括這兩點)，對稱軸為直線 x=1 .以下結論： abc> 0 4a+2b+c> 02 4ac- b < 8a

11、 育a<3 b> c.其中含所有正確結論的選項是()A.B. C.D.【答案】D.【解析】試題分析；由團象可手血數開口方冋問上可得心由對稱軸在原點左側可得就異號，再由拋物線與F軸交點在卩軸員半軸可得c<0,所以abfl>0,正確$由曳象與乂軸交于點A ( 0幾對稱軸為直 線滬可得團象與莖軸的另一個交點為,所以當龍=2時y<5朋4#處憂=0,朗旨誤；當- 1 0, y=( - l)*a+bX C - l)+c=0,所以,a- b+c=O_,即 a=b - cf c-b a,宙對稱$曲為直線 x=l 可得=1la即 b= - 2ij 即可得 c=b _ a= C 2a

12、) a= 3a> 所以 4ac _ K=4 *a"( - 3a) - C - 2a) b- 再因矗>0所以址-川<弧正確j由團象與y軸的丈點.E在(0-2)和。- D之間，可得- 2匕1<-U 所艮呵得：>!>；因 可得 b-QO,即 IE 確;33故答案選=D.考點：二次函數圖象與系數的關系【點睛】根據二次函數的圖象與性質進行逐項分析即可求出答案【舉一反三】(2021山東棗莊第12題)二次函數y ax2 bx c ( a 0 )的圖象如下圖，給出以下四個結論：2abc 0 :a b c 0 :a b:4ac b 0 .其中，正確的結論有A.1個

13、B.2 個 C.3 個 D.4 個y【答案】c.【解析】試題分析：觀票團象可知拋物線的團象過原軋 所以口，可得航D正確當#1時'團象位于X軸 的下方'y<6即針b+Yo,誤拋物線的團象幵口問兀對稱y軸的左側，可得占<5又因=-?所b=3a；又因YO, b<0；所以濁>»正確？拋物線的團象與掘軸有兩個交點， la 1可得b-4rac>0,即可得畑-新< J正確，故答案選匚考點：拋物線的圖象與系數的關系考點典例五、二次函數圖象與平移變換【例5】(2021黑龍江綏化第15題)將拋物線y 3(x 4)2 2向右平移1個單位長度，再向下平移

14、3個單位長度，平移后拋物線的解析式是 .2【答案】y 3(x 5)1.【解析】2 2試題分析：y 3(x 4) 2向右平移1個單位所得直線解析式為：y 3(x 5)2 ;再向下平移3個單位為：y 3(x 5)2 1 故答案為：y 3(x 5)2 1 .考點：二次函數圖象與幾何變換.【點睛】根據題意易得新拋物線的頂點，根據頂點式及平移前后二次項的系數不變可得新拋物線的解析式.【舉一反三】(2021內蒙古呼倫貝爾市、興安盟第11題)在平面直角坐標系中，將拋物線y=-丄x2向下平移1個單位2長度，再向左平移1個單位長度，得到的拋物線的解析式是()-123121_123f121A. y= - x -

15、x -B. y= - x +x -C. y= - x +x-D. y= - x - x -2 22 2 2 2 2 2【答案】A【解析】試題分析二根據平移的規律；自咕潴上加下減，可得；將牠物線產-丄亦冋下平移1個單位長度得到的拋物線的解析式是再向左平移L個單位長度，得到的拋槪戔的解析式罡：尸計1 x 1= 丄 x" X * 額選血,T*1*考點：二次函數圖象與幾何變換.課時作業能力提升一選擇題1. 2021山東濱州第10題拋物線y=2x2 - 2x+1與坐標軸的交點個數是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C.【解析】試題分析：拋物線 y=2x2 - 2 x+1，令x=0，得到y

16、=1，即拋物線與y軸交點為0, 1;令y=0,得 到2x2- 2x+1=0，即一 乂 - 12=0,解得：X1=X2=.：，即拋物線與x軸交點為-一，0,那么拋物線與坐標軸的交點個數是 2，故答案選C考點：拋物線與坐標軸的交點.2. 2021山東濱州第11題在平面直角坐標系中，把一條拋物線先向上平移3個單位長度，然后繞原點選擇180°得到拋物線y=x2+5x+6，那么原拋物線的解析式是5 211/5、2 11A. y=-(x -)2-B. y=-(x+ )24245、21/5、2 1C. y=-(x -)-D . y=-(x+ )+ 2424【答案】A.【解析】5 試題分析：拋物線的

17、解析式為y=x2+5x+6，它繞原點旋轉180 °后變為y= - x2+5x - 6,即y= - x -21 51511?+,再向下平移3個單位長度的解析式為 y= - x - 2 + - 3=- x - 2 -.故答案選 A.2424考點：二次函數圖象與幾何變換.3. 2021湖北黃石第9題以x為自變量的二次函數 y X2 2 b 2 x b2 1的圖象不經過第三象限，那么實數b的取值范圍是A. bB. b 1 或 b 1 C. b 2 D.【答案】A.【解析】試題分析：二坎函數-20-的團象不經過第三象限，所以拋物線經過第一、二 四 象限頂點在第四象限?或一、二蒙限頂點在近軸上或

18、£軸的上方人當拋物線的團象位于第一、二四 象限頂點在第四象限人根據二玄項系數知道拋物線幵口方冋叵Lb由此可嘆確走拋物線與/由有兩個交 點，都在X軸的正半軸#拋物線與曲由的交點在原點或原點的Lt方，對稱軸在y軸的右側，由此可得滬-1 >o, A= 46-2:-4& - = -166 + 20>fl, bQo,可得b無解芮片腎況不存往j當拋物線的圖象位 于第一、二象限頂點在域軸上或x軸的上萬力由此可得A=4&-2；-4fi:-l =-166 + 200,解得 故答秦選A.考點：二次函數的性質.4. 2021湖北鄂州第9題如圖，二次函數y=ax2+bx+c a豐

19、0的圖像與x軸正半軸相交于 A、B兩點，與 y軸相交于點C,對稱軸為直線x=2，且OA=OC.那么以下結論:2 1abc>09a+3b+cv 0c> 1 關于x的方程ax +bx+c=0 a豐0有一個根為 一a其中正確的結論個數有D. 4【解析】試題分析:由團象可知拋物開口向下，可得 心 由拋物線的對由在y軸的右側，可得b>6 拋物線 與y軸的交點在雲軸下方n可得亡<5所以.abc>0,即正癘當乞=3時n y= axbs+c=ga+3b+c>0,所以 錯誤，RJW A - g, 0；由團知川在1的左邊；.-c=<l ,即4S 即正確亍把一丄代入方程ax

20、+bx+u二0 a=O得ac - +1=0；把A-匚0代人/=曲亠血址得ac - bc+c=0 r a即耳匚- b+L=0所以關于X的方程a/十W十cP #0有一根為-丄,即正確i故答案選C.a考點：二次函數圖象與系數的關系；數形結合思想.5. 2021廣東廣州第9題對于二次函數1 2y = - x +x- 4,以下說法正確的選項是4)A、當x>0, y隨x的增大而增大B、當x=2時，y有最大值3C、圖像的頂點坐標為一2, 7D、圖像與x軸有兩個交點【答案】B.【解析】1 2試題分析：二次函數y = -x2+x-4.4 =-1 2-x- 2 - 3,所以二次函數的開口向下，當XV 2,

21、y隨x的增大而增大，選項 A錯誤；當x=2時，取得最大值，最大值為3,選項B正確；頂點坐標為2, -3 ,選項C錯誤；頂點坐標為2,-3 ,拋物線開口向下可得拋物線與x軸沒有交點，選項 D錯誤，故答案選 B.考點：二次函數的性質6. 2021湖南懷化第7題二次函數y=x2+2x - 3的開口方向、頂點坐標分別是A.開口向上，頂點坐標為-1，- 4 B .開口向下，頂點坐標為1 , 4C.開口向上，頂點坐標為1, 4 D .開口向下，頂點坐標為-1 , - 4【答案】A【解析】試題分析：二次函數 y=x2+2x - 3的二次項系數為a=1>0，所以函數圖象開口向上，又因y=x2+2x -

22、3=x+1 2 -4,即可得頂點坐標為-1,- 4.故答案選A.考點：二次函數的性質.7. 2021山東威海第11題二次函數y=- x- a 2- b的圖象如下圖，那么反比例函數丄與一次x函數y=ax+b的圖象可能是【答案】B.【解析】試題分析：觀鬃二欠的數團象可知，圖象與y軸交于丙半釉，-b<o. b>o捌物絨的對軸Qo在反 比例函數尸旦中可得ab>0,所以反比例函數團象在第一、三象限；在友酗尸如b中，a>0, bX)A x所以一次函數尸屯托的團象過第一、二、三象限.故答條選B考點：函數圖像與系數的關系 y【答案】C.ax2 bx c的圖象如下圖，那么以下結論不正確的

23、選項是(2C. a+b+c > 0D. b 4ac > 0【解析】試題分析：A.拋傑研口方同可口那么乂g故本選項錯詢B.拋物線與y軸交于正半軸J那么4匚故本選頊錯誤；C-當R日寸7 <0.+-£<0；故本選項正確孑D.拋物線與加軸有？個交點，那么H4皿次.故本迭項¥駅期 應選C.考點：二次函數圖象與系數的關系.填空題9. 2021河南第13題A 0,3 , B 2,3 是拋物線yx2 bx c上兩點，該拋物線的頂點坐標是.【答案】1,4.【解析】試題分析：把 A 0,3，B 2,3 代入拋物線 yx2 bx c可得b=2, c=3，所以2 2y x

24、2x 3= x 14，即可得該拋物線的頂點坐標是1,4.考點：拋物線的頂點11. 2021內蒙古通遼第17題如圖是二次函數 y2ax bx c圖象的一局部，圖象過點A(- 3, 0),對10. 2021廣西來賓第19題函數2y x2x，當時，函數值y隨x的增大而增大.【答案】x<- 1 【解析】試題分析：T yx22x =(x 1)21 , a=-1v 0,拋物線開口向下，對稱軸為直線x=- 1,.當 x<-1時，y隨x的增大而增大，故答案為：x w- 1 考點：二次函數的性質.稱軸為直線x= - 1,給出以下結論:5abcv 0， b2 4ac > 0,4b+cv 0,假設

25、 B(, yJ、C(21 , y為函數圖象上的兩點,2那么y1y2,當-3< x< 1 時，y > 0 其中正確的結論是填寫代表正確結論的序號試題分析：由團象可知a<0, &<0, >0,故錯誤丁拋物線與上軸有兩個交點，二，-心>0,故正確丁拋物線對稱軸為尸- 1,與x軸交于V (-3, 0拋物線與m軸的另一個交點為(b 0),二MEI -= li b=laf <r3at .4G=Ek?-3a=5a<0j 故正確.2應人1亠廿(-,>j). C <- f yr)為函埶圖象上的兩點又點C閭對稱軸ifi,二y < y7

26、、故錯濱由團象可軌，疋點1時，汐,刼正確正確，故簷案孫 .考點：二次函數圖象與系數的關系；綜合題.12. (2021黑龍江綏化第15題)將拋物線y 3(x 4)2 2向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，平移后拋物線的解析式是【答案】y23(x 5)1.【解析】試題分析:y 3(x 4)22向右平移1個單位所得直線解析式為:3(x 5)2 2 ；再向下平移3個單位為：y 3(x 5)2 1 故答案為：y 3(x5)2考點：二次函數圖象與幾何變換.三解答題13. (2021浙江寧波第22題)(此題10分)如圖，拋物線 yx2mx 3與x軸交于a, B兩點，與y軸交于點C,點B的坐標為(3

27、, 0)。(1 )求m的值及拋物線的頂點坐標;(2)點P是拋物線對稱軸丨上的一個動點，當 PA+PC勺值最小時,求點P的坐標。(1,2 ).【解析】試題分析=把點B的坐標為 0代入工=-丄+醪+ "解方程艮阿得俎的值，求岀忙的值后把 拠物絨優対頂點式B卩可得拋物絨的頂點坐標連接肌交的對稱軸于點叭此時PA-PC的值最 小，制用待定系娜去求得直線BC的解析式,再求點P的坐椒網一試題解析：把點B的坐標為無0代入得：0二-即+3堀+齊解得m-2 j.- y = 一£ 4-2x + 3y - -x2 十2工十3 = 一丸，一 2尤十D十 4 = -x-1' + 4頂點坐標為1,4