1、2021年高中數學?空間幾何體的外表積和體積?自測試題【梳理自測】一、柱、錐、臺和球的側面積和體積1 .某球的體積大小等于其外表積大小，那么此球的半徑是A '3B. 3C. 4 D. 52. 正六棱柱的高為6,底面邊長為4,那么它的全面積為A. 483 + ；'3 B. 483 + 2 C. 24 ：'6+ D. 1443. 棱長為2的正四面體的外表積是A ,'3B. 4C. 4 ： 3D. 164. 一個幾何體的三視圖如下列圖，那么該幾何體的體積為 .5. 如下列圖，在棱長為 4的正方體ABCD- ABCD中，P是AB上AB,那么多面體P BBGC的體積為.1

2、6答案：1. B 2. A 3. C 4.12 + n 5.以上題目主要考查了以下容:柱、錐、臺和球的側面積和體積面積體積圓柱S 側=2 n rhV= Sh= n r 2h圓錐S 側=n rl1J 21V="3Sh=§ n r h= § nrVl2 r2圓臺S 側=n r 1+ r 211 v=3s 上+ S下+寸 St S下h122="3n r 1+ r2+ r12h直棱柱S 側 ChV= Sh正棱錐1S側=2Ch' h '為斜高1 v=|Sh正棱臺1 ,S 側=2C+ c hV= §S 上+ S下+VSt S下h球S球面=4

3、 n RV=冷二、幾何體的外表積1 .棱柱、棱錐、棱臺的外表積就是各面面積之和.2圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是矩形、扇形、扇環形；它們的外表積等于側面積與底 面積之和.【指點迷津】1. 一種數學思想計算旋轉體的側面積時，一般采用轉化的方法來進展，即將側面展開化為平面圖形，“化曲為直 來解決，因此要熟悉常見旋轉體的側面展開圖的形狀與平面圖形面積的求法.2. 兩種位置：球的組合體的切與外接如球切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體， 正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑. 球與旋轉體的組合，通常作它們的軸 截面進展解題.3. 三種方法

4、一一求空間幾何體體積的常用方法(1) 公式法：直接根據相關的體積公式計算.(2) 等積法：根據體積計算公式，通過轉換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容易，或是求 出一些體積比等.(3) 割補法：把不能直接計算體積的空間幾何體進展適當的分割或補形，轉化為可計算體積的幾 何體.考向一 幾何體的外表積與側面積例題1 (1)(2021 高考卷)某三棱錐的三視圖如下列圖，該三棱錐的外表積是()A. 28+ 6 '5B. 30+ 6 .'5C. 56+ 12 .'5D. 60+ 12 ' 522021 市高三調研四棱錐P ABCD勺三視圖如下列圖，那么四棱錐 P ABCD

5、勺四個側面中面 積最大的是A. 3 B. 2 ：5C. 6 D. 8【審題視點】 根據幾何體的三視圖畫出其直觀圖，利用直觀圖的圖形特征求其外表積或側面積.【典例精講】1由幾何體的三視圖可知，該三棱錐的直觀圖如下列圖，其中 AE!平面 BCD CDLBD,且 CD= 4，BD= 5，BE2，ED= 3，AE4.T AE= 4， ED= 3，. AD= 5.又 CDL BD CDL AE, CDL平面 ABD故 CDL AD二 AC= ：' 41 且 Sacd= 10.在 Rt ABE中，AE= 4，BE= 2,故 A吐2 5.在 Rt BCD中, BD= 5， CD= 4，故 Sbc尸

6、10，且 BC= 41.在厶ABD中, AE= 4，BD= 5,故 Sa ab尸 10.1在厶ABC中, A吐2 5 BOAC 41,那么AB邊上的高h = 6,故2 ：5X 6= 6 ' 5.因此，該三棱錐的外表積為 S= 30+ 6,5 由三視圖知四棱錐如下列圖，N為CD的中點，M為AB的中點，易知PW3,PN= '5 ，SPDC 2 X 4X ：5二2 5 ，SPBC= S PAD= 2 X 2X 3 = 3， Spab=4X 3= 6.應選c.【答案】 BC【類題通法】1多面體的外表積是各個面的面積之和；旋轉體的外表積等于側面面積與底面面積的和.假設所給的幾何體是規那么

7、的柱體、錐體或臺體，那么可直接利用公式進展求解;假設以三視圖的形式給出，解題的關鍵是對給出的三視圖進展分析，從中發現幾何體中各元素間的位置關系與數量關系，得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解.變式訓練jf甕割1. 2021 濰坊市考前適應性訓練如圖為某個幾何體的三視圖，那么該幾何體 的側面積為A. 16+ 4n B. 12+ 4nC. 16+ 8n D. 12+ 8n解析：選A該幾何體是半圓柱和一個三棱柱的組合體，其側面積為4n + 6+ 10= 16+ 4n .考向二幾何體的體積例題2 12021 省五校聯考假設某幾何體的三視圖單位：cm如下列圖，那么此幾何體的體積等于m.2021 高考卷某

8、幾何體的三視圖如下列圖，那么該幾何體的體積為主】榭tl4C. 200 D.240【審題視點】由三視圖分清是旋轉體，還是多面體或是組合體，然后求出計算體積所需要的量,代入公式.【典例精講】1 21該幾何體的直觀圖為上為圓臺、下為半球的組合體，其體積V=冗X 3X 4+ 4X 2+ 22) + 蘇 3nX 43 =學+128n 212n2先將三視圖復原為空間幾何體，再根據體積公式求解.由三視圖知該幾何體為直四棱柱，其2+ 8X4底面為等腰梯形，上底長為 2，下底長為8，咼為4，故面積為S= 20.又棱柱的咼為 10,所以體積 V Sh= 20X 10= 200.212【答案】 丁 n C【類題通法

9、】1假設所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，那么可直接利用公式進展求解.假設所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，那么常用轉換法、分割法、補形法等方 法進展求解.3假設以三視圖的形式給出幾何體，那么應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件 求解.變式訓練2. 2021 市二測一個幾何體的三視圖與其尺寸如下列圖單位：cm，其中正主視圖是直角三 角形，側左視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，那么這個幾何體的體積是n 3C.嚴3冗cm解析：選A依題意得，該幾何體是一個圓錐的一半沿圓錐的軸剖開，其中該圓錐的底面半徑112n 3為1、高為3,因此該幾何體的體積為2X 3XnX 1

10、x3 ="2cm,選A考向三 球的組合體與球的性質例題3 (1)(2021 高考全國卷)H是球O的直徑AB上一點，AH： H吐1 : 2，AB丄平面a，H為垂足，a截球O所得截面的面積為n,那么球O的外表積為(2)(2021 省“江南十校聯考)一個正方體削去一個角所得到的幾何體的三視圖如下列圖(圖中三個四邊形都是邊長為2的正方形)，那么該幾何體外接球的體積為 2N1 NZ俯視圈【審題視點】(1)利用球的截面性質求解三角形.(2)尋找球的直徑與幾何體邊長間的關系.【典例精講】如圖，設球O的半徑為R,那么由AH： H吐1 ：2得1 2HA= 3 2R= 3RRo* 3-截面面積為n=n

11、(HM)， HM= 1.在 Rt HMO中 OM= OH+ HlM,社 9R2+ hM= 9+ 1， R= S 球=4 n R = 4 n42 9(2)依題意可知，新的幾何體的外接球也就是原正方體的外接球，要求的直徑就是正方體的體對 角線， 2R= 2 ;' 3(R為球的半徑)， R= ,3球的體積 V= |n戌=4 ：3n .【答案】扌冗24 .'3 n【類題通法】 解決球與其他幾何體的切、接問題，關鍵在于仔細觀察、分析，弄清相關元素的 關系和數量關系，選準最正確角度作出截面要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以 與表達這些元素之間的關系，到達空間問題平面化的目的.

12、變式訓練3. 2021 模擬兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上假設3圓錐底面面積是這個球面面積的16,那么這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為.解析：如圖，設球的半徑為 R,圓錐底面半徑為r.3由題意得n4 n R.根據球的截面的性質可知兩圓錐的高必過球心0,且兩圓錐的頂點以與圓錐與球的交點是球的大圓上的點，且AB丄OQ.00=氏r2=養，1 R因此體積較小的圓錐的高 A0= R- 2R= 2,R 3體積較大的圓錐的高bo = R+ 2=2R.1且這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比為3.答案：3幾何體體積的計算方法典型例題 2021 高

13、考卷如圖，在三棱柱ABG ABC中, D, E，F分別是AB AC, AA的中點.設 三棱錐F ADE的體積為V，三棱柱A1B1C1 ABC的體積為V2,那么V :.【方法分析】題目條件：在三棱柱 ABC-A1B1G中，從側棱與底邊中點處分割出一個三棱錐. 解題目標：兩個幾何體體積之比. 關系探究：i 把三棱柱看作是任意三棱柱：通過點 D, E, F為中點得出三棱柱與三棱錐的底面面積以與高之間的關系，然后利用體積公式得到體積之間的比值.ii把三棱柱看作任意三棱柱，根據同底同高的三棱錐與三棱柱體積之間的關系， 直接得出答案.iii把三棱柱看作特殊三棱柱：如正三棱柱，并設出各棱長，具體計算體積.【

14、解答過程】 方法i 設三棱柱的底面ABC的面積為S,高為h,那么其體積為V2= Sh.因為D,1E分別為AB, AC的中點，所以 ADE勺面積等于4S.又因為F為AA的中點，所以三棱錐F ADE的高1 11111 等于尹 于是三棱錐F ADE的體積Vp3x4S 尹=24Sh= 24，故 V 匕=1 : 24.1方法i 連接 AC, A1B,那么 VsVA ABC8工11而 VA ABC= 3匕，二 M = 242.方法i假設三棱柱 A1B1C ABC為正三棱柱，設 AB= 2, AA= 2.那么Sh= Jx22x2 = 2 3,vJx山x 1仝1 3412' V1 : V2 = 1 :

15、 24.【答案】 1 : 24【回歸反思】1對于規那么幾何體體積的大小可直接考慮底面積與高的量.2用特殊代替一般可解決體積比面積比之類的問題.3在錐體中平行于底的截面分割出的小錐體與原錐體的體積比為相似比的立方. 真題體驗1. 一幾何體的三視圖如下列圖，那么該幾何體的體積為A. 200+ 9n B. 200+ 18nC. 140+ 9n D. 140+ 18n解析：選A由三視圖可知該幾何體的下面是一個長方體，上面是半個圓柱組成的組合體.長方體的長、寬、高分別為10、4、5,半圓柱底面圓半徑為3,高為2,故組合體體積V= 10X 4X 5+ 9n = 200+ 9 n .2. 2021 高考卷直三棱柱ABC-A1B1C的6個頂點都在球O的球面上.假設AB= 3, AC= 4, AB丄AC AA= 12,那么球O的半徑為.2 10AC.D. 3 10解析：選C根據球的接三棱柱的性質求解.因為直三棱柱中 A吐3, AC= 4，AA= 12, AB丄AC，所以BC= 5,且BC為過底面ABC的截面圓的直徑.取BC中點D,那么ODL底面ABC那么O在側面BCGB，矩形BCCB的對角線長即為球直徑，13所以 2R='122 + 52= 13,即 R=q.3.