1、數學選修2-2導數及其應用知識點必記1.函數的平均變化率是什么？答：平均變化率為 yl =fL = f(x2)-f (xi) = f (x1x) -f (x1)x xx2 -X1x注1:其中Ax是自變量的改變量，可正，可負，可零。注2:函數的平均變化率可以看作是物體運動的 平均速度。2、導函數的概念是什么？答：函數y =f(x)在x = xo處的瞬時變化率是lim"=lim f(x0 +')-f(x0),則稱 .T = x . T=x函數y =f (x)在點xo處可導，并把這個極限叫做y = f(x)在xo處的導數，記作f'(xo)前'I即 f'r與.

2、f(xo +W-f(xo)次yk，即f (xo) =她及=蚣后 .3.平均變化率和導數的幾何意義是什么？答：函數的平均變化率的幾何意義是割線的斜率；函數的導數的幾何意義是切線 的斜率。4導數的背景是什么？答：(1)切線的斜率；(2)瞬時速度；(3)邊際成本。5、常見的函數導數和積分公式有哪些？函數導函數不定積分y =cy'=0n .*y = xN ),ny' = nxn+1n n .xx dx -n十1xy = a (a >0,a #1)y' = ax ln axfa dx = ln axy =exy' =ef exdx = exy =loga x (a

3、>0,a #1,x >0 )1 y1-1.x ln ay =ln xy xfdx = ln x . xy =sin xy'= cosxcosxdx = sin xy =cosxy' = sin xsin xdx= -cosx6、常見的導數和定積分運算公式有哪些？答：若f (x ), g(x )均可導(可積)，則有:和差的導數運算r1'f(x)g(x)-',、'，、=f (x)±g (x)積的導數運算If (x) g(x) = f'(x)g(x) 士 f (x)g'(x)特別地：Cf(x)T = Cf <x)商的

4、導數運算-f(x)-&x) 一特別地:f (x)g.g(xL'(x)x)g 叫g(x)¥0) g(x) 丁,"g'(x)_2.g (x)復合函數的導數yx' = yu' Ux微積分基本定理Fba f (x dx二'(x)= f=(其中：X)和差的積分運算朱bfi(x) 土 a于別地：,bbf2(x)dx= f f1(x)dx± f f2(x)dx LaLabbkf(x)dx = kf f(x)dx(k為常數) aa積分的區間可加性bf(x)dx = acL f(x)dx + abL f(x)dx(其中a<c&l

5、t;b) c6.用導數求函數單調區間的步驟是什么?答：求函數f(x)的導數f'(x)令f'(x)>0,解不等式，得x的范圍就是遞增區間.令f(x)<0,解不等式，得x的范圍，就是遞減區間；注：求單調區間之前一定要先看原函數的定義域。7.求可導函數f(x)的極值的步驟是什么？答：(1)確定函數的定義域。(2)求函數f(x)的導數f'(x)(3)求方程f'(x)=0的根(4)用函數的導數為0的點，順次將函數的定義區間分成若干小開區問，并列成表格，檢查f/(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x

6、)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值 8.利用導數求函數的最值的步驟是什么？答：求f(x)在a,b 上的最大值與最小值的步驟如下:求f(X)在a, b】上的極值;將f(x)的各極值與f(a), f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。注：實際問題的開區間唯一極值點就是所求的最值點;9 .求曲邊梯形的思想和步驟是什么？答：分割t近似代替T求和t取極限 (以直代曲”的思想)10 .定積分的性質有哪些？根據定積分的定義，不難得出定積分的如下性質:b性質 1 ldx=b_aab性質 5 若 f(x) >0, X a,b,則 1 f(x)dx

7、2 0推廣:bbbbfl(x) . f2(x)IM fm(x)dx=fi(x)dx_f2(x)dx III fm(x)a- a, a- abCiC2b推廣：f(x)dx= f(x)dx»i f(x)dx HI f(x)dx aac1Ck11定積分的取值情況有哪幾種？答：定積分的值可能取正值，也可能取負值，還 可能是0.(I )當對應的曲邊梯形位于 x軸上方時，定 積分的值取正立 且等于x軸上方的圖形面積;(2)當對應的曲邊梯形位于 x軸下方時，定 積分的值取負也 且等于 x軸上方圖形面積的相 反數;(3)當位于x軸上方的曲邊梯形面積等于 位于x軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為 0

8、,且等于x軸上方圖形的面積減去下方的圖形的 面積.12 .物理中常用的微積分知識有哪些？答：(1)位移的導數為速必 速度的導數為加速度(2)力的積分為期上數學選修2-2推理與證明知識點必記13 .歸納推理的定義是什么？答：從個別事實中推演出一般性的結論，像這樣的推理通常稱為歸納推理 歸納推理是由部分到整也，由個別到一般的推理。14 .歸納推理的思維過程是什么？答:大致如圖：|實驗、觀察卜T概括、推廣1,-猜測一般性結論15 .歸納推理的特點有哪些？答：歸納推理的前提是幾個已知的特殊現象，歸納所得的結論是尚屬未知的 一般現象。由歸納推理得到的結論具有猜測的性質， 結論是否真實，還需經過邏輯證 明

9、和實驗檢驗，因此，它不能作為數學證明的工具。歸納推理是一種具有創造性的推理， 通過歸納推理的猜想，可以作為進一 步研究的起點，幫助人們發現問題和提出問題。16 .類比推理的定義是什么？答：根據兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他 方面也相似或相同，這樣的推理稱為類比推理。類比推理是由特殊 到特殊的推理, 17.類比推理的思維過程是什么？較.觀察、比較7 聯想、類推>1推測新的結論18 .演繹推理的定義是什么？答：演繹推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）按照 嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程。演繹推理是由一般 到特殊的推理。19 .演繹推理

10、的主要形式是什么？答：三段論20 .“三段論”可以表示為什么？答：大前題：M是P小前提：S是M結論：S是P。其中是大前提，它提供了一個一般性的原理；是小前提，它指出了一個 特殊對象；是結論，它是根據一般性原理，對特殊情況做出的判斷。21 .什么是直接證明？它包括哪幾種證明方法？答：直接證明是從命題的條件或結論出發，根據已知的定義、公理、定理，直接 推證結論的真實性。直接證明包括綜合法和分析法。22 .什么是綜合法？答：綜合法就是“由因導果”，從已知條件出發，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推出要證的結論。23 .什么是分析法？答：分析法就是從所要證明的結論出發，不斷地用充分條件替換前面的條件

11、或者 一定成立的式子，可稱為“由果索因”。意注意敘述的形式：要證 A,只要證B, B應是A成立的充分條件.分析法 和綜合法常結合使用，不要將它們割裂開。24什么是間接證明？答：即反證法：是指從否定的結論出發，經過邏輯推理，導出矛盾，證實結論的否定是錯誤的，從而肯定原結論是正確的證明方法。25 .反證法的一般步驟是什么？答：（1）假設命題結論不成立，即假設結論的反面成立；（2）從假設出發，經過推理論證，得出矛盾；（3）從矛盾判定假設不正確，即所求證命題正確。 26常見的“結論詞”與“反義詞”有哪些?原結論詞反義詞原結論詞反義詞至少有一個一個也沒有對所有的x都成立存在x使/、成立至多有一個至少有兩

12、個對任忠x不成立存在x使成立至少有n個至多有n-1個p或qp且q至多有n個至少有n+1個p且qp 或q27.反證法的思維方法是什么？答：正難則反 28 .如何歸繆矛盾？答：（1）與已知條件矛盾；（2）與已有公理、定理、定義 矛盾；（3）自相矛盾.29 .數學歸納法（只能證明與正整數 有關的數學命題）的步驟是什么？答：（1）證明：當n取用二個值n0（、WN沖）時命題成立；.*一一 一 A I 一 »、假設當n=k （kC N ,且k*0）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立. 由（1）, （2）可知，命題對于從no開始的所有正整數n都正確.注：常用于證明不完全歸納法推測所得命題的正

13、確性的證明。數學選修2-2數系的擴充和復數的概念知識點必記30 .復數的概念是什么？答：形如a+bi的數叫做復數，其中i叫虛數單位，a叫實部，b叫虛部，數集 C =a +bi |a,b w R叫做復數集。規定：a+bi=c+diu a=c且b=d,強調：兩復數不能比較大小，只有相等或不相實數（b=0）31 .數集的關系有哪些？答： 復數Z«-_一般虛數（a*0）虛數（bH0）匕 一純虛數（a=0）32 .復數的幾何意義是什么？答：復數與平面內的點或有序實數對一一對應。33 .什么是復平面？答：根據復數相等的定義，任何一個復數z=a + bi ,都可以由一個有序實數對（a,b）唯一確定

14、。由于有序實數對（a, b）與平面直角坐標系中的點對應，因此復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應。這個建立了直角坐標 系來表示復數的平面叫做復壬面 x軸叫做實軸,y軸叫做虛他 實軸上的點都 表示實數，除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數 34.如何求復數的模（絕對值）?答：與復數z對應的向量OZ的模叫做復數z=a + bi的模（也叫絕對值）記作z或a+bi。由模的定義可知:a bi-a2 b235 .復數的加、減法運算及幾何意義是什么？答：復數的力口、減法法貝乙=a+bi與z2 =c+di ,貝U z1 ±z2 = a±c +（b±d）i。注：復數的加、減法運算也可以按向量 的加、減法來進行。 復數的乘法法則：（a+bi）（c+di） =（acbd）+（ad+bc）i。復數的除法法則：衿=（1藍亮ac bd272c dbc-ad .c2 d21其中cdi叫做實數化因子36 .什么是共腕復數？答：兩復數a+bi與abi互為共腕復數，當b¥0 時,它們