1、數理統計期末試題數理統計期末練習題作者:日期:數理統計期末練習題1 .在總體N(7.6,4)中抽取容量為n的樣本，如果要求樣本均值落在 (5.6,9.6)內的概率不小于0.95，則n至少為多少2 .設X1, ,Xn是來自N( ,25)的樣本，問n多大時才能使得 P(|x | 1) 0.95成立3 .由正態總體N (100,4)抽取兩個獨立樣本，樣本均值分別為x, y,樣本容量分別15,20,試求P(|x y| 0.2).225 .設X1, ,X16是來自N(,)的樣本，經計算x 9,s5.32，試求P(|x | 0.6).6 .設X1,Xn是來自(，1)的樣本，試確定最小的常數C,使得對任意的

2、 0,有(I x | c)7 .設隨機變量XF(n,n),證明 (X 1)9.設Xi,X2是來自N(0,2)的樣本,試求Y2X1X2服從分布.10.設總體為 N(0,1),X1,X2XiX2為樣本，試求(X1 X2)222(X1 X2)(X1 X2)0.05.11 .設X1, Xn是來自N (的樣本,y1,ym是來自N( 2,2、)的樣本,c,d是任意兩個不為0的常數，證明tc(x1)sc27d(y2)d2m t(nm 2),其中12.(n 1)s2 (m 1)s2s2與sy分別是兩個樣本方差.設 X1, X2,2 一， 一 1Xn,Xn1是來自N(,)的樣本，Xn -2Xi, Sn(X Xn

3、)2,試求 i 119常數cX X使得tc cqn服從t分布，并指出分布的自由度 cSn試求p償2).14 .某廠生產的燈泡使用壽命X N(2250,2502)，現進行質量檢查，方法如下：隨機抽取若干個燈泡，如果這些燈泡的平均壽命超過2200h,就認為該廠生產的燈泡質量合格，若要使檢查能通過的概率不低于0.997,問至少應檢查多少只燈泡?2215 .設(Xi X17) 是來自正態分布 N(,) 的一個樣本，x 與 S2分別是樣本均值與樣本方差。求 k,使得p( x ks) 0.95,1 n21 .設Xi,L ,xn是來自正態分布總體 N , 2的一個樣本。s2 x x是樣本 n 1 i 12方

4、差,試求?t足P % 1.50.95的最小n值。1 .設(X1, X 2,Xn)為來自正態總體N( , 2)的樣本，2未知，現要檢驗假設 H0: = 0,則應選取的統計量是 ；當H0成立時，該統計量服從分布.2 .在顯著性檢驗中，若要使犯兩類錯誤的概率同時變小 ，則只有增加.1 .設總體XN( , 2) , 2已知，x 1, x 2,，x n為取自X的樣本觀察值，現 在顯著水平 =0.05下接受了 H0: = 0.若將 改為0.01時，下面結論中正 確的是(A)必拒絕H0 (B) 必接受H0 (C)犯第一類錯誤概率變大(D)犯第一類錯誤概率變小2 .在假設檢驗中，H。表示原假設，H1為備選假設

5、，則稱為犯第二類錯誤的是(A) H 1不真，接受H(B) H0不真，接受H(C) H。不真，接受代(D) H0為真，接受H3.設(X1, X2,Xn)為來自正態總體N( ,2)的樣本，2未知參數，且1 nnX 1 Xi , Q2 (Xi X)2 n i 1i 1則檢驗假設H:= 0時，應選取統計量為(A) n(n 1)X(B)Qn 一 (C). n 1 一 (D)QQXn八2Q4,對于單因素試驗方差分析的數學模型，設 St為總離差平方和，Se為誤差平方和，Sa為效應平方和，則總有St Se Sa1、設來自總體X的樣本值為(3,2,1,2,0),則總體X的經驗分布函數F5(x)在x 0.8處的值

6、為2、設來自總體B(1,)的一個樣本為Xi,X2,L ,Xn ,又為樣本均值。則Var(X)23、設X-K ,Xm，Xmi,，X2m是來自總體N(0, 2)的簡單隨機樣本，則統mXi計量T i1 服從的分布為2m1Xi21 m 14、設X1,K ,Xn為來自總體U(0,)的樣本，為未知參數，則的矩法估計量為5、設X1,X2,L ,Xn為來指數分布Exp()的簡單隨機樣本，為未知參數，則n2 Xi服從自由度為 的卡方分布。i 122 .6、設Xi,X2,L ,Xn為來自正態分布N(,)的簡單隨機樣本，均未知,X,S2分別為樣本均值和樣本無偏方差，則檢驗假設 H。：0 VS Hi：的檢驗統計量為t

7、四隹一0)，在顯著性水平下的拒絕域為S1、設Xi，K ,Xn是來自總體N( , 2)的簡單隨機樣本，統計量n 11T c (Xi 1 Xi)2為2的無偏估計。則常數c為i 12(n 1)4的樣本，若對假設檢驗問題3、設Xi,X2,X3,X4是來自總體B(1,p)樣本容量為4H0: p 0.5 , H1: p 0.75的拒絕域為Wxi3，該檢驗犯第一類錯誤的i 1概率為()。(A) 1/2(B) 3/4(C) 5/16(D) 11/164、設Xi,X2,L ,Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，總體X的方差2未知，又S2分別為樣本均值和樣本無偏方差，則下述結論正確的是()。(A) S是 的無偏估計量

8、(B) S是 的最大似然估計量(C) S是 的相合估計量(D) S與X相互獨立1、某種產品以往的廢品率為5%采取某種技術革新措施后，對產品的樣本進行 檢驗，這種產品的廢品率是否有所降低，取顯著水平5%,則此，設題的原假設H。： 備擇假設$： .犯第一類錯誤的概率為 。2、設總體x N ( , 2),方差2未知，對假設H 0 :0 , H1 :0,進行假設檢驗，通常采取的統計量是，服從分布，自由度是3、設總體x N( , 2)和2均未知。統計假設取為H0:0 H1：若用t檢驗法進行假設檢驗,A、|t| 勺(n 1)1 _2則在顯著水平B之下，拒絕域是(B)、|t| (n 1)1 -2G |t|

9、ti (n 1)、|t| ti (n 1)4、在假設檢驗中，原假設Hi ,則稱(B )為犯第二類錯誤H0為真，接受H0H0不真,接受H02、C、H0為真，拒絕H0H0不真,拒絕H0X1,X2,.,Xn 為取自總體X N(,2)的樣本，X為樣本均值，1 n一(Xin i 1X)2,則服從自由度為n 1的t分布的統計量為3、4、在假設檢驗中，分別用樣本容量n一定時，下列說法中正確的是(A) 減小時也減小;(B) 增大時也增大;(C),其中一個減小，另一個會增大;(D) (A)和(B)同時成立.6、設總體X和Y相互獨立，且都服從正態分布N(0, 32),而(X1,X2L ,X9)和(丫，丫2 L ,

10、Y9)是分別來自X和Y的樣本，則U X1 LX9;服從的分布是Yi2 LY927、設？與？2都是總體未知參數的估計，且？比？2有效，則？與？2的期望與方差滿足.8、設總體X N( , 2) , 2已知，n為樣本容量，總體均值的置信水平為1的置信區間為(X ,X ),則 的值為.9、設X1, X2，,Xn為取自總體X N( , 2)的一個樣本，對于給定的顯著性水平,已知關于2檢驗的拒絕域為2< 12 (n 1),則相應的備擇假設Hi為 ?一、填空題1 .若X是離散型隨機變量，分布彳t是PX x P(x;),(是待估計參數)，則似然函數, X是連續型隨機變量，概率密度是f (x;),則似然函

11、數是 。2 .若未知參數的估計量是$，若 稱$是 的無偏估計量。設 $1, $2是未知參數 的兩個無偏估計量，若 則稱 $1較$2有效。3 .對任意分布的總體， 樣本均值 X是 的無偏估計量。樣本方差S2是 的無偏估計量。4 .設總體X P(),其中 0是未知參數，X1,K ,Xn是X的一個樣本，則 的矩估計量 為 ,極大似然估計為 。二、計算題1 .設總體服從幾何分布：P X x p1 px1,x 1,2,3.如果取得樣本觀測值為x1,x2, ,xn,求參數p的矩法估計量和極大似然估計。2 .設總體服從指數分布 Xe(),取一個樣本為x,xa,L ,xn,求 矩估計量 和最大似然估計量.3

12、.設總體X服從0-1分布B(1, p),這里0 p 1.現從總體中抽 取了一個樣本x1,L ,xn,試求p的極大似然估計量.4 .設XU(a,b), 一個樣本為x1,x2,L ,xn,求參數a, b的矩估計量.5 .設總體X的概率密度為f(x,)x 1, 0 x 1,0, 其它.其中值.0,如果取得樣本觀測值為Xi,X2,L ,4,求參數的矩估計值和最大似然估計7、設總體X的概率函數為p(x; )a 1ax e0苴中0，/、丁0是未知參數,a 0是已知常數，試根據來自總體X的簡單隨機樣本Xi,X2, Xn ,求的最大似然估計量8 .設？和？為參數 的兩個獨立的無偏估計量，且假定 D? 2D 4

13、,求常數c和d ,使 ? c? d?為 的無偏估計，并使方差 D ?最小.n-n9、設n個隨機變量Xi,X2,，Xn獨立同分布，D(XJ 2,又Xi,S23X)2,n i 1n 1 i 1則A) s是 的無偏估計量；B) S是 的最大似然估計量；C) S是 的相合估計量(即一致估計量)； D) S與X相互獨立.一、 填空題1、設總體 ( , 2), 1,，n是 的樣本，則當 2已知時，求 的置信區間所使用的統計量為=； 服從 分布；當 2未知時，求的置信區間所使用的統計量, 服從 分布.2、設總體 ( , 2), 1,，n是來自 的一個樣本，則當已知時，求 2的置信區間所使用的統計量為 =；

14、服從 分布.則當 未知時，求2的置信區間所使用的統計量為=； 服從 分布.3、設由來自總體 ( ,0.92)容量為9的簡單隨機樣本，得樣本均值一=5,則未知參數的置信度為0.95的置信區間是 .、選擇題 1.設隨機變量 X服從n個自由度的t分布，定義 3滿足P(XWt“)=1-"，0<”<1。若已知P(|X|>x)=b , b>0,則 x 等于(A) t1-b(B)t1-b/2(C) tb (D) tb/22.設X1,X2，Xn是來自標準正態總體的簡單隨機樣本，X和S2為樣本均值和樣本方差,(A) X服從標準正態分布n(B) Xi2服從自由度為n-1的x 2分

15、布(C) nX服從標準正態分布(D) (n21)S服從自由度為n-1的X2分布3,設X1,X2，Xn是來自正態總體 N(科,。2)的簡單隨機樣本，X為其均值，記S2n-(Xi ),n i 1nS2 (Xin i 12 c21n2X) 'S3-Xi )S421 n2小(Xi X)，服從自由度為n-1的t分布的隨機變量是(A)S1/n 1(B) TX |XS2/Jn 1(C)<XS3/ < n 1(D) TS4/ ， n 14.設X1,X2是來自正態總體 N(科2)的簡單隨機樣本，則 X X2與X1 X2必(A)不相關(B)線性相關(C)相關但非線性相關(D)不獨立5.設X1,

16、X2，Xn是來自正態總體 N(w,b2)的簡單隨機樣本，統計量2，則(A) Y x 2(n-1)(B) Yt(n-1)(C) YF(n-1,1)(D)YF(1,n-1)6.設隨機變量XN(0,1),YN(0,2)，且X與Y相互獨立，則1(A) 1X31(C) -X22 2,丫2服從x312 g-Y服從x22分布2分布_12(B) 1(X Y)2服從x 2分布31(D) -(X Y)2服從x 2分布27 .設X, Xi,X2,.,Xio是來自正態總體 N(0,(T2)的簡單隨機樣本,21 n 2YXi10 i 1(A)X2I。) y22(10)© X/Yt(10)(D)X2/Y2 F(

17、10,1)8 .設總體X與Y相互獨立且都服從正態分布N(科，b 2)X, Y分別為來自總體X,Y的容量為n的樣本均值，則當 n固定時，概率P(| X Y |)的值隨b的增大而(A)單調增大(B)單調減小(C)保持不變(D)增減不定9設隨機變量X和Y都服從標準正態分布，則(A) X+Y服從正態分布(B) X2 Y2服從x 2分布(C) X2和Y2都服從x 2分布(D) X2 /Y2服從F分布填空題1 .已知隨機變量X, Y的聯合概率密度為f(x,y)12,122exp (9x 4y 8y 4), 729X2則X服從參數為4(Y 1)2分布。2 .假設X1,X2,.,X16是來自正態總體N(科2)

18、的簡單隨機樣本，X為其均值,S為其標準差，如果P(XaS) 0.95,則參數 a =。(to.05(15)=1.7531 )3 .在天平上重復稱重一重為a的物品，假設各次稱量結果相互獨立且同服從正態分布N(a,0.22)。若以Xn表示n次稱重結果的算術平均值，則為使 P(| X n a| 0.1) 0.95, n 的最小值應不小于自然數4 .假設X1, X2，Xn是來自正態總體 N(科32)的簡單隨機樣本，S為其標準差，則 ES45 .設隨機變量 XF(n,n),則概率P(X<1)=6 .已知 Xt(n),則 1/X2 ,o7 .設隨機變量 X和Y相互獨立且都服從正態分布N(0,32),

19、而Xi,X9和Yi,Y9分別是來自總體X和Y的簡單隨機樣本，則統計量 UXi, 丫12紅服從丫92分布，參數8 .設 X1, X2, X3 , X4是來自正態總體N(0,22)的簡單隨機樣本，_2_2X a(X1 2X2)b(3X3 4X4),則當 a=，b=時，統計量X服從X 2分布，其自由度為9.設總體X服從正態分布N(0,22),而Xi,.,Xi5是來自總體X的簡單隨機樣本，則隨機變量Y二X：XA安服從X：分布，參數為解答題1 .設Xi,X2,.,Xi0是來自正態分布 XN(0,4)的簡單隨機樣本,求常數 a,b,c,d,使Q aX12 b(X2 X3)2 c(X4 X5 X6)2 d(

20、X7 X8X9 X10)2服從X 2分布,并求自由度n。2 .設Xi,X2,.,X9是來自正態分布 X的簡單隨機樣本,1Yi6(X11丫23(X7 X8 X9),S21 9VXi2 i 7丫2)2,Z 2(XSY2),證明統計量Z服從自由度為2的t分布。3.已知總體X的數學期望EX=科，DX=2 (TX1,X2,.,X2n是來自總體X容量為2n的簡單隨機樣本，樣本均值為 X ,統計量丫(Xi Xn i 2X)2 ,求 EY。4 .已知Xi, X2,.,Xn是來自正態總體 N(0,(T2)容量為n(n>1)的簡單隨機樣本，樣本均值與方差分別為 X , S2。記Y (n 1)X2- S2 ,

21、試求Y的期望EY與方差DY。n5 .已知總體X的數學期望EX=w,方差DX= b2, X1，X2，.,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，樣本均值為 X,求Xi X與Xj X(iwj)的相關系數P。6 .從正態分布總體 N(3.4, 36)中抽取容量為n的樣本，若要求其樣本均值位于區間(1.4, 5.4)的概率不小于0.95,問樣本容量n至少應取多大？選擇題1,設X1,X2，Xn是來自正態總體 X的簡單隨機樣本，X的分布函數F(x;。)中含未知 參數，則(A)用矩估計法和最大似然估計法求出的0的估計量相同(B)用矩估計法和最大似然估計法求出的0的估計量不同(C)用矩估計法和最大似然估計法求出的0的

22、估計量不一定相同(D)用最大似然估計法求出的0的估計量是唯一的2,設X1,X2，Xn是來自正態總體 X的簡單隨機樣本，EX=八DX=(T2,其中小d 2均為未知參數，?1X , ?2 Xi ,下面結論哪個是錯誤的。(A) ?iX是科的無偏估計(B) ?2X1是的無偏估計_1 n(C) ?1X比？2 X1有效 (D) (Xi )2是b 2的最大似然估計量n i i3.設X1,X2，,Xn是來自正態分布總體N( w ,。2)的簡單隨機樣本，其中數學期望科已知,則總體方差。2的最大似然估計量是n 一(A)工(Xi X)2(B)n 1 i i1 n2(C) (Xi )(D)n 1 i 11 n2.(X

23、i X) n i 14.已知總體 X在區間0, 0 上均勻分布，其中0是未知參數，設X1,X2，,Xn是來自X的簡單隨機樣本，X是樣本均值，X(n)maX X1,Xn是最大觀測值，則下列選項錯誤的是(A) X(n)是。的最大似然估計量(B)X(n)是。的無偏估計量(C) 2X是。的矩估計量(D)2X是。的無偏估計量X1,X2,.,Xm和Y1,Y2,.,Yn分別是來自總體X和Y的簡單隨機樣本，樣本方差分別為SX 與 SY2 , 則b 2的無偏估計量是(A) sXSY2(B) (m 1)SX (n 1)S2(C)m n 2(D)_ 2_2(m 1)Sx (n 1)Sy6.設X是從總體X中取出的簡單

24、隨機樣本Xi,X2，,Xn的樣本均值，則X是科的矩估計,如果(A) XN(i2)(B) X服從參數為科的指數分布(C) P (X=m ) =(1-)m-1 , m=1,2,(D) X服從0,科上的均勻分布填空題1 .假設總體X服從參數為入的泊松分布,Xi,X2，,Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，其均值、方差分別為 X, S2 ,如果？ aX2 .(2 3a)S為入的無偏估計，則 a=2 .已知 彳、g為未知參數。的兩個無偏估計,1與？2不相關，D?4D?2,如果3 a ? b ?2也是9的無偏估計，且是 ？g所有同類型線性組合無偏估計中有最小方差的，則a=，b二3 .設總體X的概率密度為f(x

25、)(1 X)X0,10x1一, 01 ,則。的矩估計量為 其它，4 .設Xi,X2，,Xn是取自總體X的簡單隨機樣本,且 EX= - DX= b2,其均值、方差分別為時,2(X)2cS2是科2的無偏估計。5 .設Xi,X2，,Xn是取自總體X的簡單隨機樣本,且 EX=g DX= d2n2- 2,a Xi b(X)的i 1數學期望等于b 2,則a=b=解答題1 .設總體 X的概率密度為f(x)(1)x , 0 x 1,0,其它,其中0 >-1是未知參數,X1,X2，,Xn是來自總體X的一個容量為n的簡單隨機樣本，分別用矩估計法和最大似然估計法求0的估計量。2.設某種元件的使用壽命X的概率密度為2e 2(x ) xf(x) 2e , x '其中0 >0是未知參0, 其它，自x的一個樣本