1、有限長螺線管串聯等有限長螺線管串聯等效電感的計算效電感的計算芮雪芮雪4系系2001級級摘摘 要要對于長為L，體積為V，單位長度上匝數為n的螺線管，其自感: 而兩個順接串聯的螺線管L=L1+L2+2M，其中M為兩螺線管互感。這兩式均已經證明，但若同時使用這兩式進行計算時，將出現矛盾。經計算發現，其根本原因在于有限長螺線管內部磁場的計算方法上。本文將從有限長螺線管內部磁場的計算出發，根據磁場的疊加性原理，唯一性定理及鐵磁性材料的特性，重新計算M,L的表達式，并證明L=L1+L2+2M的正確性。SLnL20引 言考慮如圖的螺線管，其自感系數 若從P點剪斷，再接合。即視為AP，PB兩螺線管的串聯，則

2、VnL20MLMBpsnApsnMLLLBpsnLApsnLBPAPBpAP22220202020 K為耦合系數。若有鐵芯，AP，PB應耦合的很好。即便沒有鐵芯，兩螺線管靠的如此之近，M不應為零。則 直觀上理解，這是同一個螺線管應有L=L。這便出現了矛盾。BpApLLKM LL 正 文準備工作在本文中，討論的螺線管參數如下：L:螺線管長度n:螺線管單位長度上匝數I:線圈上電流強度S:螺線管截面積R:螺線管截面半徑1.圓線圈載流軸線上磁感應強度的大小圓線圈載流軸線上磁感應強度的大小線圈半徑為R，通以電流I，則其軸線上點Z處2322202ZRIRBz2.沒有鐵芯時有限長密繞螺線管軸線上磁沒有鐵芯時

3、有限長密繞螺線管軸線上磁感應強度的大小感應強度的大小.沒有鐵芯時有限長密繞螺線管軸線上磁感應強度120coscos2nIBp3.沿軸向均勻磁化的有限長磁棒軸線上磁沿軸向均勻磁化的有限長磁棒軸線上磁感應強度的大小感應強度的大小.設介質磁化強度為M,磁化引起的附加磁感應強度計算如下:磁化宏觀效果相當于在介質棒側面引起環行磁化電流.單位長度電流i=M,這也就相當于一個螺線管,i相當于nI. 所以對軸線上一點P有:120120coscos2coscos2MiBp4.一個假設一個假設一般地說,對于螺線管,LR,在R較小的情況下,在螺線管內取一小回路ABMN,則：BMNdl+BANdh+BABdl+BBM

4、dh=0 dhR,且螺線管內部即使沒有鐵芯,磁力線也比較平行,垂直Z軸的分量很小,所以：BMANBMANBBdlBdlB00 對于有鐵芯的情況更是這樣.因此,在下面的計算中,將以軸線上一點處的磁感應強度近似代替這點處垂直Z軸的面上的磁感應強度. 螺線管沒有鐵芯時的情況螺線管沒有鐵芯時的情況120coscos2nIBp221222coscosRxxRxlxlBsndxdRRlIsndxRxxRxlxlIsndl220202222202RRlsnIL2202可見，當為無限長情況時VnslnLRl0202對于有限長螺線管串聯的情況對于有限長螺線管串聯的情況如圖l=l1+l21. 對于L1管(xl1)

5、2112010coscoscoscos2PPpBBnIB是l1在其自身處(xl1)產生的B大小0101coscos2InBp1202coscos2InBp是l2在l1處(xR,l1R,l2R RRlRlRlIsnl221222220222RRlRlRlsnM221222220221202210221lllsnM2.對于對于L2,仿上計算仿上計算2112010coscoscoscos2PPpBBnIB為l1在l2處產生的B大小為l2在自身處產生的B大小coscos21202InBpcoscos20101InBp220222coscosRxxRxlxl22111cosRxlxlBsndxd2122

6、122222222022211222122221120222llllRRlRlRlRRlIsndxRxlxlRxlxldxRxxRxlxlIsnd為l2在自身處產生的磁通量，則其自感L2為：RRlIsnl222022RRlsnL222022為l1在l2處產生的磁通量，則互感M為：可見M12=M21RRlRlRlIsnl221222220212RRlRlRlsnM2212222202122由順接串聯的螺線管等效自感計算公式LRRlsnRRlRlRlsnRRlsnRRlsnMLLL22022222212202222022210221222兩者完全吻合。有鐵芯的情況有鐵芯的情況鐵磁性材料性質十分復雜

7、，這兒只能做一個簡單討論。 螺線管內磁場變化較小，鐵芯在其中可視作均勻磁化。于是，可按沿軸向均勻磁化的有限長磁棒計算其軸線上磁感應強度的大小。 假設M與H成線性關系，這在H較小時是可以的，或者，我們可以用H點對應的r。由介質磁化規律，I=rI0。所以,有鐵芯存在時，螺線管內B近似等于沒有鐵芯時B的r倍。與前文的計算完全相同，可以證明式子L=L1+L2+2M的正確性。出現矛盾結果的原因及分析討論出現矛盾結果的原因及分析討論出現矛盾結果的原因我認為有出現矛盾結果的原因我認為有4 4個方面：個方面：1.以無限長代替有限長的情況。 實際上，由于此時V已為無窮大，導致L也為無窮大，討論已無意義。2.本文

8、中所討論的情況，即兩螺線管串聯本文中所討論的情況，即兩螺線管串聯時，其位形與兩線圈疊繞不同時，其位形與兩線圈疊繞不同，21LLM 3. 磁介質對磁介質對M，L的影響的影響 考慮位于磁介質中的兩線圈L1，L2，分別載有電流I1，I2。由于磁介質的存在，I1在I2處產生的磁場應是磁介質由于I1存在引起的磁化電流及I1共同在I2處產生的磁場。而磁介質的磁化情況與I1，I2都有關系。就本文而言就本文而言, , 由于使用的是鐵芯，鐵作由于使用的是鐵芯，鐵作為典型的鐵磁性材料，為典型的鐵磁性材料，M M與與H H已不是線性已不是線性關系關系。 I1，I2同時存在時磁介質的磁化情況已不是I1，I2單獨存在情

9、況的簡單疊加。同時，不一樣的I2對磁介質影響不同，使I1在I2處引起的磁場也不同。這樣一來，磁通量也不同，導致互感M與I2也有了關系。 4. 4. 鐵磁性材料對磁力線束縛情況鐵磁性材料對磁力線束縛情況, ,這是最為主要的原因。這是最為主要的原因。 鐵磁性材料，理想情況下，它會將磁力線束于其內而幾乎不穿出。但這有條件，條件就是磁路。 當鐵芯的磁導率均勻且填滿磁場的某個閉合的磁力線管（磁力線管指的是一束磁感應線組成的管狀區域，其中的磁感應線與管壁平行。）時，由磁場的唯一性定理，合磁場的磁力線位形將與原外磁場完全一致。以至這樣安排的閉合鐵芯的確構成一個理想磁路。要構成一個磁路，首先鐵芯必須閉合。對于

10、密繞的螺繞環。環管本身正好是磁力線管。當其內部為均勻圓環狀鐵芯填滿時就構成理想磁路。此時B=nrI.無限長螺線管可視為半徑為無窮大的螺繞環，因此其內B=nrI.氣隙對磁路有很大影響。氣隙的存在，即使是很小的氣隙，都會使磁路中B大大下降。對有限長螺線管而言，它就相當于一個有很大氣隙的磁路，此時的漏磁已非常嚴重，不能視之為理想情況而將鐵芯中B認為還是nrI，是一勻強磁場。否則，將會出現下面的矛盾：如圖，繞在同一鐵芯上的兩組線圈M，N單位長度上的匝數均為n，長為l，若仍認為理想磁路B=nrI，且理想束磁，M中B=nrI，N中B=nrI，考慮M中一點P處，M在P處產生的B為Bm=nrI，N在自身處B=nrI，由于鐵芯良好束磁，Bn=B=nrI，則由磁場疊加原理，Bp=Bn+Bm=2nrI，但這實際上可視作一個長為2L，單位長度上匝數為n的螺線管，從而Bp=nrI。這個矛盾也就是文中開頭所提出的矛盾的根源。可見，有限長的帶鐵芯螺線管，在這兒，必須按照磁介質的磁化規律，按部就班的計算，不能簡單的視作理想情況處理。從能量的角度出發考慮從能量的角度出發考慮N個載流線圈系統磁能：2,2121iniikinkikiikmILIIMW對于兩個順接串聯的螺線管 M21=M12=M，則22212212122121ILILIMIMWm222212212121LIILILMIWm同樣可以得到MLLL22