1、精選優質文檔-傾情為你奉上For personal use only in study and research; not for commercial use分類討論思想1分類討論的常見情形（1）由數學概念引起的分類討論：主要是指有的概念本身是分類的，在不同條件下有不同結論，則必須進行分類討論求解，如絕對值、直線斜率、指數函數、對數函數等.（2）由性質、定理、公式引起的分類討論：有的數學定理、公式、性質是分類給出的，在不同條件下結論不一致，如二次函數y=ax2+bx+c(a0)，由a的正負而導致開口方向不確定，等比數列前n項和公式因公比q是否為1而導致公式的表達式不確定等.（3）由某些數學式

2、子變形引起的分類討論：有的數學式子本身是分類給出的，如ax2+bx+c0，a=0， a0，a0解法是不同的.（4）由圖形引起的分類討論：有的圖形的類型、位置也要分類，如角的終邊所在象限，點、線、面的位置關系等.（5）由實際意義引起的討論：此類問題在應用題中常見.（6）由參數變化引起的討論：所解問題含有參數時，必須對參數的不同取值進行分類討論；含有參數的數學問題中，參變量的不同取值，使得變形受限導致不同的結果.2分類的原則（1）每次分類的對象是確定的，標準是同一的；分類討論問題的難點在于什么時候開始討論，即認識為什么要分類討論，又從幾方面開始討論，只有明確了討論原因，才能準確、恰當地進行分類與討

3、論.這就要求我們準確掌握所用的概念、定理、定義，考慮問題要全面.函數問題中的定義域，方程問題中根之間的大小，直線與二次曲線位置關系中的判別式等等，常常是分類討論劃分的依據.（2）每次分類的對象不遺漏、不重復、分層次、不越級討論.當問題中出現多個不確定因素時，要以起主導作用的因素進行劃分，做到不重不漏，然后對劃分的每一類分別求解，再整合后得到一個完整的答案.數形結合是簡化分類討論的重要方法.3分類討論的一般步驟第一，明確討論對象，確定對象的范圍；第二，確定分類標準，進行合理分類，做到不重不漏；第三，逐類討論，獲得階段性結果；第四，歸納總結，得出結論.4. 分類討論應注意的問題第一，按主元分類的結

4、果應求并集.第二，按參數分類的結果要分類給出.第三，分類討論是一種重要的解題策略，但這種分類討論的方法有時比較繁雜，若有可能，應盡量避免分類.經典例題透析類型一：不等式中的字母討論1、（2010·山東）若對于任意，恒成立，則a的取值范圍是_.思路點撥：依據式子的特點，進行整理，分子分母同除以x.解析：對一切恒成立，在R+上的最大值.而 .當且僅當 即 x=1時等取號. .舉一反三：【變式1】解關于的不等式:（）.解析：原不等式可分解因式為: ，（下面按兩個根與的大小關系分類）（1）當，即或時，不等式為或，不等式的解集為：；（1）當，即時，不等式的解集為：；（2）當，即或時，不等式的解

5、集為：；綜上所述，原不等式的解集為：當或時，；當時，；當或時，.【變式2】解關于的不等式:.解析：（1）當時，不等式為, 解集為；（2）當時，需要對方程的根的情況進行討論： 即時，方程有兩根 . 則原不等式的解為. 即時，方程沒有實根， 此時為開口向上的拋物線，故原不等式的解為. 即時，方程有兩相等實根為， 則原不等式的解為.（3）當時，恒成立，即時，方程有兩根 . 此時，為開口向下的拋物線， 故原不等式的解集為.綜上所述，原不等式的解集為：當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為 ；當時，解集為.類型二：函數中的分類討論2、設為實數，記函數的最大值為，（）設，求的取值范圍，并把表示為的函數；

6、（）求；（）試求滿足的所有實數.解析：（I）， 要使有意義，必須且，即 ，且 的取值范圍是 ， 由得：， ，（II）由題意知即為函數，的最大值，時，直線是拋物線的對稱軸，可分以下幾種情況進行討論：（1）當時，函數，的圖象是開口向上的拋物線的一段， 由知在上單調遞增，故；（2）當時，有=2；（3）當時，函數，的圖象是開口向下的拋物線的一段，若即時，若即時，若即時，綜上所述，有=（III）當時，； 當時， ， 故當時，； 當時，由知：，故； 當時，故或，從而有或， 要使，必須有，即， 此時， 綜上所述，滿足的所有實數為：或.舉一反三：【變式1】函數的圖象經過點(-1，3)，且f(x)在(-1，+)

7、上恒有f(x)<3，求函數f(x).解析：f(x)圖象經過點(-1，3)，則，整理得：，解得或(1)當時，則，此時x(-1，+)時，f(x)>3，不滿足題意；(2)當，則，此時，x(-1，+)時， 即f(x)<3，滿足題意為所求.綜上，.【變式2】已知函數有最大值2，求實數的取值.解析：令，則().(1)當即時， 解得:或（舍）；(2)當即時，, 解得:或（舍）；(3)當即時，解得（全都舍去）.綜上，當或時，能使函數的最大值為2.3、已知函數（）.（1）討論的單調性；（2）求在區間上的最小值.解析：（1）函數的定義域為（0，+） 對求導數，得 解不等式，得0xe 解不等式，得

8、xe 故在（0，e）上單調遞增，在（e，+）上單調遞減（2）當2ae時，即時，由（1）知在（0，e）上單調遞增， 所以 當ae時，由（1）知在（e，+）上單調遞減， 所以 當時，需比較與的大小 因為 所以，若，則，此時 若2ae，則，此時 綜上，當0a2時，；當a2時總結升華：對于函數問題，定義域要首先考慮，而（）中比較大小時，作差應該是非常有效的方法.舉一反三：【變式1】設，（1）利用函數單調性的意義，判斷f(x)在（0，+）上的單調性；（2）記f(x)在0<x1上的最小值為g(a)，求y=g(a)的解析式.解析：（1）設0<x1<x2<+ 則f(x2)-f(x1)=

9、 由題設x2-x1>0，ax1·x2>0 當0<x1<x2時，f(x2)-f(x1)<0， 即f(x2)<f(x1)，則f(x)在區間0，單調遞減， 當<x1<x2<+時，f(x2)-f(x1)>0， 即f(x2)>f(x1)，則f(x)在區間（，+）單調遞增.（2）因為0<x1，由（1）的結論， 當0<1即a1時，g(a)=f()=2-; 當>1，即0<a<1時，g(a)=f(1)=a 綜上，所求的函數y=g(a).【變式2】求函數在上的值域.解析：令，則(1)當0a1時， 0xa，f(

10、x)0(只有a=1且x=1時f(x)=0) f(x)在0,a上單增，從而，值域為；(2)當a>1時， 0xa，f(x)在單增，在上單減， 并且，值域為；(3)當-1a<0時， 0x|a|，f(x)在0,|a|上遞減 從而即，值域為(4)當a<-1時， 0x|a|，f(x)在單減，在上單增， ，又， ，值域為.類型三：數列4、數列an的前n項和為Sn，已知Sn是各項均為正數的等比數列，試比較與的大小，并證明你的結論.解析：設等比數列Sn的公比為q，則q>0q=1時，Sn=S1=a1當n=1時，a2=0，即當n2時，an=Sn-Sn-1=a1-a1=0，即(2)q1時，Sn

11、=S1·qn-1=a1·qn-1當n=1時，即.當n2時，an=Sn-Sn-1=a1·qn-1-a1·qn-2=a1·qn-2(q-1)此時q>1時，0<q<1時，.總結升華：等比數列前n項和公式分q=1或q1兩種情況進行討論.舉一反三：【變式1】求數列：1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,（其中a0）的前n項和Sn.解析：數列的通項 an=an-1+an+a2n-2討論：（1）當a=1時，an=n，Sn=1+2+n=（2）當a=-1時，（3）當a±1且a0時， .【變式2】設an是由正數組成的等

12、比數列，Sn是其前n項和，證明:.解析：（1）當q=1時，Sn=na1，從而，（2）當q1時， 從而 由（1）（2）得:. 函數為單調遞減函數. .【變式3】已知an是公比為q的等比數列，且a1，a3，a2成等差數列.()求q的值；()設bn是以2為首項，q為公差的等差數列，其前n項和為Sn，當n2時，比較Sn與bn的大小，并說明理由.解析：()由題設2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q,a10，2q2-q-1=0，或，()若q=1，則當n2時，若當n2時，故對于nN+，當2n9時，Sn>bn；當n=10時，Sn=bn；當n11時，Sn<bn.【變式4】對于數列，規定數列

13、為數列的一階差分數列，其中；一般地，規定為的k階差分數列，其中且kN*，k2。（1）已知數列的通項公式。試證明是等差數列；（2）若數列的首項a1=13，且滿足，求數列 及的通項公式；（3）在（2）的條件下，判斷是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，說明理由。解析：（1）依題意：， ， 數列是首項為1，公差為5的等差數列。（2），（3）令， 則當時，函數單調遞減； 當時，函數單調遞增； 又因， 而， 所以當n=2時，數列an存在最小值，其最小值為18。類型四：解析幾何5、已知橢圓C的方程為，點P（a,b）的坐標滿足，過點P的直線l與橢圓交于A、B兩點，點Q為線段AB的中點，求：（1）點

14、Q的軌跡方程.（2）點Q的軌跡與坐標軸的交點的個數.思路點撥：本題求點的軌跡方程，點與橢圓的位置關系，直線與橢圓相交等知識.解析：（1）設點A，B的坐標為（x1，y1），（x2，y2），點Q的坐標為Q（x,y）. 當x1x2時，可設直線l：y=k(x-a)+b 由已知， y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b 由得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 由得y1+y2=k(x1+x2)-2ak+2b 由、及，得 點Q的坐標滿足方程2x2+y2-2ax-by=0 當x1=x2時，l平行于y軸， 因此AB的中點Q一定落在x軸上，即Q的坐標為（a,0）， 顯然Q點

15、的坐標滿足方程. 綜上所述，點Q的坐標滿足方程：2x2+y2-2ax-by=0. 設方程所表示的曲線為L， 則由，得（2a2+b2）x2-4ax+2-b2=0 由于=8b2(a2+-1)，由已知a2+1 所以當a2+=1時，=0， 曲線L與橢圓C有且只有一個公共點P（a,b）. 當a2+<1時<0，曲線L與橢圓無交點， 而因為（0，0）在橢圓C內，又在曲線L上， 所以曲線L在橢圓C內. 故點Q的軌跡方程為2x2+y2-2ax-by=0.（2）由，解得或， 又由，解得或， 則當a=0,b=0,即點P(a,b)為原點. 曲線L與坐標軸只有一個交點(0,0) 當a=0且0<|b|時

16、, 即點P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時, 點(a,0)與(0,0)重合，曲線L與坐標軸有兩個交點(0,b)與(0,0) 當b=0且0<|a|1時， 即點P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時, 曲線L與坐標軸有兩個交點(a,0)與(0,0). 當0<|a|<1且0<|b|<時, 即點P(a,b)在橢圓C內且不在坐標軸上時, 曲線L與坐標軸有三個交點(a,0),(0,b)與(0,0).總結升華：本題充分運用了分類討論的思想方法,以及綜合運用知識解題的能力,此題運算量大,涉及知識點較多,需要較高的運算能力和邏輯推理能力,做為考題區分度好,特別是

17、分類討論時易出錯.舉一反三：【變式1】討論k的取值，說明方程表示的曲線.解析：方程中x、y的平方項系數是否為0，是否相等決定著方程表示的曲線，故需要對k值就以上情況分類討論.當k2=0即k=0時，方程化為，表示頂點在原點，x軸為對稱軸，開口向左的拋物線.當2k-1=0即時，方程化為x(x-8)=0x=0或x=8，表示y軸和過點(8，0) 斜率不存在的兩平行直線.當k2=2k-1,即k=1時，方程化為，表示以(1，0)為圓心，半徑為1的圓當k0，k1時方程可化為當方程表示焦點在平行y軸直線上，中心在的橢圓當時，方程表示以為中心，焦點在x軸上的雙曲線.【變式2】已知圓x2+y2=1和雙曲線(x-1

18、)2-y2=1，直線l與雙曲線交于不同兩點A、B，且線段AB的中點恰是l與圓相切的切點，求直線l的方程.解析：當l斜率不存在時，由對稱性可知：l方程為x=-1當l斜率存在時設l方程為y=kx+b由l與圓相切l方程代入雙曲線整理得(1-k2)x2-2(kb+1)x-b2=0 (1-k20)，>0設A(x1，y1)，B(x2,y2)，AB中點為M，由ABOM，整理得k2+1+2kb=0將k2+1=b2代入b2+2bk=0,b(b+2k)=0b0，否則l過原點與圓不相切b=-2k，解方程組得經檢驗>0l的方程為x=-1或.4.在數列中，其中0求數列的前項和解析：數列的通項公式和前項和的求解，是高考中考查的一個重點內容，對于它們的解決要掌握一些方法。答案：由，可得，所以為等差數列，其公差為1，首項為0，故，所以數列的通項公式為設，當時，式減去式，得，這時數列的前項和當時，這時數列的前項和專心-專注-專業 以下無正文 僅供個人用于學習、研究；不得用于商業用途。  , , . For personal use only in study and research; not for commer